\documentclass[a4paper,12pt]{amsart} \linespread{1.2} \oddsidemargin=-2cm \evensidemargin=-2cm \topmargin=-2cm \textwidth=19.5cm \textheight=26.5cm \usepackage{amssymb,amscd,amsthm,epsfig,graphicx,psfrag,mathrsfs} \usepackage[dvips]{color} \usepackage[spanish]{babel} \usepackage[ansinew]{inputenc} \usepackage[centertags]{amsmath} \newcommand{\en}{\subset} \newcommand{\N}{\mbox{$\mathbb{N}$}} \newcommand{\Z}{\mbox{$\mathbb{Z}$}} \newcommand{\C}{\mbox{$\mathbb{C}$}} \newcommand{\R}{\mbox{$\mathbb{R}$}} \newcommand{\Res}{\mbox{$\mathcal{G}$}} \newcommand{\Rec}{\mbox{$\mathcal{R}$}} \newcommand{\T}{\mbox{$\mathbb{T}$}} \newcommand{\St}{\mbox{$\mathcal{S}$}} \newcommand{\D}{\mbox{$\mathbb{D}$}} \newcommand{\U}{\mathcal{U}} \newcommand{\Ce}{\mathcal{C}} \newcommand{\Orb}{\mathcal{O}} \newcommand{\In}{\mathcal{I}} \newtheorem{teo}{Teorema}[section] \newtheorem{conj}{Conjectura} \newtheorem{cor}{Corolario}[section] %\newtheorem{af}[teo]{Afirmaci�n} \newtheorem{lema}{Lema}[section] \newtheorem{prop}{Proposicion}[section] \newtheorem{propied}{Property} \newcommand{\bi}{\begin{itemize}} \newcommand{\ei}{\end{itemize}} \newcommand{\itm}[1]{\item [(#1)]} \theoremstyle{definition} \newtheorem{defi}{Definicion}[section] \theoremstyle{remark} \newtheorem{obs}[]{Observacion}[section] \newtheorem{ej}[]{Example} \newcommand{\cla}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\eps}{\varepsilon} \newcommand{\reg}{{\cal R}\left( f,[a,b] \right)} \newcommand{\cadenas}{\vdash\!\!\!\dashv} \newcommand{\ecu}{$\dot{x}=f(x)$ } \newcommand{\mon}{\mathcal{M}\emph{on}} \newcommand{\f}{\varphi} \newcommand{\comb}[2]{\left(^#1_#2\right)} \newcommand{\deriv}[1]{\frac{\partial #1}{\partial x}} \newcommand{\esbozo}{\vspace{.05in}{\sc\noindent Esbozo }} \newcommand{\dem}[1]{\vspace{.05in}{\sc\noindent Demostracion #1.}} \newcommand{\lqqd}{\par\hfill {$\Box$} \vspace*{.1in}} \newcommand{\finobs}{\par\hfill{$\diamondsuit$} \vspace*{.1in}} \newcommand{\trans}{\mbox{$\,{ \top} \;\!\!\!\!\!\!\raisebox{-.3ex}{$\cap$}\,$}} \DeclareMathOperator{\Diff}{Diff} \DeclareMathOperator{\Tang}{Tang} \DeclareMathOperator{\graf}{graf} \DeclareMathOperator{\diametro}{diam} %\DeclareMathOperator{\dim}{dim} \newcommand{\diff}[1]{\Diff^{#1}(M)} \author[R. Potrie]{Rafael Potrie} \address{CMAT, Facultad de Ciencias, Universidad de la Rep\'ublica, Uruguay} \email{rpotrie@cmat.edu.uy} \title{Teorema de la variedad estable en dimension dos.} %\author{Donnie Darko} \thanks{29 de octubre de 2009. Version SUPER PRELIMINAR} \begin{document} \maketitle \begin{abstract} La idea es hacer una demostraci\'on del clasico Teorema de la Variedad Estable para conjuntos hiperbolicos en el contexto un poco m\'as sencillo (por alguna cuenta nomas) de estar en dimensi\'on dos. La prueba es sacada de \cite{KH} solo que cambiando un poco el orden. Por ahora es una version preliminar y le faltan partes a la prueba. \end{abstract} %\tableofcontents \section{Introducci\'on} La idea de esta nota es dar una prueba del Teorema de Variedad Estable para conjuntos hiperb\'olicos de