1. Formas modulares p-ádicas
Exponen
Joaquín Fernández, Nahuel Huamani, Martín Mereb, Pedro Peña, Juan Francisco Piombo, Nicolás Sirolli
FCEyN – UBA
Resumen
A principios de los años 70, J.-P. Serre introdujo las formas modulares p-ádicas como límites p-ádicos de desarrollos de Fourier de formas modulares clásicas para estudiar sistemáticamente las congruencias entre ellas.
En este curso desarrollaremos los fundamentos básicos de la teoría clásica siguiendo los trabajos de Serre y Swinnerton-Dyer. Nos enfocaremos en dos resultados principales: por un lado, las formas modulares p-ádicas admiten una noción de peso p-ádico de manera natural; por otro, para toda forma modular p-ádica (de peso no nulo), existe una fórmula que determina su coeficiente constante en términos de los demás coeficientes.
Finalmente, utilizaremos esta maquinaria como puente natural hacia la construcción de la función L p-ádica de Kubota-Leopoldt. Veremos cómo la determinación del término constante permite interpolar analíticamente los valores especiales de la función zeta de Riemann y series de Dirichlet a través de familias p-ádicas de series de Eisenstein.
Referencias
- H. P. F. Swinnerton-Dyer – On L-adic representations and congruences for coefficients of modular forms
- J. P. Serre – Formes modulaires et fonctions zeta p-adiques
- K. Iwasawa – Lectures on p-adic L-functions
- J. Rodrigues, C. Williams – An introduction to p-adic L-functions
Preliminares
Asumiremos conocimientos básicos sobre formas modulares (ver N. Koblitz – Introduction to Elliptic Curves and Modular forms – III.2) y numeros p-ádicos (ver J. P. Serre – A course in arithmetic – II.1).
2. Formas automorfas para GL₂
Exponen
Carolina Chiesa, Camilo Gallardo, Matías Martres, Pablo Maurente, Daniel Mejail, Mariano Rodríguez
Universidad de la República
Resumen
Las formas modulares son funciones holomorfas en el semiplano de Poincaré. Algunas de ellas poseen información aritmética --como ser la cantidad de representaciones de enteros por formas cuadráticas o la cantidad de puntos de una curva elíptica sobre cuerpos finitos--, que guardan en sus coeficientes de Fourier y que se manifiesta en el hecho de que sus funciones L se factorizan como producto de Euler.
Por otro lado, las formas modulares se pueden reinterpretar en el contexto de la Teoría de representaciones como formas automorfas, funciones en los puntos adélicos del grupo GL₂, y, de esta manera, es posible asociar a una forma cuspidal clásica una representación irreducible de dicho grupo.
En este sentido, las formas cuspidales explican sólo una parte de la teoría de representaciones de GL₂(𝔸). La teoría de Jacquet--Langlands describe una manera de asociar una función L a cada representación unitaria admisible de este grupo y, a partir de este objeto, caracteriza aquellas representaciones provenientes de formas cuspidales.
El objetivo de este minicurso será entender, por un lado, esta transición desde la teoría clásica de formas modulares a la de formas automorfas como funciones en los adèles y, por otro, cómo asociar una función L a una representación admisible de GL₂(𝔸) y cómo caracterizan aquellas representaciones generadas por formas cuspidales.
Referencias
- S. Gelbart – Automorphic forms on adele groups
Preliminares
Asumiremos conocimientos básicos sobre formas modulares: más precisamente, los referidos en el Capítulo 1 del libro de Gelbart.