\documentclass[a4paper,11pt]{amsart} %Tamaņos \linespread{1.1} \oddsidemargin=-0.5cm \evensidemargin=-0.5cm \topmargin=-1cm \textwidth=17cm \textheight=25cm \usepackage{amssymb,amscd,amsthm,mathrsfs} \usepackage[varg]{pxfonts} \usepackage{epsfig,graphicx,psfrag,mathrsfs} \usepackage[dvips]{color} \usepackage[spanish]{babel} \usepackage[ansinew]{inputenc} \usepackage[centertags]{amsmath} %Capitulos, etc %Letras \newcommand{\N}{\mbox{$\mathbb{N}$}} \newcommand{\Z}{\mbox{$\mathbb{Z}$}} \newcommand{\C}{\mbox{$\mathcal{C}$}} \newcommand{\R}{\mbox{$\mathbb{R}$}} \newcommand{\Res}{\mbox{$\mathcal{R}$}} \newcommand{\T}{\mbox{$\mathbb{T}$}} \newcommand{\U}{\mathcal{U}} \def\AA{{\mathbb A}} \def\BB{{\mathbb B}} \def\CC{{\mathbb C}} \def\DD{{\mathbb D}} \def\EE{{\mathbb E}} \def\FF{{\mathbb F}} \def\GG{{\mathbb G}} \def\HH{{\mathbb H}} \def\II{{\mathbb I}} \def\JJ{{\mathbb J}} \def\KK{{\mathbb K}} \def\LL{{\mathbb L}} \def\MM{{\mathbb M}} \def\NN{{\mathbb N}} \def\OO{{\mathbb O}} \def\PP{{\mathbb P}} \def\QQ{{\mathbb Q}} \def\RR{{\mathbb R}} \def\SS{{\mathbb S}} \def\TT{{\mathbb T}} \def\UU{{\mathbb U}} \def\VV{{\mathbb V}} \def\WW{{\mathbb W}} \def\XX{{\mathbb X}} \def\YY{{\mathbb Y}} \def\ZZ{{\mathbb Z}} \def\cA{\mathcal{A}} \def\cG{\mathcal{G}} \def\cM{\mathcal{M}} \def\cS{\mathcal{S}} \def\cB{\mathcal{B}} \def\cH{\mathcal{H}} \def\cN{\mathcal{N}} \def\cT{\mathcal{T}} \def\cC{\mathcal{C}} \def\cI{\mathcal{I}} \def\cO{\mathcal{O}} \def\cU{\mathcal{U}} \def\cD{\mathcal{D}} \def\cJ{\mathcal{J}} \def\cP{\mathcal{P}} \def\cV{\mathcal{V}} \def\cE{\mathcal{E}} \def\cK{\mathcal{K}} \def\cQ{\mathcal{Q}} \def\cW{\mathcal{W}} \def\cF{\mathcal{F}} \def\cL{\mathcal{L}} \def\cR{\mathcal{R}} \def\cX{\mathcal{X}} \def\cY{\mathcal{Y}} \def\cZ{\mathcal{Z}} %Teoremas \newtheorem*{teo*}{Teorema} \newtheorem*{mainteo}{Teorema principal} \newtheorem*{teoA}{Teorema A} \newtheorem*{teoB}{Teorema B} \newtheorem{teo}{Teorema}[section] \newtheorem{conj}{Conjetura} \newtheorem{quest}{Pregunta} \newtheorem{cor}{Corolario}[section] \newtheorem*{af}{Afirmaci\'on} \newtheorem{lema}{Lema}[section] \newtheorem{prop}{Proposici\'on}[section] \newtheorem{propied}{Propiedad} \newcommand{\bi}{\begin{itemize}} \newcommand{\ei}{\end{itemize}} \newcommand{\itm}[1]{\item [(#1)]} \theoremstyle{definition} \newtheorem{defi}{Definici\'on} \theoremstyle{remark} \newtheorem{obs}[]{Observaci\'on} \newtheorem{ej}[]{Ejemplo} %Pruebas y fin de pruebas \newcommand{\esbozo}{\vspace{.05in}{\sc\noindent Esbozo }} \newcommand{\demo}[1]{\vspace{.05in}{\sc\noindent Demostraci\'on #1.}} \newcommand{\dem}{\vspace{.05in}{\sc\noindent Demostraci\'on.