superficies. La prueba est\'a basada en la prueba del libro \cite{KH} donde se prueba el Teorema sin restricciones dimensionales. En realidad estas restricciones no son ``graves'', de hecho, con la prueba aca presentada r\'apidamente se puede reconstruir la prueba general. El Teorema en que nos basamos para hacer la prueba, el Teorema de Haddamard-Perron, tiene un enunciado m\'as general que el que introducimos y puede ser realmente \'util para aplicaciones (donde no haya hiperbolicidad, o la haya en un solo fibrado). Dado un difeomorfismo $f: M \to M$ donde $M$ es una superficie compacta, decimos que un conjunto compacto invariante $\Lambda \en M$ es un \emph{conjunto hiperb\'olico} si se cumple que para todo $x\in \Lambda$ existen subfibrados unidimensionales $E^s(x)$, $E^u(x)$ que verifican que $T_xM=E^s(x)\oplus E^u(x)$. Adem\'as, los subfibrados son invariantes, es decir, $D_x f(E^\sigma(x)) = E^\sigma(f(x))$ ($\sigma= s, u$) y adem\'as existen $C>0$ y $0<\lambda<1$ de forma tal que \[ \|D_xf^n_{/E^s(x)}\| < C\lambda^n \quad ; \quad \|D_xf^{-n}_{/E^u(x)}\| < C\lambda^n \qquad n\geq 0 \] De hecho, es bien conocido y no dificil de demostrar que mediante un cambio de norma se puede considerar que $C=1$. Esa es la norma que utilizaremos y llamaremos \emph{m\'etrica adaptada}. El estudio de estos conjuntos fue iniciado por Smale. Un resultado clave en ese estudio es que existe el Teorema de la Variedad estable que permite traducir la propiedad del diferencial a una propiedad en la propia variedad (siendo en muchos casos m\'as simple de testear la propiedad en el tangente, por ejemplo mediante el uso de conos). Una vez que se prueba el Teorema de la Variedad estable, bien se podr\'ia definir homeomorfismos hiperb\'olicos (salvo quizas para estudiar las propiedades erg\'odicas) y estudiar los teoremas conocidos (Teorema espectral, Shadowing Lemma, etc). Otra raz\'on de la importancia de estos conjuntos es su robustez, si consideramos un conjunto hiperb\'olico $\Lambda$ para un difeomorfismo $f$ y un entorno suficientemente peque\~no $U$, existe siempre un entorno $\U$ del difeomorfismo de forma tal que para cualquier $g\in \U$ se verifica que si $\Lambda_g$ es el invariante maximal en $U$, entonces $\Lambda_g$ es tambi\'en un conjunto hiperb\'olico. Adem\'as, si $\Lambda$ es invariante maxim\'al, entonces la din\'amica de $g$ en $\Lambda_g$ es conjugada a la de $f$ en $\Lambda$. Esta raz\'on adquiere una importancia a\'un mayor despu\'es de un c\'elebre Teorema de Ma\~ne que (escencialmente) da el rec\'iproco de esto (que hoy ya se encuentra completado). De esta manera, sabemos que los conjuntos hiperb\'olicos representan las din\'amicas que persisten a perturbaciones $C^1$. Enunciaremos ahora el Teorema de la Variedad Estable y referimos al lector a \cite{KH} por m\'as informaci\'on. \begin{teo}[Teorema de la Variedad Estable] Sea $\Lambda$ un conjunto hiperb\'olico para $f$ difeomorfismo $C^1$ de una superficie. Entonces, existe $\delta> 0$ un mapa $\phi^s : \Lambda \times [-1,1] \to M$ continuo tal