VIII Encuentro Regional de Teoría de Números

Una curva elíptica E definida sobre un cuerpo de números K se llama Q-curva si es isógena a todos sus conjugados de Galois. Un resultado importante de Ribet implica que en tal caso un twist de la representación de Galois asociada a E se puede extender a una representación de todo el grupo de Galois absoluto Gal_Q (y por ende modular, gracias a las conjeturas de Serre).

El objetivo de esta charla es dar un resultado similar para el caso de variedades abelianas de dimensión superior.

Las funciones L son funciones meromorfas en el plano complejo asociadas a ciertos objetos matématicos. El primer y paradigmático ejemplo de una función L es la función zeta de Riemann, conocida por su relación con los números primos. Existen también funciones L asociadas a caracteres de Dirichlet, a curvas elípticas, a formas modulares, entre otros. Una propiedad fundamental de las funciones L es que codifican información aritmética interesante de los objetos en cuestión, lo que las convierte en objetos muy importantes en la teoría de números.

Dado p un número primo, existen análogos p-ádicos de las funciones L anteriores, estas funciones son conocidas como funciones L p-ádicas y entre sus propiedades está que codifican congruencias módulo potencias de p de los valores complejos. En este curso vamos a dar una breve introducción al mundo de las funciones L p-ádicas, concentrándonos en la versión p-ádica de la función zeta de Riemann: la función zeta p-ádica de Kubota-Leopoldt, cuyos indicios de existencia datan desde que Kummer desmostró sus famosas congruencias entre los números de Bernoulli. Durante el curso hablaremos de las motivaciones aritméticas, de su construcción y de su relación con la función zeta de Riemann. Si el tiempo lo permite, discutiremos al final del curso otros aspectos de la teoría, como las funciones L p-ádicas de formas modulares, la conjetura de Iwasawa y los sistemas de Euler.

El método modular es una estrategia para resolver ecuaciones diofánticas, cuyos objetos principales son las curvas elípticas, las formas modulares y las representaciones de Galois.

En esta charla daremos una introducción al método y mostraremos algunas de sus aplicaciones.

El duodécimo problema de Hilbert plantea el desafío de construir explícitamente todas las extensiones abelianas de un cuerpo de números, generalizando el teorema de Kronecker-Weber, que afirma que toda extensión abeliana de Q está contenida en un cuerpo ciclotómico.

La teoría de cuerpos de clases resolvió parcialmente el problema en mención, al establecer la existencia y unicidad de tales extensiones para un cuerpo de números dado. Otra solución parcial la ofrece la teoría de la multiplicación compleja (CM), que permite construir explícitamente extensiones abelianas de cuerpos cuadráticos imaginarios mediante funciones modulares. El teorema principal de esta teoría afirma que los singular moduli, valores especiales de funciones modulares evaluadas en puntos CM, generan extensiones abelianas.

En contraste, aún no se cuenta con una teoría análoga para cuerpos cuadráticos reales. Darmon y Vonk proponen un enfoque conjetural basado en análisis rígido p-ádico, que introduce análogos de funciones modulares adaptados a este nuevo contexto. A esta propuesta la denominamos Teoría de Multiplicación Real (RM). En esta disertación presentaré la conjetura central de dicha teoría, junto con evidencia computacional que respalda su validez, consolidándola como un prometedor análogo real del teorema principal de la Teoría CM.

El Teorema de Ostrowski nos dice que todo valor absoluto definido sobre ℚ es equivalente al trivial, al real o al p-ádico para algún primo p. Como consecuencia, las únicas completaciones no triviales de ℚ son ℝ y los cuerpos ℚₚ.

En los cursos de análisis, uno estudia los números reales y observa que, aunque ℝ es completo por construcción, no es algebraicamente cerrado. Luego uno prueba que tomando clausura algebraica se obtiene ℂ, un cuerpo completo y algebraicamente cerrado. Uno quisiera hacer lo mismo para ℚₚ, pero no resulta tan sencillo.

