Introducción a los Números Algebraicos Lista 5 - entrega 24/5

58. (2p.) Sea A = (a_{i,j}) una matriz m × m con coeficientes reales tales que a_{i,i} > 0 para todo i, a_{i,j} < 0 para todo i ≠ j, y además todas las filas de A suman 0. Mostrar que A tiene rango m − 1.

59. Mostrar que el subconjunto de ℝ^{n} definido por la desigualdad

|x_{1}| + ⋯ + |x_{r}| + 2 (\sqrt{x_{r+1}^{2} + x_{r+2}^{2}} + ⋯ + \sqrt{x_{n−1}^{2} + x_{n}^{2}}) ≤ n

es convexo. (Sugerencia: usar la desigualdad \sqrt{(a + b)^{2} + (c + d)^{2}} ≤ \sqrt{a^{2} + c^{2}}+\sqrt{b^{2} + d^{2}}.)

60. (a) Mostrar por inducción que

\frac{n^{n}}{n!} ≥ 2^{n−1}.

(b) Concluir que

|Δ(𝒪_{K})| ≥ 4^{r−1}π^{2s} > 1

61. (2p.) Mostrar que ℤ[\sqrt{6}] es un dominio principal. (Sugerencia: para (2) = (2, \sqrt{6})^{2}, buscar un elemento con norma ±2).

62. (2p.) Mostrar que hay dos clases de ideales en ℤ[\sqrt{10}]. (Sugerencia: no hay elementos de norma ±2, pero hay un elemento de norma 60.

63. (2p.) Mostrar que ℤ[\sqrt{223}] tiene tres clases de ideales.

64. (3p.) Mostrar que el anillo de enteros en ℚ[\sqrt{m}] es principal cuando m = −1, −2, −3, −7, −11, −19, −43, −67, −163.

65. Sea m un entero negativo libre de cuadrados, y supongamos que el anillo de enteros en ℚ[\sqrt{m}] es principal.

(a) Mostrar que m ≡ 5 (mod 8) excepto cuando m = −1, −2, −7. (Sugerencia: considerar un primo arriba de 2).

(b) Si p es un primo impar tal que 4p < |m|, entonces m es no residuo cuadrático módulo p.

(c) Concluir que si m < −19, entonces m es congruente módulo 840 a alguno de

−43, −67, −163, −403, −547, −667.

66. (a) Mostrar que el grupo de clases de ideales de ℤ[\sqrt{−14}] es cíclico de orden 4.

(b) Mostrar que el grupo de clases de ideales de ℤ[\sqrt{−21}] es el grupo no cíclico de orden 4 (grupo de Klein).

67. (2p.) Probar que el anillo de enteros en ℚ[\sqrt{−103}] tiene cinco clases de ideales. (Sugerencia: hay solo un ideal principal con norma 4 y solamente uno con norma 16).

68. (2p.) Probar que el anillo de enteros en ℚ[\sqrt{2}, \sqrt{−3}] es principal. Notar que éste cuerpo contiene a ℚ[\sqrt{−6}]; ¿contraejemplo de qué es esto?

69. (a) Probar que ℤ[ζ_{7}] es un dominio de idales principales.

(b) Probar que ℤ[ζ_{7} + ζ_{7}^{−1}] es un dominio de ideales principales.

70. (2p.) Mostrar que ℤ[\sqrt[3]{2}] es un dominio de ideales principales.

71. (a) Sea K un cuerpo de números, I un ideal de 𝒪_{K}. Mostarr que existe una extensión finita L/K en la que I se hace principal. (Sugerencia: alguna potencia de I es principal).

(b) Mostrar que existe una extensión finita L/K en la cual todo ideal de K se hace principal.

(c) Encontrar una extensión de grado 4 sobre K = ℚ[\sqrt{−21}] en la que todo ideal de

𝒪_{K} se haga principal.

72. Sea K = ℚ[α] con α = \sqrt[3]{2}. Recordar que 𝒪_{K} = ℤ[α], y Δ(α) = −108.

(a) Mostrar que u^{3} > 20, donde u es la unidad fundamental en ℤ[α].

(b) Mostrar que β = (α − 1)^{−1} es una unidad entre 1 y u^{2} ; concluir que β = u.

73. (a) Mostrar que x^{3} + x − 3 tiene una única raíz real α, con α > 1.2.

(b) Calcular Δ(α) y ver que es libre de cuadrados. Concluir que es igual a Δ(𝒪_{K}) donde K = ℚ[α].

(c) Determinar la unidad fundamental en 𝒪_{K}.

74. Sea K una extensión normal de ℚ con grupo de Galois G.

(a) Mostrar que K tiene grado 1 ó 2 sobre K ∩ ℝ.

(b) Mostrar que K ∩ ℝ es una extensión normal de ℚ si y solo si todos los monomorfismos de K ∩ ℝ son reales.

(c) Mostrar que 𝒪_{K}^{×}/(𝒪_{K}^{×} ∩ ℝ) es finito si y solo si la conjugación compleja está en el

centro de G.

75. Sea m ≥ 3.

(a) Mostrar que

1 − ζ_{m}^{k} = −2iζ_{2m}^{k} sen(kπ/m).

para todo k ∈ ℤ; concluir que

\frac{1 − ζ_{m}^{k}}{1 − ζ_{m}} = ζ_{2m}^{k−1} \frac{sen(kπ/m)}{sen(π/m)}.

(b) Mostrar que si k y m no son ambos pares, entonces ζ_{2m}^{k−1} = ±ζ_{m}^{h} para algún h ∈ ℤ.

(c) Mostrar que si k es coprimo con m entonces

u_{k} = \frac{sen(kπ/m)}{sen(π/m)}

es una unidad en ℤ[ζ_{m}].