que: \begin{itemize} \item $W^s_{loc}(x) = \phi^s(x,[-1,1])$ es una variedad $C^1$ tangente a $E^s$ en $x=\phi^s(x,0)$ y $\phi^s(x, \cdot)$ es un encaje $C^1$ que varia continuamente con $x \in \Lambda$. \item $f(W^s_{loc}(x)) \en W^s_{loc}(f(x))$ y se cumple que si $y \in W^s_{loc}(x)$ entonces $d(f^n(x),f^n(y)) \to 0$ con $n\to \infty$. \item La variedad es \'unica en el sentido de que si $W^s(x)= \{y\in M \ : \ d(f^n(x),f^n(y))\to 0\}$ entonces $W^s(x)= \bigcup_{n\geq 0} f^{-n}(W^s_{loc}(f^n(x))$. \item El mapa $\phi^s$ varia continuamente con $g\in \U$ entorno de $f$ (esto requiere alguna precision que no voy a hacer, si no se entiende, se puede ignorar, igual no lo voy a probar con mucha precisi\'on). \end{itemize} \end{teo} \section{Teorema de Hadamard-Perron} %DECIR QUE EN KH ES MAS GRAL, EN PARTICULAR NO PIDE HIPERBOLICO! \begin{teo}\label{HadamardPerron} Sea $f_m: \R^2 \to \R^2$ funciones de la forma $f_m(x,y)=(A_m x + \alpha_m (x,y), B_m y + \beta_m (x,y))$ para todo $m\in \Z$. Tenemos que adem\'as se cumple que $0<|B_m|<\lambda< 1 < \lambda^{-1} < |A_m|$ $\forall m\in \Z$. Entonces, existe $\gamma_0 >0$ tal que para todo $\gamma\in (0,\gamma_0)$ se cumple que existe $\delta=\delta(\gamma, \lambda)$ de forma tal que si \begin{itemize} \item $|\alpha_m(x,y)|<\delta$ y $|\beta_m(x,y)|<\delta$. \item $|(D\alpha_m)_{(x,y)}(v,w)|< \delta \sqrt{v^2 + w^2}$ y $|(D\beta_m)_{(x,y)}(v,w)|< \delta \sqrt{v^2 + w^2}$ . \item $\alpha_m(0,0)= \beta_m(0,0) =0$. \end{itemize} Entonces, existe una familia $\varphi^{+}_m:\R \to \R$ de funciones de clase $C^1$ y con derivada siempre menor a $\gamma$ que verifican que si $W^{+}_m =\graf (\varphi^{+}_m) = \{(x,\varphi^{+}_m) \ : \ x\in \R\}$ entonces se cumple: \begin{itemize} \item[(i)] $f_m(W^{+}_m) = W^{+}_{m+1}$. \item[(ii)] Existe $\nu \in (\lambda, 1)$ tal que se cumple que si $\xi \in W^{+}_m$ entonces \[ \|f_{m-k}^{-1}\circ \ldots \circ f_{m-1}^{-1}(\xi)\| < \nu^{k} \|\xi\| \] \item[(iii)] Las variedades est\'an caracterizadas por la propiedad $(ii)$. \end{itemize} \end{teo} \dem{de la existencia de variedades Lipchitz} Vamos a primero probar que existen las variedades y que son Lipchitz. Despues, un argumento no muy complejo nos permitir\'a ver que son diferenciables. % y terminar de probar la propiedad $(ii)$ que no va a quedar del todo probada al probar que son Lipchitz. Consideramos el conjunto de funciones reales $C^0_\gamma (\R) = \{ \varphi: \R \to \R \ : \ \varphi(0)=0 \ ; \ |\varphi(x)-\varphi(y)|\leq\gamma|x-y| \}$. Dada una funci\'on real $\varphi$ y una funci\'on $f:\R^2 \to \R^2$ con ciertas condici\'ones podemos definir $f_\ast (\varphi)$ como una funci\'on que verifique que $\graf f_\ast (\varphi) = f(\graf \varphi)$. Evidentemente esto no siempre estar\'a bien definido, probaremos que para las funciones $f_m$ y el conjunto de funciones reales $C^0_\gamma(\R)$ tenemos m\'as que estar bien definida: \begin{lema}\label{TransformadaDeGraficobiendef} Para cualquier $m\in \Z$ tenemos que $(f_m)_\ast( C^0_\gamma (\R)) \en C^0_\gamma(\R)$ si $\gamma$ y $\delta$ fueron bien elegidos. \end{lema} \dem{\!