Teoría de Módulos

2013

Comienzo: Martes 19 de marzo.

Horario Teórico: Martes y Jueves de 10:30 hs a 12:00 hs

Lugar: Facultad de Ciencias.

Forma de evaluación:
a) Carpeta de Ejercicios + b) Exposición de un tema + c) Oral teórico final.

Libro de referencia:

• Rings and Categories of Modules F. Anderson, K. Fuller.

Otros libros de interés:

• Anillos y sus categorías de representaciones, M. Farinatti, M. Suárez Álvarez, A. Solotar.

• Algebra I, Chapters 1 - 3, Bourbaki.

• Algebra II Ring Theory, C. Faith

Página web:

www.cmat.edu.uy/~marclan/TM

PRÁCTICOS

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Publicados:

Práctico 1, Práctico 2, Práctico 3, Práctico 4, Práctico 5, Práctico 6, Práctico 7, Práctico 8.

Éstos serán todos los Prácticos del Curso 2013.

EXPOSICIONES DE LOS ESTUDIANTES

• Sara Vilar del Valle Halty : Módulos simples, semisimples y Zócalo.

  Resumen:

Modulos simples y sempisimples, equivalencias. Zócalo de un R-módulo, Propiedades.El zócalo de un módulo M es suma directa de sus componentes T-homogéneas.

• Paula Verdugo:

  Título y resumen A:

  El radical de un módulo. Los roles del radical y del zócalo.

28 de julio 2013
El radical de un módulo. Definición a partir del rechazo. Caracterizaciones del radical como la intersección de todos los submódulos maximales y como la suma de todos los submódulos superfluos. Aplicación de los resultados obtenidos para el rechazo de un módulo para obtener resultados acerca del radical. Ejemplo de que el radical de un módulo no necesariamente es superfluo; condición suficiente para que sí lo sea.

30 de julio 2013
Los roles del radical y del zócalo. Una relación entre que un módulo sea finitamente generado (finitamente cogenerado) y características de su radical (zócalo). Equivalencia de los conceptos de f.g. y f.c. en módulos semisimples. Un módulo que es suma directa finita de módulos es finitamente generado (cogenerado) si y sólo si cada sumando directo lo es.

Título y resumen A':

Contexto Morita

Preliminares de módulos proyectivos. Definición. Todo módulo libre es proyectivo, caracterización de un módulo proyectivo como que toda sucesión exacta corta que termine en él se escinda, y caracterización con que sea sumando directo de un módulo libre. Finalmente, el teorema de la base dual.

Preliminares categóricos. Definición de transformación e isomorfismo natural. Definición de equivalencia de categorías. Definiciones de que un functor sea fiel, pleno y denso. Caracterización de una equivalencia de categorías como un functor fiel, pleno y denso.

Construccion del contexto Morita asociado a un módulo a derecha. Equivalencias con que, dado un anillo R, un módulo-R sea generador de la categoría Mod-R. Algunos isomorfismos que implica el que un módulo sea generador. Algunos isomorfismos que implica el que un módulo sea f.g. y proyectivo. Definición de progenerador.

Equivalencias entre ciertas categorías de módulos dado el contexto Morita asociado a un módulo-R progenerador (Morita I). Dados dos functores F, G aditivos que además son equivalencias mutuamente pseudoinversas entre categorías de módulos, el isomorfismo natural entre Hom(M, F-) y Hom(GM,-) para todo M (viendo las imágenes de estos últimos functores sobre Ab) y condiciones suficientes para que sea un isomorfismo natural entre functores que van hacia una categoría de módulos. Dadas F, G equivalencias mutuamente pseudoinversas entre categorías de módulos que además son functores aditivos, vimos la estructura natural de bimódulo que se le puede dar a las imágenes por F y G de los anillos correspondientes, y un isomorfismo natural entre F y el functor tensorizar por la imagen por F del anillo correspondiente (análogamente con G) (Morita II). Consecuencias de los teoremas de Morita (por ejemplo el teorema de Wedderburn-Artin).