La idea de esta charla es hablar sobre las extensiones de ℚₚ y cómo construir una extensión completa y algebraicamente cerrada, a la que llamaremos ℂₚ.

La charla está centrada en desarrollar el concepto de problema inverso en Combinatoria Aritmética, tomando como ejemplos principales al problema inverso de las normas de Gowers y la recientemente resuelta Conjetura de Marton. La solución de esta última conjetura tiene la particularidad de requerir técnicas extraídas de la Teoría de la Información, área de la cual se toma en particular la noción de entropía de Shannon, y en la exposición se buscará motivar la introducción de este concepto.

Además, se comentarán aplicaciones de estos problemas inversos a la Teoría de Números.

Presentaremos las funciones theta asociadas a formas cuadráticas definidas positivas, con especial atención a aquellas que corresponden a las sumas de dos y cuatro cuadrados. Estas son un ejemplo de formas modulares elípticas, las cuales introduciremos. Si el tiempo lo permite, veremos cómo de este hecho se deducen los teoremas clásicos que caracterizan las sumas de dos y cuatro cuadrados enteros.

Explicaré una nueva perspectiva/demostración de la fórmula de Gross-Zagier utilizando «regularized theta lifts», así como algunos problemas abiertos.

Las clases de Heegner y sus generalizaciones se encuentran entre las herramientas más prometedoras para el estudio de la conjetura de Bloch–Kato para formas modulares, extendiendo la torre de puntos de Heegner compatibles con la norma utilizada por Kolyvagin en su demostración de la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer en rango analítico 0 y 1, a contextos más amplios.

En esta charla, presentamos algunos resultados sobre la interpolación p-ádica de clases de Heegner generalizadas en el contexto cuaterniónico, adoptando un enfoque comparativo con el caso clásico (elíptico), entre los cuales resultados obtenidos en conjunto con M. Longo y P. Magrone.

El Problema del número de clases, planteado por Gauss a comienzos del siglo XIX, consiste en describir de manera efectiva los cuerpos cuadráticos imaginarios con número de clases dado.

En 1976, Goldfeld propuso una estrategia, luego refinada por Oesterlé, que bajo la existencia de una curva elíptica modular con un cero de orden al menos 3 en su L-serie permite obtener cotas efectivas para los números de clase. El Teorema de Gross–Zagier permite probar que la curva elíptica de conductor 5077 tiene un cero central de orden al menos 3, lo que completa la resolución del problema del número de clases.

En esta charla ilustraremos algunas de las ideas de Goldfeld-Oesterlé y el papel decisivo del Teorema de Gross–Zagier en su demostración.

La filosofía de Kazhdan permite transferir resultados de teoría de representaciones de grupos reductivos definidos sobre un cuerpo local no arquimediano F de característica 0 a característica positiva p y viceversa. Un ejemplo es el trabajo de Lemaire donde se transfieren clases de isomorfismo de representaciones suaves irreducibles de GLn que sean genéricas, i.e., tienen un único modelo de Whittaker clásico. Más generalmente, existen representaciones suaves de GLn (con n=kc) que tienen un único modelo de Whittaker generalizado de tipo (k,c) cuando la característica es 0. Es de interés conocer si en característica p sigue siendo cierto; como la demostración de este resultado en característica 0 depende de herramientas analíticas no disponibles en característica positiva, una estrategia para probarlo sería transferir el resultado ya establecido.

Trabajo en colaboración con Luis Lomelí y Claudia Schoemann.

El teorema de Mazur es un resultado profundo que clasifica la torsion racional de curvas elipticas. En esta charla quiero presentar algunas ideas importantes para la demostracion del teorema asi como algunas generalizaciones conocidas sobre cuerpos de numeros mas grandes.

En esta segunda parte, estudiaremos formas paramodulares. Comenzaremos presentando las formas de Siegel como una generalización a varias variables de formas modulares elípticas. Las formas paramodulares generalizan las formas con nivel. Presentaremos algunos ejemplos y propiedades básicas mostrando similitudes y diferencias entre estos objetos.