\!} Para $\varphi \in C^0_\gamma(\R)$, definimos $G^m_\varphi:\R \to \R$ como $G^m_\varphi(x) = A_m x + \alpha_m(x,\varphi(x))$, es decir la primer coordenada de aplicar $f_m$ a un punto del grafico de $\varphi$. Entonces, se cumple que la definici\'on de $(f_m)_\ast$ nos dice que (si esta bien definida) se tiene que verificar: \[ (f_m)_\ast \varphi (G^m_\varphi (x)) = B_m \varphi(x) + \beta_m (x,\varphi(x)) \] \noindent es decir la segunda coordenada de la imagen de un punto de $\graf \varphi$ por $f_m$. Por ende, para probar que est\'a bien definido basta ver que $G_\varphi^m$ es biyectiva. Para eso basta ver que \[ |G^m_\varphi(x)|= |A_m x + \alpha_m(x,\varphi(x))| > \lambda^{-1}|x| - \delta \|(x,\varphi(x))\| > \left(\lambda^{-1} - \delta\sqrt{1+\gamma^2}\right)|x| \] \noindent con lo cual, si $\delta < \lambda^{-1}/\sqrt{1+\gamma^2}$ estamos (recordar que como $|\varphi(x)|<\gamma |x|$ entonces $\|(x,\varphi(x))\|< \sqrt{1+\gamma^2}|x|$). %COTA PARA DELTA Y GAMMA!. Ahora llamamos $\tilde{\varphi}=(f_m)_\ast \varphi$ que ya sabemos est\'a bien definida. Evidentemente $\tilde{\varphi}(0)=0$. Veamos que es tambi\'en $\gamma-$Lipchitz: \[ |\tilde{\varphi}(G^m_\varphi(x)) - \tilde{\varphi}(G^m_\varphi(y)) | = |B_m (\varphi(x) - \varphi(y)) + \beta_m (x,\varphi(x)) - \beta_m(x,\varphi(x)) | < \] \[<\lambda|\varphi(x) - \varphi(y)| + \delta \|(x - y, \varphi(x)-\varphi(y))\| <\left(\lambda \gamma + \delta \sqrt{1+\gamma^2}\right)|x-y| \] Entonces, por una cuenta analoga a la que hicimos para estimar $|G_\varphi^m(x)|$ tenemos que $|G^m_\varphi(x)-G^m_\varphi(y)|> \left(\lambda^{-1} - \delta\sqrt{1+\gamma^2}\right)|x-y|$ y por lo tanto \[ \frac{|\tilde{\varphi}(G^m_\varphi(x)) - \tilde{\varphi}(G^m_\varphi(y))|}{|G^m_\varphi(x)-G^m_\varphi(y)|} < \frac{\lambda \gamma + \delta \sqrt{1+\gamma^2}}{\lambda^{-1} - \delta\sqrt{1+\gamma^2}} \] Es facil ver que si $\delta$ es suficientemente peque\~no \footnote{Se tiene que cumplir (es facil despejar para verlo) que $\delta< \frac{(\lambda^{-1}-\lambda)\gamma}{(1+\gamma)\sqrt{1+\gamma^2}}$. Observar que $\delta \to 0$ con $\gamma \to 0$ lo cual es razonable, sino, habria un $\delta$ para el cual sirve cualquier $\gamma$ y los razonamientos que hacemos darian que la variedad invariante es la dada por la funci\'on nula que obviamente no necesariamente es el caso. Observar tambi\'en que si suponemos $\gamma<1$, que lo haremos, esta cota es m\'as fuerte que la hayada antes para que $G_\varphi^m$ sea biyectiva.} (fijado $\gamma$, que supondremos siempre menor que uno) tendremos que la funci\'on $\tilde{\varphi}$ es $\gamma$-Lipchitz. %ACA HAY OTRA COTA QUE VA GANANDO SI \gamma<1 \lqqd La idea ahora, es poner una m\'etrica que haga que el espacio $C^0_\gamma(\R)$ sea completo y donde esta aplicaci\'on sea una contracci\'on. Definimos entonces \[ d(\varphi, \psi) = \sup_{x\neq 0} \frac{|\varphi(x) - \psi(x)|}{|x|} \] \noindent que dado que las funci\'ones son $\gamma-$Lipchitz, tenemos que esta acotada por $2\gamma$ ($d(\varphi,\psi) \leq \frac{|\varphi(x)|}{|x|} + \frac{|\psi(x)|}{|x|}$). Adem\'as, no es dif\'icil ver que con esta m\'etrica, el espacio $C^0_\gamma(\R)$ es completo (si $\varphi_n$ es una sucesi\'on de Cauchy, evidentemente converge puntualmente, adem\'as, esta norma permite acotar uniformemente la distancia de un elemento de la sucesi\'on a dicho limite puntual). Veamos que las funciones elegidas contraen en esta distancia \begin{lema}\label{contraccionTransfdelGrafico} Para cualquier $m\in \Z$ tenemos (si $\gamma$ y $\delta$ fueron bien elegidos) que existe $\eta<1$ tal que $d((f_m)_\ast \varphi, (f_m)_\ast \psi) < \eta d(\varphi, \psi)$ donde $\varphi,\psi \in C^0_\gamma(\R)$. \end{lema} \dem{\!\!} Sean $\tilde{\varphi}=(f_m)_\ast \varphi$ y $\tilde{\psi}=(f_m)_\ast \psi$. \[|\tilde{\varphi}(G^m_\varphi(x))- \tilde{\psi}(G^m_\varphi(x))| \leq |\tilde{\varphi}(G^m_\varphi(x))- \tilde{\psi}(G^m_\psi(x))| + |\tilde{\psi}(G^m_\psi(x))- \tilde{\psi}(G^m_\varphi(x))| \leq\] \[ \leq |B_m(\varphi(x)-\psi(x))| + |\beta_m(x,\varphi(x))- \beta_m(x,\psi(x))| + \gamma |G^m_\varphi(x)-G^m_\psi(x)| <\] \[ < (\lambda +\delta) |\varphi(x)-\psi(x)| + \gamma |\alpha_m(x,\varphi(x))-\alpha_m(x,\psi(x))|< (\lambda+\delta(1+\gamma)) d(\varphi,\psi)|x| \] Ya habiamos calculado en el lema anterior que $|G^m_\varphi(x)| \geq \left(\lambda^{-1} - \delta\sqrt{1+\gamma^2}\right)|x|$ entonces \[ d(\tilde{\varphi},\tilde{\psi}) < \frac{\lambda+\delta(1+\gamma)}{\lambda^{-1} - \delta\sqrt{1+\gamma^2}} d(\varphi,\psi) \] Con lo cual, si elegimos bien\footnote{Alcanza despejar para ver que sirve $\delta < \frac{\lambda^{-1}-\lambda}{1+\gamma +\sqrt{1+\gamma^2}}$ Dependiendo de $\gamma$ puede que esta cota sea mejor o peor que la hayada en el Lema anterior. Lo que es cierto es que si $\gamma$ es muy peque\~no, esta cota es peor.} $\delta$ y $\gamma$ tenemos lo deseado. %ACA HAY OTRA COTA! \lqqd Consideremos entonces el conjunto $C^0_\gamma = \{ \{\varphi_m\}_{m\in\Z} \ : \ \varphi_m \in C^0_\gamma(\R) \}$. Definimos en este espacio la m\'etrica \[ d(\{\varphi_m\},\{\psi_m\} ) = \sup_{m\in \Z} d(\varphi_m , \psi_m) \] \noindent que lo hace un espacio m\'etrico completo. El lema anterior nos permite probar que el mapa $f_\ast: C^0_\gamma \to C^0_\gamma$ dado por \[ f_\ast \{\varphi_m\} = \{ (f_m)_\ast(\varphi_m) \} \] \noindent es una contracci\'on y por lo tanto tiene un punto fijo. Es decir, existe una familia $\{\varphi^{+}_m\}$ de funci\'ones en $C^0_\gamma(\R)$ que verifica que $\varphi^{+}_{m+1} = (f_m)_\ast (\varphi_m^{+})$ para todo $m \in \Z$. Claramente esta familia es \'unica entre las que son $\gamma$-Lipchitz y adem\'as, notar que si variamos poco los mapas $f_m$, de forma de variar poco el mapa $f_\ast$, la familia varia poco en la familia que dimos!. La propiedad $(ii)$ del Teorema se deduce del siguiente Lema mediante una inducci\'on directa. \begin{lema} Si $\gamma$ y $\delta$ son bien elegidos, se cumple que $\exists \nu \in (\lambda,1)$ tal que si $\xi \in \{(x,y) \ : \ \gamma|x|\geq |y| \}$ entonces $\|\xi\| < \nu \|f_m(\xi)\|$. \end{lema} \dem{\!