• María Eugenia Sarasola:

  Título y resumen A:

  Traza y rechazo.

  Definiciones. Tr_M (U) es el mayor submódulo de M en Gen(U), Rej_M(U) el menor submódulo K de M con M/K en Cog(U). Los morfismos llevan la traza (rechazo) en la traza (rechazo); bajo ciertas hipótesis se cumple la igualdad. La traza (rechazo) de la suma es la suma de las trazas (los rechazos). La traza (rechazo) de M en una clase en Gen(U) (Cog(U)), y la traza (rechazo) de M en un generador (cogenerador) de Gen(U) (Cog(U)).

Título y resumen A':

Teorema de Kaplansky-Walker.

Si c es un cardinal infinito, todo sumando directo de un módulo que es suma directa de submódulos c-generados también lo es.

Vimos que si un modulo se escribe como M=K \oplus L, y N= N_1 \oplus ...\oplus N_n es un sumando directo de M tal que End(N_i) es local, entonces existen sumandos directos K' ≤ K, L' ≤ L tales que M = N \oplus K' \oplus L'.

Usamos esos dos resultados para probar el Teorema de Crawley-JØnsson-Warfield: Si un módulo M es suma directa de submódulos numerablemente generados con anillo de endomorfismos locales, entonces todo sumando directo de M también lo es.

Comentamos algunos corolarios acerca de módulos proyectivos.

• Diego Silvera:

  Título y resumen A:

  Generación y cogeneración

  Definiciones y ejemplos de generación y cogeneración (finita) por una clase de módulos. Caracterizaciones de la condición de ser generado y cogenerado por U por medio de Hom(U,-) y Hom(-,U) respectivamente.

Título y resumen A':

Adjunción

Dada la terna (_RM, _SW_R, _SN) se probó la naturalidad entre los funtores Hom_R(M, Hom_S(W, N)) y Hom_S(W \otimes _R M, N) en cada variable y la asociatividad del producto tensorial al igual que su naturalidad, de nuevo, en cada variable.

En el caso en que _SP es proyectivo y f.g. se probó que los funtores Hom_S(P,U) \otimes_T N y Hom_S(P, U \otimes_T N ) son isomorfos.

• Federico Carrasco:

  Título y resumen A:

  Submódulos esenciales y submódulos superfluos.

  23/4 Submódulos esenciales y superfluos, monomorfismos esenciales y epimorfismos superfluos, propiedades básicas.

  25/4 Imagen de superfluo en superfluo, equivalencia de esencialidad, existencia del M complemento N y esencialidad de su suma directa con N.

Título y resumen A':

Módulos planos

Definición del functor tensor, adjunción tensor-hom y su relación en la exactitud, tensor exacto a derecha. Definición de módulo plano, del character module y relación entre ambos. Suma directa es plano sii cada sumando es plano. Libres y proyectivos son planos. Caracterizaciones de módulos planos. Producto de módulos planos, definición de finitamente presentado y de anillo coherente. Teorema de Chase. (Producto de módulos planos fue sacado de T.Y. Lam "Lectures on modules and rings").

RESUMEN DE CLASES

1. Martes 19 de marzo: Presentación del curso. Anillos y subanillos. Homomorfismos de anillos. Ideales y anillos cociente.

2. Jueves 21 de marzo: Anillos especiales. Productos de anillos. Subanillo generado. Centro de un anillo. Álgebras. Anillo opuesto. Anillos de matrices.

3. Martes 2 de abril: Clase suspendida.

4. Jueves 4 de abril: Anillos de endomorfismos. Elementos idempotentes. Elementos nilpotentes. Módulos y submódulos.

5. Martes 9 de abril: Módulos y retículo de submódulos. Módulo cociente. Cambio de anillo. Morfismo de anillos y relación entre retículos de un “módulo” variando el anillo externo.

6. Jueves 11 de abril: Anillos como bimódulos. Anuladores. Homomorfismo de módulos. Epimorfismos, monomorfismos. Teoremas de isomorfismos.

