Introducción a los Números Algebraicos Lista 2 - entrega 12/4

19. Sea ω = e^{\frac{2πi}{p}} con p primo impar, y sea f(X) = 1 + X + X^{2} + … + X^{p−1} su polinomio minimal.

(a) Mostrar que f′(ω) = \frac{p}{ω(ω−1)}.

(b) Calcular N(f′(ω)) y concluir que Δ(ω) = ±p^{p−2} donde el signo es + si p ≡ 1 (mod 4) y − si p ≡ 3 (mod 4).

20. Sea ω = e^{\frac{2πi}{p}} con p primo impar.

(a) Mostrar que ℚ[ω] contiene a \sqrt{p} si p ≡ 1 (mod 4) y a \sqrt{−p} si p ≡ 3 (mod 4). (Sugerencia: usar la fórmula para Δ(ω) del ejercicio anterior). Expresar \sqrt{−3} y \sqrt{5} como polinomios en ω correspondiente.

(b) Mostrar que el octavo cuerpo ciclotómico contiene \sqrt{2}.

(c) Mostrar que todo cuerpo cuadrático está contenido en algún cuerpo ciclotómico. En efecto, K = ℚ[\sqrt{m}] está contenido en el d-ésimo cuerpo ciclotómico, donde d = Δ(𝒪_{K}). (Más generalmente, el Teorema de Kronecker-Weber muestra que cualquier extensión abeliana de ℚ — normal con grupo de Galois abeliano — está contenida en un cuerpo ciclotómico.)

21. (a) Mostrar, usando la norma, que 9 + \sqrt{10} es irreducible en ℤ[\sqrt{10}].

(b) Mostrar, usando la traza, que \sqrt{3} ∉ ℚ[\sqrt[4]{2}].

22. (2p.) Otra forma de definir traza y norma es la siguiente. Sea K un cuerpo de números y sea α ∈ K. La multiplicación por α es una transformación ℚ-lineal de K en K. Mostrar que T_{K}(α) y N_{K}(α) son, respectivamente, la traza y el determinante de dicha transforamción lineal.

23. Sea K un cuerpo de números de grado n sobre ℚ, y sean α_{1}, …, α_{n} ∈ K enteros algebraicos. Mostraremos que d = Δ(α_{1}, …, α_{n}) ≡ 0, 1 (mod 4) (criterio de Stickelberger).

(a) El determinante de (σ_{i}(α_{j})) es suma de n! términos, uno para cada permutación de {1, …, n}. Sea P la suma de los términos correspondientes a permutaciones pares, y sea N la suma de los términos correspondientes a permutaciones impares. Mostrar que

d = (P + N)^{2} − 4P N.

(b) Mostrar que P + N y P N están en ℤ y concluir la demostración.

24. (2p.) Mostrar que para cualquier número algebraico α, existe m ∈ ℤ, m ≠ 0 tal que mα es un entero algebraico. (Sugerencia: usar una potencia del coeficiente principal de f ∈ ℤ[X] que anule α).

25. (2p.) Sean a_{0}, a_{1}, …, a_{n−1} enteros algebraicos, y sea α ∈ ℂ tal que

α^{n} + a_{n−1}α^{n−1} + … + a_{1}α + a_{0} = 0.

Mostrar que ℤ[a_{0}, …, a_{n−1}, α] es finitamente generado, y concluir que α es un entero algebraico.

26. Sea R = ℤ[\sqrt{−5}].

(a) Mostrar que

(2) = (2, 1 + \sqrt{−5})^{2},
(3) = (3, 1 + \sqrt{−5}) (3, 1 − \sqrt{−5}).

(b) Probar que todos los ideales que aparecen a la derecha son primos. Sugerencia: observar que R/(2) tiene 4 elementos; ¿qué estructura tiene R/(2, 1 + \sqrt{−5})?

27. Sea R = ℤ[α] con α = \sqrt[3]{2}.

(a) Verificar que (5) = (5, α + 2) (5, α^{2} + 3α − 1)

(b) Mostrar que existe un isomorfismo de anillos

ℤ[x]/(5, x^{2} + 3x − 1) → (ℤ/5)[x]/(x^{2} + 3x − 1),

y un homomorfismo sobreyectivo

ℤ[x]/(5, x^{2} + 3x − 1) → R/(x^{2} + 3x − 1).

