Energía de Matrices - Florencia Cubría (2018)

Sea \( M_n(\mathbb{C} )\) el espacio de matrices \(n \times n \) con entradas complejas. Motivados por distintos tipos de energía de grafos definimos la energía de una matriz \( A \) en \( M_ n(\mathbb{C}) \) como $$ E (A) = \sum_{1}^{n} |\lambda_k - \frac{tr(A)}{n} | $$ donde \([\lambda_1,\cdots,\lambda_n] \) y \( tr(A) \) denotan el espectro y la traza de la matriz \( A\) respectivamente, y \( |z| \) el módulo del complejo \( z \). Esta definición generaliza la definición de energía de un grafo introducida por I. Gutman en 1978 tomando \( A \) como la matriz de adyacencia del grafo, así como otros tipos de energía. En este trabajo se establecen cotas superiores e inferiores para la definición de energía introducida, además de condiciones necesarias y suficientes para que las mismas sean alcanzadas. A su vez, para los distintos tipos de energía, expresaremos las cotas en términos de elementos del (di)grafo, que en algunos casos extienden cotas ya conocidas y en otros nos permiten obtener nuevos resultados.