Se sabe que los valores de la función de partición, así como los de otras funciones de partición que pueden describirse combinatoriamente mediante eta-cocientes, son coeficientes de formas modulares débilmente holomorfas.

Al encontrar congruencias entre estas últimas y las formas modulares holomorfas, K. Ono (en el caso de la función de partición) y más tarde S. Treneer (en una situación más general) pudieron demostrar, para cada primo m, la existencia de infinitas familias de progresiones aritméticas sobre las cuales los valores antes mencionados se desvanecen módulo m.

En esta charla discutiremos cómo obtener (miembros de estas) familias explícitas para diferentes tipos de funciones de partición; particularmente, para la función de sobrepartición.

Las técnicas utilizadas involucran el cálculo eficiente de valores aislados de estas funciones. Esto se hace a partir de sus desarrollos en series de tipo Hardy–Ramanujan–Rademacher, que también discutiremos en la charla.

Estos son trabajos en conjunto con Nathan Ryan (Bucknell University) y Adrián Barquero-Sánchez (Universidad de Costa Rica), entre otros.

En esta charla veremos la relación entre dos resultados fundamentales acerca de las curvas sobre cuerpos finitos.

El primero es la Hipótesis de Riemann para curvas, que afirma que los recíprocos de los ceros de la función zeta Z_C asociada a una curva sobre un cuerpo con q elementos tienen valor absoluto q^½.

El segundo es la cota de Hasse-Weil, que establece que |N-(q+1)|≤ 2g q^½, donde N es el número de puntos racionales de la curva y g su genero.

Mostraremos que ambos enunciados son esencialmente equivalentes y comentaremos algunas de las ideas que intervienen en la demostración de la cota de Hasse–Weil.

En la última parte introduciremos las formas modulares ortogonales. Definiremos una acción de Hecke usando el concepto de p-vecinos de Kneser. Veremos también como construir formas modulares clásicas y formas paramodulares usando formas ortogonales para O(3) y O(5) respectivamente.

Asociada a toda álgebra de Lie semisimple 𝔤 existe una sucesión de polinomios P_ℓ,𝔤(x) ∈ ℚ[x] en r variables, donde ℓ = 0, 1, 2, ... y r es el rango de 𝔤. En el caso más sencillo, donde 𝔤 tiene rango r = 1, estos polinomios son archiconocidos ya que son los polinomios de Bernoulli.

En la charla trataré de explicar lo poco que se sabe de P_ℓ,𝔤(x) cuando r > 1. Los P_ℓ,𝔤 sólo dependen de la clase de isomorfismo del álgebra 𝔤, salvo cambio en la enumeración de las variables x₁, ..., xᵣ.

Se trata de trabajo conjunto con Matías Bruna y Alex Capuñay.

A principio del siglo XIX Gauss desarrolló la teoria de formas cuadráticas binarias. A partir de ésta, se obtiene que si d es un divisor positivo de un entero n=x²+3y² con mcd(x,3y)=1, entonces d=a²+3b² para algunos enteros a y b.

En esta charla estudiaremos si esta propiedad se generaliza a cuerpos de números totalmente reales y bajo qué condiciones se mantiene. Finalmente, veremos cómo este hecho está relacionado con la resolución del Último Teorema de Fermat sobre la ℤ₃-extensión de ℚ y otros cuerpos.

En esta charla presentaremos un método general y relativamente sencillo para construir sucesiones asintóticamente buenas de códigos AG isoduales, una familia ligeramente más amplia que la de los códigos AG autoduales. Comenzaremos introduciendo las definiciones necesarias sobre códigos lineales y sus duales, así como los conceptos básicos de códigos algebraico-geométricos asociados a cuerpos de funciones. Luego, describiremos una técnica que permite obtener nuevos códigos isoduales a partir de extensiones finitas de cuerpos de funciones, y mostraremos cómo aplicarla en torres para construir sucesiones que alcanzan la cota inferior de Tsfasman–Vladut–Zink de manera sencilla.