(c) Concluir que R/(5, α^{2}+3α−1) es un cuerpo de 25 elementos o R = (5, α^{2}+3α−1). Usar la parte (a) para ver que R ≠ (5, α^{2} + 3α − 1).

28. Sea R = ℤ[α] con α^{3} = α + 1.

(a) Verificar que (23) = (23, α − 10)^{2} (23, α − 3).

(b) Mostrar que (23, α − 10, α − 3) = R, y concluir que (23, α − 10) y (23, α − 3) son ideales relativamente primos entre sí.

29. Sea K = ℚ[\sqrt{m}], con m libre de cuadrados, y sea p un primo en ℤ. Verificar que las siguientes son factorizaciones en ideales primos de (p):

(a) Si p | m, entonces (p) = (p, \sqrt{m})^{2}.

(b) Si m es impar, entonces

(2) = \begin{cases}(2, 1 + \sqrt{m})^{2} & si m ≡ 3 (mod 4), \\ (2, \frac{1+\sqrt{m}}{2}) (2, \frac{1−\sqrt{m}}{2}) & si m ≡ 1 (mod 8), \\ primo & si m ≡ 5 (mod 8). \end{cases}

(c) Si p es impar, p ∤ m, entonces

(p) = \begin{cases}(p, n + \sqrt{m}) (p, n − \sqrt{m}) & si m ≡ n^{2} (mod p), \\ primo & si m no es un cuadrado módulo p. \end{cases}

30. Los polinomios F (X) = X^{3}+10X+1 y G(X) = X^{3}−8X+15 tienen ambos discriminante −4027, primo, y son ambos irreducibles (pues no tienen raíces racionales). Consideremos K = ℚ[α] y L = ℚ[β] con F (α) = 0 y G(β) = 0.

(a) Explicar por qué 𝒪_{K} = ℤ[α] y 𝒪_{L} = ℤ[β].

(b) Determinar la factorización de 2, 17, 4027 en ideales primos de 𝒪_{K} y de 𝒪_{L}.

(c) ¿Son K y L isomorfos?

31. Sea F (X) = X^{3} − X^{2} − 2X − 8. Observar que F (X) es irreducible en ℚ[X] (no tiene raíces racionales). Sea K = ℚ[α] con F (α) = 0, y sea β = (α^{2} − α)/2. Entonces β es raíz de G(X) = X^{3} −2X^{2} +3X −10 así que es un entero algebraico. Los dos polinomios F (X) y G(X) tienen el mismo discriminante −2012 = −4 · 503 (con 503 primo).

(a) Mostrar que 𝒪_{K} = ℤ[α, β] = ℤ + ℤα + ℤβ y verificar la tabla de multiplicar

α^{2} = α + 2β,  αβ = α + 4,  β^{2} = −2 + 2α + β.

(b) Mostrar que (2) = 𝔭𝔭′𝔭′′ donde 𝔭, 𝔭′ y 𝔭′′ son ideales primos de 𝒪_{K} tales que

(α, β) ≡ (0, 0) (mod 𝔭), (α, β) ≡ (0, 1) (mod 𝔭′), (α, β) ≡ (1, 1) (mod 𝔭′′).

(c) Mostrar que no existe ningún γ ∈ 𝒪_{K} tal que 𝒪_{K} = ℤ[γ] (¿cómo podría factorizar 2𝒪_{K} en ℤ[γ]?)

32. Sea F (X) ∈ ℤ[X] mónico irreducible, sea K = ℚ[α] con F (α) = 0, y supongamos que 𝒪_{K} = ℤ[α].

(a) Sea 𝔭 un ideal primo de grado 1 en 𝒪_{K}. Mostrar que 𝔭 = (p, m − α) donde 𝔭 | p, y m es un entero racional tal que α ≡ m (mod 𝔭).

(b) Mostrar que para m ∈ ℤ se tiene F (m) = N_{K}(m − α).