\!} Supongamos que $\xi=(x,y)$. Como $|x|\geq \gamma|y|$ tenemos $\|\xi\|\leq \sqrt{1+\gamma^{2}}|x|$. Tambi\'en tenemos \[ \|f_m(x,y)\| = \|(A_m x + \alpha_m(x,y), B_m y + \beta_m(x,y))\| > \left( \lambda^{-1} - \delta \sqrt{1+\gamma^2} \right) |x| \] Con lo cual tenemos que $\|\xi\| < \frac{\sqrt{1+\gamma^2}}{\lambda^{-1} - \delta \sqrt{1+\gamma^2}} \|f_m(\xi)\| $ y eligiendo bien $\delta$ y $\gamma$ estamos\footnote{ Aca alcanza que $\delta< \frac{\lambda^{-1}}{\sqrt{1+\gamma^2}} -1$ con lo cual hay que pedir en particular que $\gamma < \sqrt{\lambda^{-2} -1}$. En el \cite{KH} las cotas son mejores, no se bien como hace, porque ahi permite que no sean estables o inestables con lo cual queda mejor seguro porque aca necesitamos $\lambda^{-1}>1$.}. %COTAS EN PARTICULAR ACA HAY COTA DE GAMMA! \lqqd Como la familia $\varphi^{+}_m$ verifica que todos los iterados tienen los graficos contenidos en el conjunto dado por el Lema de arriba, tenemos que paso a paso se va a cumplir que la norma de los iterados pasados va a ir yendo a cero exponencialmente. Para ver que la familia queda caracterizada, usamos que si los puntos NO estan en el cono que definimos arriba, entonces no se va a verificar la contracci\'on y por lo tanto se van a acercar a la ``otra'' variedad (intentaremos hacer esto m\'as prolijamente al estudiar la diferenciabilidad). \lqqd \begin{obs}\label{todoslospuntos} Se puede ver, si en vez de usar $C^0_m(\R)$ usamos las funciones que pasan por la orbita por $f_m$ de algun punto dado, que podemos construir las variedades para todos estos puntos. Con un argumento no muy complicado, usando que las variedades quedan caracterizadas, podemos ver que estas variedades varian uniformemente en compactos con el punto. \finobs %MEJORAR QUIZA \end{obs} \dem{de la diferenciabilidad de las variedades} La idea es la siguiente, ahora vamos a trabajar con el diferencial de los $f_m$ y ver que en todo punto solo puede haber un subespacio invariante ``horizontal'' y uno ``vertical''. Definimos, para todo $\xi = (x,y)\in \R^2$ el $\eta-$cono horizontal $H^\xi_\eta = \{ (v,w) \in T_\xi \R^2 \ : \ |w|\leq \eta |v| \}$. Analogamente, definimos el $\eta$-cono vertical $V^\xi_\eta = \{ (v,w) \in T_\xi \R^2 \ : \ |v|\leq \gamma |w| \}$. \begin{lema} Si $\delta$ y $\gamma$ son bien elegidos, entonces, existe $\kappa<1$ tal que $D_\xi f_m (H^\xi_\gamma) \en H^{f_m(\xi)}_{\kappa \gamma}$ para cualquier $m\in \Z$. \end{lema} \dem{\!\!} Sea $(v,w) \in H^\xi_\gamma$ y $(v',w') = Df_m (v,w)$. \[ |v'| = | A_m v + D\alpha_m (v,w)| > \lambda^{-1} |v| - \delta \sqrt{ v^2 + w^2} \geq \left( \lambda^{-1} -\delta \sqrt{1+\gamma^2}\right) |v| \] \[ |w'| = |B_m w + D\beta_m (v,w)| < \left(\lambda + \delta \sqrt{1+\gamma^2}\right)|v| \] Con lo cual, si elegimos bien $\gamma$ y $\delta$ obtenemos lo deseado\footnote{Basta elegir $\delta< \frac{\lambda^{-1}-\lambda}{2\sqrt{1+\gamma^2}}$. Ver que con esto se obtiene, sabiendo cuanto es $\delta$, cual es el \'angulo a partir del cual los conos horizontales se mapean adentro de ellos mismos.