Introducción a los Números Algebraicos Lista 4 - entrega 10/5

47. Sea K = ℚ(\sqrt{−3}, \sqrt{−7}), con grupo de Galois G = \{1, ρ, σ, τ\} donde los cuerpos fijos de ρ,σ,τ son, respectivamente, ℚ(\sqrt{−3}), ℚ(\sqrt{−7}) y ℚ(\sqrt{21}).

(a) Determinar los grupos de inercia I_{3}, I_{5}, I_{7}.

(b) Determinar los grupos de descomposición D_{3}, D_{5}, D_{7}.

48. (2p.) Supongamos que K/ℚ es una extensión cíclica (normal con grupo de Galois cíclico) de grado q^{m}, donde q es un primo. Sea K_{1}/ℚ la única subextensión de grado q. Mostrar que si p es un primo racional, ramificado en K_{1}, entonces p es totalmente ramificado en K. (Sugerencia: considerar el grupo de inercia I_{p}).

49. (2p.) Si K/ℚ es normal, sea Desc(K) el conjunto de primos racionales que descomponen totalmente en K. Mostrar que Desc(K) ⊆ Desc(K′) sii K′ ⊆ K.

50. Sea K/k una extensión de cuerpos de grado 3, donde K = k[α] con Irr_{k}(α) = F (X).

(a) Mostrar que si F (X) = (X − α)(X^{2} + bX + c), entonces Δ(F) = (b^{2} − 4c)(α^{2} + bα + c)^{2}.

(b) Mostrar que la clausura normal de K es K[\sqrt{Δ}].

(c) Concluir que K/k es Galois sii Δ ∈ ℚ^{2}.

51. Sea K/ℚ una extensión normal de grado 3, con grupo de Galois G cíclico de orden 3.

(a) Determinar la forma de la descomposición de p primo racional (no ramificado) en K según el orden del símbolo de Artin (\frac{K/ℚ}{p}).

(b) Determinar la densidad de primos racionales que son inertes en K y la densidad de primos racionales que descomponen totalmente en K.

(c) Sea F (X) = X^{3} − 3X + 1, de discriminante Δ = 81 ∈ ℚ^{2}. Verificar experimentalmente el resultado en este caso calculando la cantidad de primos menores que 1000 que son inertes en el cuerpo de raíces de F, y la cantidad que descomponen.

52. Sea K/ℚ una extensión de grado 3 que no sea normal, con discriminante Δ ∉ ℚ^{2}.

(a) Determinar la forma de la descomposición de p primo racional (no ramificado) en la clausura normal K[\sqrt{Δ}] según el orden del símbolo de Artin (\frac{K/ℚ}{p}).

(b) Determinar la forma de la descomposición de p primo racional en K según la descomposición en K[\sqrt{Δ}].

(c) Determinar la densidad de primos racionales según la forma de su descomposición en K. Comparar con el resultado del ejercicio 34.

53. Sea F (X) ∈ ℤ[X] un polinomio mónico de grado 4 cuyo cuerpo de raíces tiene grado 24 sobre ℚ.

(a) ¿Cuál es la densidad del conjunto de primos p tales que F (X) es producto de polinomios lineales módulo p?

(b) ¿Cuál es la densidad del conjunto de primos p tales que F (X) tiene por lo menos una raíz módulo p?

54. (Teoría de grupos) Considerar S_{5} como el grupo de permutaciones de los elementos de 𝔽_{5} = ℤ/5. Sea C_{5} el subgrupo de translaciones, i.e. permutaciones de la forma x ↦ x + b con b ∈ 𝔽_{5}. Sea N_{5} el normalizador de C_{5} en N_{5}, es decir N_{5} = {σ ∈ S_{5} : σC_{5}σ^{−1} = C_{5}}.

(a) Mostrar que N_{5} es el grupo de permutaciones de la forma x ↦ ax + b con b ∈ 𝔽_{5}, a ∈ 𝔽_{5}^{×}.

(b) Sea D_{5} el grupo de permutaciones de la forma x ↦ ±x + b con b ∈ 𝔽_{5}. Mostrar que los únicos subgrupos de S_{5} que contienen C_{5} son S_{5}, A_{5}, N_{5}, D_{5}, y C_{5}, de ordenes 120, 60, 20, 10, y 5 respectivamente.

(c) Describir las inclusiones entre esos cinco subgrupos.

55. (2p.) Sea F (X) ∈ ℤ[X] un polinomio mónico irreducible de grado 5. Sea K su cuerpo de raíces, y G = Gal(K/ℚ). Mostrar que G es isomorfo a uno de los cinco subgrupos de S_{5} mencionados en el ejercicio anterior, y de hecho es igual a uno de esos subgrupos como un grupo de permutaciones de las raíces de F (X) en K, si las raíces se identifican convenientemente con los elementos de 𝔽_{5}.

56. (3p.) Sea F (X) ∈ ℤ[X] un polinomio mónico irreducible de grado 5. Para cada uno de los cinco posibles grupos de Galois, calcular la densidad del conjunto P (F, i) de primos racionales p tales que F tiene exactamente i raíces módulo p. Hacer una tabla con los resultados.

57. (2p.) Se consideran los polinomios quínticos A(X) = X^{5} − X^{3} − 2X^{2} − 2X − 1, B(X) = X^{5} − X + 3, C(X) = X^{5} + X^{4} − 4X^{3} − 3X^{2} + 3X + 1, D(X) = X^{5} − 5, E(X) = X^{5}+10X^{3}−10X^{2}+35X−18. Todos son irreducibles, y sus discriminantes son Δ_{A} = 47^{2}, Δ_{B} = 252869 (primo), Δ_{C} = 11^{4}, Δ_{D} = 5^{9}, Δ_{E} = 2^{6} · 5^{8} · 11^{2}.

La tabla siguiente muestra para cada uno de los polinomios, la cantidad de primos p entre los primeros 1000 según el número de raíces del polinomio módulo p.

raíces 0  1  2 3 5
A 399 510 0 1 90
B 366 386 174 68 6
C 799 1  0 0 200
D 201 755 0 0 44
E 410 251 326 0 13

Con esta información, hacer una conjetura sobre los grupos de Galois de cada uno de los polinomios.