(c) Mostrar que si m ∈ ℤ y F (m) = p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}} ⋯ p_{r}^{a_{r}} es la factorización de F (m) entonces

(m − α) = ∏_{i}(p_{i}, m − α)^{a_{i}}

es la factorización de (m − α).

33. Sea α una raíz de F (X) = X^{2} + X + 6.

(a) Mostrar que ℤ[α] es el anillo de enteros en ℚ[\sqrt{−23}], y ver que (2) = 𝔭𝔭′, donde 𝔭 = (2, 1 − α) y 𝔭′ = (2, α).

(b) Mostrar que no hay elementos de norma 2 en ℤ[α], y concluir que 𝔭 no es principal.

(c) Usar F (1) = 2^{3} y las ideas del ejercicio anterior para mostrar que 𝔭^{3} es principal.

34. Hacer una conjetura sobre la estadística de cómo se descomponen los primos racionales en el cuerpo cúbico K del problema 30. En la tabla siguiente (calculada con gp), la línea [m,[a,b,c]] indica que de todos los primos menores que 1000m, la fracción de ellos que son inertes es a, la fracción que descompone como producto de dos primos es b y la fracción que descompone totalmente (producto de tres primos) es c.

?  n=vector(3,j,0.);for(m=1,40,forprime(p=m*1000-1000,m*1000,\
n[matsize(factormod(X^3+10*X+1,p,1))[1]]++);print([m,n/(n[1]+n[2]+n[3])]))
[1, [0.38690476, 0.48214286, 0.13095238]]
[2, [0.35643564, 0.48844884, 0.15511551]]
[3, [0.34883721, 0.49069767, 0.16046512]]
[4, [0.34181818, 0.49454545, 0.16363636]]
[5, [0.33931241, 0.49476831, 0.16591928]]
[6, [0.34099617, 0.49553001, 0.16347382]]
[7, [0.33222222, 0.51000000, 0.15777778]]
[8, [0.33167825, 0.51142006, 0.15690169]]
[9, [0.33124440, 0.51029543, 0.15846016]]
[10, [0.32872254, 0.50772986, 0.16354760]]
[11, [0.32958801, 0.50262172, 0.16779026]]
[12, [0.32892907, 0.50347705, 0.16759388]]
[13, [0.32967033, 0.50355527, 0.16677440]]
[14, [0.33777240, 0.49757869, 0.16464891]]
[15, [0.33352338, 0.50114025, 0.16533637]]
[16, [0.33243824, 0.50375940, 0.16380236]]
[17, [0.33061224, 0.50510204, 0.16428571]]
[18, [0.33187984, 0.50339147, 0.16472868]]
[19, [0.33039852, 0.50278035, 0.16682113]]
[20, [0.33244916, 0.50265252, 0.16489832]]
[21, [0.33135593, 0.50466102, 0.16398305]]
[22, [0.33116883, 0.50365260, 0.16517857]]
[23, [0.32917317, 0.50507020, 0.16575663]]
[24, [0.32946027, 0.50524738, 0.16529235]]
[25, [0.32910934, 0.50615496, 0.16473570]]
[26, [0.32972028, 0.50419580, 0.16608392]]
[27, [0.33130699, 0.50422155, 0.16447146]]
[28, [0.33224223, 0.50114566, 0.16661211]]
[29, [0.33523628, 0.49730415, 0.16745956]]
[30, [0.33436055, 0.49892142, 0.16671803]]
[31, [0.33502994, 0.49850299, 0.16646707]]
[32, [0.33595571, 0.49825175, 0.16579254]]
[33, [0.33436970, 0.49886942, 0.16676088]]
[34, [0.33397471, 0.49890049, 0.16712479]]
[35, [0.33413719, 0.49785638, 0.16800643]]
[36, [0.33525105, 0.49764644, 0.16710251]]
[37, [0.33545756, 0.49757838, 0.16696406]]
[38, [0.33656958, 0.49639034, 0.16704008]]
[39, [0.33625517, 0.49817385, 0.16557098]]
[40, [0.33404711, 0.50011896, 0.16583393]]