}. \lqqd Obvio que hay un Lema an\'alogo para $V^\xi_\gamma$ con $Df_m^{-1}$. Consideramos $\xi_k= f_{m-k}^{-1}\circ \ldots \circ f_{m-1}^{-1} (\xi)$ y sea \[ E^+_\xi = \bigcap_{k>0} Df_{m-1} \circ \ldots \circ Df_{m-k} (H^{\xi_k}_\gamma) \] \begin{lema} $E^+_\xi$ es un subespacio. \end{lema} \dem{\!\!} Por el Lema anterior, es una intersecci\'on decreciente. Por lo tanto, observando que en cada paso es un cono, $E^+_\xi$ es tambi\'en un cono (i.e. es cerrado por producto por escalares y por la suma tambi\'en si nos restringimos a una componente conexa luego de sacar el cero, evidentemente los conos se mandan en conos por transformaciones lineales). Supongamos que no es un subespacio, entonces, tenemos que un cierto vector $(v,w) \in E^+_\xi$ se escribe como $(v,w') + (0,w'')$ con $(v,w')\in E^+_\xi$ y $w'' \neq 0$. Como $(0,w'')$ est\'a en $V^\xi_\gamma$, sus iterados pasados por $Df_m^{-1}$ tambi\'en lo estar\'an, y mediante un c\'alculo simple (donde alcanzan las cotas ya consideradas para $\delta$ y $\gamma$) obtenemos que su norma se expande. A partir de un momento, como la norma de $(v,w')$ y la de $(v,w)$ a pasado deber\'ian achicarse, se llega a una contradicci\'on. %QUIZAS HACER LAS CUENTAS ALGUN DIA \lqqd Vamos a ver que las variedades $W^{+}_m$ son tangentes en todos sus puntos a los subespacios $E^+$ que reci\'en construimos. Recordar que $W^+_m = \graf \varphi_m^+$ donde $\varphi^+_m$ es una funci\'on $\gamma-$Lipchitz. Definimos el \emph{conjunto tangente} a $W^+_m$ en $\xi=(x,\varphi^+_m(x))$ como $\tau_\xi W^+_m = \{ (v,w) \in T_{\xi}\R^2 \ : \ \exists x_n \to x \ ; \ \lim_n \frac{\varphi^+_m(x_n) - \varphi^+_m(x)}{x_n - x} = \frac{w}{v} \}$. Evidentemente, como las funciones $\varphi^+_m$ son $\gamma-$Lipchitz, tenemos que $\tau_\xi W^+_m \en H^\xi_\gamma$ para todo $\xi \in W^+_m$. Al mismo tiempo, es evidente que estos subconjuntos, son $Df_m$-invariantes, y por lo tanto, obtenemos que coinciden con $E^+_\xi$. Esto muestra que las variedades $W^+_m$ son diferenciables y sus derivadas son los subespacios $E^+_\xi$. \lqqd \section{Teorema de la variedad estable} Sea $\Lambda \en M$ un conjunto compacto hiperb\'olico (transitivo por simplicidad) para un difeomorfismo $C^1$ de $M$, superficie compacta.. Podemos suponer $M$ tiene una m\'etrica adaptada con lo cual tendremos que para todo $\xi \in \Lambda$ se verifica que tenemos una descomposici\'on invariante $E^s\oplus E^u$ y se verifica que \[ \|Df^n_\xi v \| < \lambda^n \|v\| \qquad v\in E^s\backslash\{0\} \ , \ n\geq 0 \] \[ \|Df^{-n}_\xi v \| < \lambda^n \|v\| \qquad v\in E^u\backslash\{0\} \ , \ n\geq 0 \] Eligiendo un vector unitario $s \in E^s$ y uno $u \in E^u$, podemos definir un producto interno que hace que si $v_1 = a_1 s + b_1 u$ y $v_2 = a_2 s + b_2 u$ entonces $\langle v_1, v_2\rangle = a_1a_2 + b_1b_2$ que verifica que si bien varia continuamente, no necesariamente varia diferenciablemente con el punto donde la medimos (porque hay que ver bien los coeficientes en