La teoría de códigos autocorrectores se encarga de estudiar y construir herramientas que sirvan para detectar y corregir errores en la transmisión de información. En esta charla presentaremos una construcción de códigos algebraicos geométricos cíclicos racionales y veremos cómo clasificarlos según la equivalencia monomial.

El número de Pitágoras de un cuerpo k es el menor entero positivo n tal que toda suma de cuadrados en k puede expresarse como suma de n cuadrados. Existen diversos resultados clásicos en este ámbito, como el teorema de Euler que establece que el número de Pitágoras de los números racionales es 4, así como resultados más recientes que demuestran que el número de Pitágoras de un cuerpo de números es a lo más 4.

En esta charla, abordaremos uno de los avances más actuales en esta área, que afirma lo siguiente: «El número de Pitágoras de una extensión algebraica sobre el cuerpo de funciones racionales sobre ℚ es menor o igual a 4». Este resultado, cuya demostración tomó más de 30 años en completarse, será uno de los temas centrales de la exposición.

También se presentará una generalización de uno de los primeros teoremas relevantes en este campo, el cual establece que «el número de Pitágoras del cuerpo de funciones reales de una curva es 2». Extenderemos este resultado cuerpos real cerrados, ofreciendo así una perspectiva más amplia sobre el comportamiento de esta constante en distintos contextos algebraicos y en función de las propiedades del cuerpo en el que se trabaje.

Considere un cuerpo de números K y su anillo de enteros O, si tenemos una representación matricial f de un grupo G que cumpla que su imagen f(G) está contenida en GL(O), diremos que es una representación integral. Si conjugamos nuestra representación por una matriz en GL(K), una representación integral puede dejar de serlo. En esta charla veremos cómo, comenzando con una representación descomponible e integral de dimensión dos, encontrar cuáles son las matrices que al conjugarse con nuestra representación generan una representación que siga siendo integral.

Para ello, estudiaremos una correspondencia que existe entre representaciones integrales y órdenes maximales. También estudiaremos cuáles son los órdenes maximales que contienen a cierta matriz, estudiando cada lugar v, dado por nuestro cuerpo K, y relacionando los órdenes maximales locales con el llamado árbol de Bruhat-Tits.

En este trabajo completaremos la construcción de códigos LRC dada en [6] en el caso de característica par. Se presentará una construcción general que nos permite obtener códigos LRC lineales de gran longitud n ~ q⁴, dimensión k y distancia mínima d del orden de q⁴, con localidad r = q - 1. En particular, mostraremos un ejemplo donde la tasa R = k/n es estrictamente mayor a ½

Demostraremos la existencia códigos isoduales binarios y ternarios largos utilizando la teoría de extensiones ciclotómicas de cuerpos de funciones desarrollada principalmente por D. Hayes y propiedades básicas del símbolo de Artin asociado a un automorfismo de una extensión ciclotómica.

Estos resultados fueron parte de un reciente trabajo en colaboración con M. Chara, R. Podesta y L. Quoos.

En 1991 Birch propuso un algoritmo para calcular formas modulares clásicas de peso 2 basado en una acción de Hecke en clases de formas cuadráticas ternarias, aunque solamente se obtienen formas modulares con signo + en la ecuacion funcional.

En 2005, en mi tesis de doctorado, introduje un refinamiento de la noción de equivalencia de formas cuadráticas ternarias con la cual se extiende el método de Birch para construir las formas modulares faltantes, al menos en el caso de nivel libre de cuadrados.

En un trabajo reciente con Jeffery Hein y John Voight (arXiv:2506.21981) generalizamos los algoritmos anteriores para calcular todas las formas modulares de Hilbert de peso par y carácter trivial excepto cuando el cuerpo de base tiene grado impar y el nivel es un cuadrado.

En esta charla presentaré algunas de las ideas de este trabajo.