}} \newcommand{\lqqd}{\par\hfill {$\Box$} \vspace*{.05in}} \newcommand{\finobs}{\par\hfill{$\diamondsuit$} \vspace*{.05in}} % Algunos comandos \newcommand{\cla}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\eps}{\varepsilon} \newcommand{\f}{\varphi} \newcommand{\sig}{\Sigma} \newcommand{\en}{\subset} \newcommand{\trans}{\mbox{$\,{ \top} \;\!\!\!\!\!\!\raisebox{-.3ex}{$\cap$}\,$}} \DeclareMathOperator{\Diff}{Diff} \DeclareMathOperator{\Tang}{Tang} \DeclareMathOperator{\diametro}{diam} \newcommand{\diff}[1]{\Diff^{#1}(M)} \author[R. Potrie]{Rafael Potrie} \address{CMAT, Facultad de Ciencias, Universidad de la Rep\'ublica, Uruguay} \email{rpotrie@cmat.edu.uy} \title{Teorema de Katok en dimensi\'on dos y variedad estable de Pesin} \thanks{17 de abril de 2010} \begin{document} \maketitle \begin{abstract} La idea es dar una prueba del Teorema de Katok en el caso de superficies. Nos basamos en \cite{Buzzi} y \cite{KH}. Asumimos la desigualdad de Ruelle y el principio variacional (ver \cite{M}) que probaremos en otro momento y el teorema de Oseledets que presentamos en otra nota y se puede encontrar en \cite{avilabochi}. \end{abstract} \section{Introducci\'on}\label{section1} El objetivo de esta nota es probar el siguiente Teorema. \begin{teo}[Katok] Un difeomorfismo $f$ de clase $C^{1+\alpha}$ de una superficie compacta con entropia positiva verifica que $$ \limsup_{n\to \infty} \frac 1 n \log \# \{ x \ : \ f^n(x)=x \} \geq h_{top}(f) $$ \end{teo} En realidad, no llegaremos a mostrar esta versi\'on exactamente sino que mostraremos una versi\'on un tanto m\'as cualitativa, es decir, si un difeomorfismo de clase $C^{1+\alpha}$ de una superficie compacta tiene entropia positiva, entonces, posee infinitos puntos peri\'odicos de per\'iodos arbitrariamente grandes (de hecho, que contiene una herradura). Para entender la prueba de eso solamente, el lector puede saltearse las secciones \ref{SectionDiferenciabilidad} y \ref{sectionVarEstable} asi como el Ap\'endice (donde discutiremos algunos resultados conocidos en el caso que $f$ sea $C^1$ y exista descomposici\'on dominada). Vale la pena mencionar algunos resultados vinculados. Misiurewicz (\cite{Mis}) prueba que el resultado es cierto para mapas continuos (no necesariamente diferenciables) del intervalo. Por otro lado, Mary Rees (\cite{Rees}) construye un ejemplo de homeomorfismo minimal del toro $\TT^2$ (en particular sin orbitas peri\'odicas) y con entrop\'ia positiva, dicho ejemplo se puede hacer incluso unicamente erg\'odico (\cite{BCL}). No es dificil ver que en dimensiones m\'as grandes, se puede hacer ejemplos de mapas reales anal\'iticos con entropia positiva y sin orbitas peri\'odicas (basta tomar un anosov lineal por una rotacion irracional), por otro lado, Herman (\cite{H}) construye en dimension 4 un difeomorfismo anal\'itico que al mismo tiempo es minimal, por lo que tengo entendido, no se sabe si se puede hacer \'unicamente erg\'odico. \subsection{Teorema