la metrica riemanniana original de este nuevo producto interno, observar que se puede aproximar por una metrica $C^\infty$ que tb ser\'a adaptada y los angulos ``casi'' perpendiculares). Vamos a intentar llevar esta situaci\'on al contexto del Teorema probado en la secci\'on anterior. Como $M$ es compacta, tenemos que existe $\eta>0$ tal que para cualquier punto $\xi \in M$ se cumple que $\exp_x: B(0,\eta) \to M$ esta bien definida y es un difeomorfismo (estamos usando una metrica que sea una extensi\'on de la de arriba, si se quiere la aproximaci\'on diferenciable, pero por simplicidad vamos a asumir que los \'angulos son rectos, sino se hace cambio de coordenadas despu\'es). Dado entonces $\xi \in \Lambda$, definimos los siguientes mapas $\tilde{f}_m : B(0,\eta) \to \R^2$ dados por $\tilde{f}_m (x) = \exp_{f^{m+1}(\xi)}^{-1} \circ f \circ \exp_{f^m(\xi)}(x)$. Elegimos $\gamma$ y $\delta$ para que funcione el Teorema de Hadamard Perron y entonces podemos, utilizando la continuidad uniforme de $Df$ elegir $\eta'< \eta$ de forma tal que si ``pegamos'' $\tilde{f_m}$ con la parte lineal, podemos construir una sucesi\'on de mapas $f_m:\R^2 \to \R^2$ verificando las hipotesis del Teorema de Hadamard Perron. Esto lo enunciamos en el siguiente Lema no muy dif\'icil. \begin{lema}[Lema de extensi\'on] Sea $U$ entorno abierto del $0$ en $\R^n$. Sea $f: U \to \R^n$ un difeomorfismo local tal que $f(0)=0$. Para $\eps>0$ existe $\delta>0$ y un difeomorfismo $\overline f : \R^n \to \R^n$ de forma tal que $\|\overline f - Df_0\|_{C^1} < \eps$ y $\overline f = f$ en $B(0,\delta)$. Adem\'as, $\delta$ depende \'unicamente del m\'odulo de continuidad de $f- Df_0$ cerca de $0$. \end{lema} \dem{\!\!} Sea $\nu$ tal que $f$ est\'a $\eta$-$C^1$ cerca de $Df_0$ en $B(0,\nu)$. Sea $\rho:\R^n \to [0,1]$ tal que $\rho=1$ en $B(0,\delta)$ y $\rho=0$ en $B(0,\nu)^c$ con $\delta< \nu/6$. Pedimos tambi\'en que $\|D\rho\|< 2 / \nu$. Tomamos $\overline f= \rho f + (1-\rho Df_0)$, con lo cual $\overline f - Df_0 = \rho (f - Df_0)$. Por como elegimos $\nu$, tenemos que $ \| \overline f - Df_0\|_{C^0} < \eta$. Al mismo tiempo, $\| D(\overline f - Df_0) \| \leq \| D\rho (f - Df_0) \| + \| \rho (Df - Df_0)\| < \frac{\eta}{\nu} + \frac{\eta}{2}$. Si elegimos $\eta$ convenientemente, tenemos lo deseado. Observar que $\frac{\eta}{\nu}$ depende del m\'odulo de continuidad y es la \'unica restricci\'on para la elecci\'on. \lqqd Las variedades invariantes que conseguimos, al menos la parte que se mantiene (a futuro, o a pasado, segun que variedad hablemos) en la bola de radio $\eta'$ bajara por la exponencial a unas variedades estables e inestables, que tendr\'an tama\~no uniforme, y por las consideraciones hechas en la secci\'on anterior variaran continuamente con el punto y con el difeomorfismo. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{thebibliography}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \bibitem[KH]{KH} Katok Hasselblat, Introduction to the modern theory of dynamical systems. \end{thebibliography} \end{document}