7. Martes 16 de abril: Exactitud. Lema de los cinco. La categoría de módulos.

8. Jueves 18 de abril: Anillos de Endomorfismos. Módulos y endomorfismos. Módulos fieles, balanceados.

9. Martes 23 de abril: Sumandos directos. Morfismos que se escinden. Comienza exposición de Federico Carrasco (ver arriba).

10. Jueves 25 de abril: Segunda exposición de Federico Carrasco.

11. Martes 30 de abril: (volviendo a morfismos que se escinden). Equivalencias para que una sucesión exacta corta se escinda. Proyecciones. Endomorfismos indempotentes.

12. Jueves 2 de mayo: Suspendida (viaje a Argentina, Bahía Blanca, UNS).

13. Martes 7 de mayo: Suspendida (viaje a Argentina, Bahía Blanca, UNS).

14. Jueves 9 de mayo: Sumas directas y productos de módulos. Sumas directas internas y externas.

15. Martes 14 de mayo: Los idempotentes de una descomposición. Descomposición de un anillo. Teorema de descomposición en bloques.

16. Jueves 16 de mayo: Expone Diego Silvera. Ver resumen arriba.

17. Sábado 18 de mayo: (clase de recuperación) Expone Maria Eguenia Sarazola. Ver resumen arriba.

18. Martes 21 de mayo: Expone María Sara Vilar del Valle Halty. Ver resumen arriba.

19. Jueves 23 de mayo: (Paro ADUR)

20. Martes 28 de mayo: Cierra su exposición M. Sara Vilar del Valle Halty. Comienza su exposición Paula Verdugo. Ver resumen arriba.

21. Jueves 30 de mayo: Módulo finitamente generados y Módulos finitamente cogenerados. Equivalencias para cada concepto. Segunda parte de la exposición de Paula Verdugo. Ver resumen arriba.

22. Sábado 1 de junio: (clase de recuperación) Condiciones de cadena: cca, ccd. Equivalencias para módulo artiniano. Equivalencia para módulo noetheriano. Módulos artinianos (noetherianos) en sucesiones exactas cortas. Corolarios.

23. Martes 4 de junio: Condiciones de cadena en Anillos. Equivalencias para anillo artiniano. Equivalencias para anillo noetheriano. Módulos con serie de composición. Teorema de Jordan-Hölder.

24. Jueves 6 de junio: Longitud. Lema de Fitting.

25. Martes 11 de junio: Descomposición de móulos en Indescomponibles. Teorema de Azumaya. Lema de Teorema de Krull-Schmidt

26. Jueves 13 de junio: Teorema de Krull-Schmidt. Descomposiciones que complementan sumandos directos. (Atención: orden cronológico y temático inversos en las clases 25 y 26).

27. Sábado 15 de junio: (clase de recuperación) Caracterizaciones del Radical. Concepto de casi-regular (cr) a izquierda (cri) o a derecha (crd). Teorema de caracterización del Radical (24 equivalencias).

28. Martes 18 de junio: Corolarios del Teorema de Caracterización del Radical. Lema de Nakayama.

29. Jueves 20 de junio: Anillos locales (caracterización usando el Radical). Otras cracterizaciones usando Radical (ejemplo, si R artiniano, R es semisimple sii J(R)=0).

30. Martes 25 de junio: Radical de un anillo artiniano. Teorema de Hopkins. Teorema de Levitzki.

31. Jueves 27 de junio: Exposición de Federico Carrasco para materia A'. Ver resumen arriba.

32. Sábado 15 de junio: (clase de recuperación) Primera parte de la exposición de Paula Verdugo para materia A'. Ver resumen arriba.

33. Martes 2 de julio: I) Segunda parte de la exposición de Paula Verdugo para materia A'. Ver resumen arriba. II) Exposición de Diego Silvera para materia A'. Ver resumen arriba (aún no la presentó).

34. Jueves 4 de julio: Exposición de María Eugenia Sarazola para materia A'. Ver resumen arriba.
    
    
    

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Actualizado el 11 de julio de 2013