Condiciones de promediabilidad en fibrados de Fell - Laura Martí (2006)

Este trabajo tiene dos objetivos: por un lado, hacer una introducción a los fibrados de Fell sobre grupos discretos, presentando la definición, ejemplos y propiedades básicas, y por otro lado, probar algunos resultados nuevos que se refieren a la promediabilidad en este contexto. \( \\ \\ \\ \) Entre los ejemplos de fibrados de Fell que presentamos, el principal de ellos es el de los fibrados de Fell asociados a acciones parciales. Es por eso que incluimos las definiciones y algunos resultados básicos concernientes a las acciones parciales y sus acciones envolventes en el caso de espacios topológicos y \(C^* \)-álgebras. Asímismo, incluimos un resultado nuevo: dada una acción parcial \( \alpha\) en una \(C^* \)-álgebra conmuntativa, con acción envolvente \( \alpha ^e \) en un espacio con unidad, si \( \phi \) es un estado invariante por \( \alpha \), existe una unica extensión a una funcional lineal positiva invariante por \( \alpha^e \). \( \\ \\ \\ \) La noción de fibrado de Fell promediable que introducimos, es una extensión de la caracterización de grupo promediable proporcionada por la propiedad de contención débil. Dado un fibrado de Fell \( \mathcal{B} \) le asociamos dos \( C^*\) -álgebras, \(C^∗ (\mathcal{B}) \) y \(C_r^∗ (\mathcal{B})\). La primera de ellas se obtiene a partir de una propiedad universal, en tanto que la segunda se obtiene a partir de una representación. Ambas están relacionadas por un morfismo sobreyectivo \(λ^† : C^∗ (\mathcal{B}) \rightarrow C_r^* (\mathcal{B})\). Decimos que \( \mathcal{B} \) es promediable si \(λ^†\) es un isomorfismo, y esta situación es ventajosa ya que \(C^∗ (\mathcal{B}) \) y \(C^r (\mathcal{B}) \) se obtienen de formas tan distintas. \( \\ \\ \\ \) Dados dos fibrados de Fell \(\mathcal{A}\) y \(\mathcal{B}\) de manera que \(\mathcal{A} ⊆ \mathcal{B} \) y se verifican otras condiciones de compatibilidad entre ellos, \(\mathcal{A} \) es promediable si y sólo si \(\mathcal{B}\) lo es (el directo de esta propiedad es un resultado de F. Abadie, y el recíıproco se prueba en este trabajo). En particular, si \( \alpha \) es una acción parcial y \( \beta \) es su acción envolvente, \( \alpha \) es promediable si y sólo si \( \beta \) lo es. Como corolario de este resultado probamos que toda representación parcial admite una dilatación unitaria. Gracias al resultado sobre extensión de estados invariantes y a la equivalencia de la promediabilidad de una acción parcial y de su acción envolvente, obtenemos una generalización de una propiedad de Zeller-Meier que relaciona la promediabilidad de un grupo con la promediabilidad de fibrados sobre el grupo obtenidos a partir de acciones.