de Oseledets}\label{sectOseledet} Para comenzar utilizaremos el siguiente resultado que enunciamos en el caso de superficies. Ver \cite{KH,M,avilabochi} por mas informaci\'on y demostraciones. \begin{teo}[Oseledets] Sea $f$ un difeomorfismo $C^1$ de una superficie compacta $M$ y sea $\mu$ una medida erg\'odica invariante por $f$. Entonces, existen $\lambda_1 \leq \lambda_2$ que verifican lo siguiente: \begin{itemize} \item[-] Si $\lambda_1 =\lambda_2 =\lambda$, entonces se tiene que para casi todo punto $x$ segun $\mu$ se tiene que si $v\in T_xM \backslash \{0\}$ entonces existe el siguiente l\'imite $$\lim_{n\to \pm \infty} \frac 1 n \log(\|Df^n_x v\|) = \lambda $$ \item[-] Si $\lambda_1<\lambda_2$ entonces se tiene que existen $E_1(x),E_2(x)$ espacios invariantes para casi todo punto segun $\mu$ (i.e. $Df_x(E_i(x))= E_i(f(x))$) que verifican $T_xM =E_1(x) \oplus E_2(x)$ y se verifica que si $v\in E_i(x)$ entonces existen los siguientes l\'imites $$ \lim_{n\to \pm \infty} \frac 1 n \log(\|Df^n_x v\|) = \lambda_i $$ $$ \lim_{n\to \pm \infty} \frac 1 n \log \sin \langle(E_1(f^n(x)), E_2(f^n(x))) $$ \end{itemize} \end{teo} A los valores $\lambda_1$ y $\lambda_2$ les llamamos \emph{exponentes de Lyapunov} y en el caso que ambos sean distintos de cero decimos que $\mu$ es una medida hiperb\'olica. Usualmente nos vamos a interesar en el caso (m\'as interesante) en que $\lambda_1 < 0 < \lambda_2$. %No es dif\'icil probar que en el caso que $\lambda_2<0$ la medida est\'a soportada en un pozo (an\'alogamente, si $\lambda_1>0$ es una fuente). \subsection{Resultados sobre la entrop\'ia}\label{sectEntropia} Vamos a utilizar dos resultados fundamentales sobre la entrop\'ia y como se relacionan con los exponentes de Lyapunov. Ver \cite{M} por pruebas y m\'as detalles en las definiciones de entrop\'ia (que no utilizaremos realmente pues lo que usaremos queda escondido en estos teoremas). \begin{teo}[Principio Variacional] Sea $T:X\to X$ continua en $X$ compacto. Entonces $$ h_{top}(T) = \sup_{\mu \ invariante} h_{\mu}(T) = \sup_{\mu \ ergodica} h_{\mu}(T) $$ \end{teo} Por tanto, sabemos que si un difeomorfismo tiene entropia positiva, entonces tiene medidas ergodicas cuya entropia es arbitrariamente cercana a dicha entropia. La entropia m\'etrica se relaciona con los exponentes de Lyapunov a trav\'es de la siguiente desigualdad de Ruelle. \begin{teo}[Desigualdad de Ruelle] Sea $f: M \to M$ un difeomorfismo $C^1$ de una superficie y $\mu$ una medida erg\'odica, entonces, $\lambda_1<0<\lambda_2$ y $$ h_{\mu}(f) \leq \min \{ \lambda_2, -\lambda_1 \} $$ \end{teo} \section{Teor\'ia Lineal} En esta secci\'on vamos a ver como el crecimiento subexponencial de los \'angulos entre los espacios invariantes que nos garantiza el Teorema de Oseledets, nos permite ``diagonalizar'' la derivada para hacerla actuar practicamente como un cociclo diagonal. \begin{teo}[$\eps$-Reducci\'on de Pesin]\label{reduccion} Sea $f:M\to M$ difeomorfismo $C^1$ de una superficie y $\mu$ una medida erg\'odica con exponentes $\lambda_1<0<\lambda_2$. Entonces, para todo $\eps>0$ existe una funci\'on $C_\eps$ medible tal que $C_\eps(x) \in GL(\R^2,T_xM)$ que verifica \begin{itemize} \item[(a)] ${\displaystyle \lim_{n\to \pm \infty} \log ( \|C_\eps(f^n(x))\| + \|C_\eps^{-1}(f^n(x))\|)=0 }$ \item[(b)] Existen $a_\eps^i : M \to \RR$ tal que $a_\eps^i(x) \in [\exp(\lambda_i-\eps), \exp(\lambda_i+\eps)]$ para $\mu-$casi todo $x$ y para $\mu$-casi todo $x$ tenemos que $$ C_\eps^{-1}(f(x)) Df_x C_\eps(x) = \left( \begin{array}{cc} a^1_\eps(x) & 0 \\ 0 & a^2_\eps(x) \\ \end{array} \right) $$ \end{itemize} \end{teo} \dem Sean $v^1_x \in E_1(x)$ y $v^2_x \in E_2(x)$ unitarios y medibles. Definimos $$ M^i_{\eps,x} := \sum_{n\in \ZZ} \| Df^n_x v^i_x \| e^{-n\lambda_i -\eps|n|} \geq 1 \qquad i=1,2 $$ Entonces, definimos $C_\eps(x) : \R^2 \to T_x M$ mediante definir en la base can\'onica $\{e_1, e_2\}$ como $$ C_\eps(x) e_i = \frac{ v^i_x} {M^i_{\eps,x}} $$ \noindent Para calcular entonces los $a^i_\eps$ observamos que $$C_\eps^{-1}(f(x)) Df_x C_\eps(x) e_i = C_\eps^{-1}(f(x)) Df_x \frac{ v^i_x} {M^i_{\eps,x}} = \pm \frac{\|Df_x v^i_x\|}{M^i_{\eps,x}} C_\eps^{-1}(f(x)) v^i_{f(x)} = \pm \frac{M^i_{\eps,f(x)}}{M^i_{\eps,x}} \|Df_x v^i_x\| e_i $$ \noindent Con lo cual tenemos $$a^i_\eps(x) = \pm \frac{M^i_{\eps,f(x)}}{M^i_{\eps,x}} \|Df_x v^i_x\| $$ \noindent Para estimar $a^i_\eps(x)$ veamos que $$ \|Df_x v^i_x\| M^i_{\eps,f(x)} = \sum_{n\in \ZZ} \|Df_x v^i_x\| \|Df^n_{f(x)} v^i_{f(x)}\|e^{-n\lambda_i -|n|\eps} = \sum_{n\in \ZZ} \|Df^{n+1}_x v^i_x\| e^{-n\lambda_i -|n|\eps} =$$ $$= e^{\lambda_i} \sum_{n\in \ZZ} \|Df^{n+1}_x v^i_x\| e^{-(n+1)\lambda_i -|n|\eps} =$$ $$= e^{\lambda_i} e^{\eps} \underbrace{ \sum_{n\geq 0} \|Df^{n+1}_x v^i_x\| e^{-(n+1)\lambda_i -|n+1|\eps}}_{A} + e^{\lambda_i} e^{-\eps}\underbrace{\sum_{n< 0} \|Df^{n+1}_x v^i_x\| e^{-(n+1)\lambda_i -|n+1|\eps}}_{B} $$ Tenemos que $A+B = M^i_{\eps,x}$ y $A,B\geq 0$ con lo cual tenemos que $e^{\lambda_i}(e^\eps A + e^{-\eps}B) \in [\exp(\lambda_i-\eps)M^i_{\eps,x}, \exp(\lambda_i+\eps)M^i_{\eps,x}]$ probando $(b)$, es decir, que $$ e^{\lambda_i - \eps} \leq a^i_\eps(x) \leq e^{\lambda_i +\eps} $$ Nos queda entonces utilizar la subexponencialidad del decaimiento de los \'angulos entre $v^1_{f^n(x)}$ y $v^2_{f^n(x)}$ para probar $(a)$. Por un lado, tenemos que $\|C_\eps(x)\| \leq 1$ ya que $M^i_{\eps,x}\geq 1$ y por lo tanto, solo tenemos que cuidar $\|C_\eps^{-1}(x)\|$. Se verifica que $$ C_\eps^{-1}(x) = \left( \begin{array}{cc} M^1_{\eps,x} & 0 \\ 0 & M^2_{\eps,x} \\ \end{array} \right) W(x) $$ \noindent donde $W(x)(av^1_x + bv^2_x) = ae_1 + be_2$. Y por lo tanto $\|C_\eps^{-1}(x)\| \leq \|W(x)\| \max\{ M^1_{\eps,x}, M^2_{\eps,x} \}$. Primero vamos a probar la subexponencialidad de $\|W(f^n(x))\|$. Para eso, observamos que (llamando $w(x) = \langle(v^1_x,v^2_x)$) $$ \|av^1_x + bv^2_x \| = a^2 + b^2 + 2ab \cos w(x) = (a+b \cos w(x))^2 + b^2 \sin^2w(x) = (b+a \cos w(x))^2 + a^2 \sin^2w(x) $$ Sumando las \'ultimas dos ecuaciones, obtenemos $$ 2\|av^1_x + bv^2_x \| = (a+b \cos w(x))^2 +(b+a \cos w(x))^2 + (a^2+b^2) \sin^2 w(x) \geq (a^2+b^2) \sin^2 w(x) = \|ae_1 + be_2\| \sin^2w(x) $$ \noindent y por lo tanto $\|W(x)\| \leq \frac{\sqrt 2}{\sin w(x)}$ que por el teorema de Oseledets sabemos es subexponencial. Entonces, nos basta estudiar la subexponencialidad de $M^i_{\eps,x}$. Estudiamos los conjuntos $X_N = \{ x\in M \ : \ |M^i_{\eps,x}| < N \} $ que verifican que $\bigcup_N X_N = M (mod 0)$. Fijado $N$, casi todo punto de $X_N$ vuelve infinitas veces a $X_N$ por el Teorema de recurrencia de Poincare. Ahora, como las funciones $\log a^i_\eps : M \to \R$ son acotadas, el Teorema de Birkhoff nos dice que para casi todo punto se verifica que existe ($i=1,2$) $$ \lim_{n\to \infty} \frac 1 n \sum_{j=0}^{n-1} \log a^i_{\eps}(f^j(x)) = \lim_{n\to \infty} \frac 1 n \log \left( a^i_\eps(f^{n-1}(x)) \ldots a^i_\eps(x) \right) = \lim_{n\to \infty} \frac 1 n \log \frac{M^i_{\eps, f^{n-1}(x)}}{M^i_{\eps,x}} \|Df^n_x v^i_x\| $$ Ahora, fijando $N$ suficientemente grande de forma tal que $x\in X_N$ es un punto gen\'erico, podemos considerar la subsucesi\'on $n_j \to \infty$ tal que $f^{n_j}(x) \in X_N$ y obtenemos que (como el l\'imite no depende de la subsucesi\'on y el del \'ultimo t\'ermino es $\lambda_i$ por el Teorema de Oseledets) $$ \lim_{n\to \infty} \frac 1 n \log \left( a^i_\eps(f^{n-1}(x)) \ldots a^i_\eps(x) \right) = \lim_{n\to \infty} \frac 1 n \log \|Df^n_x v^i_x\| = \lambda_i $$ Esto implica la subexponencialidad de $M^i_{\eps, x}$. \lqqd %Vemos entonces que $M^i_{\eps,x}$ es integrable con respecto a $\mu$. Consideramos la sucesi\'on de funciones %$$ \Gamma^i_n(x)= \sum_{k=-n}^n \| Df^k_x v^i_x \| e^{-k\lambda_i -\eps|k|} $$ %Tenemos que $\Gamma^i_n(x)$ crece a $M^i_{\eps,x}$ y estan acotadas por abajo por $1$, entonces, el Teorema de Convergencia Mon\'otona nos garantiza que %$$ \int M^i_{\eps,x} d\mu = \lim \int \Gamma^i_n d\mu$$ %El teorema de Oseledets nos asegura que para $\mu-$casi todo punto, tenemos que %$$ \frac 1 k \log \|Df^k_x v^i_x \| \to \lambda_i$$ %\noindent esto implica que existe, una funci\'on $C(x): M \to \R$, medible, que verifica que %$$ \|Df^k_x v^i_x \| \leq C(x) e^{\lambda_i k + \frac {\eps k} {2}} $$ %Entonces, $ \|Df^k_x v^i_x \| e^{-\lambda_i k - \eps k} \leq C(x) e^{-\frac{\eps k}{2}} $ que fijado $x$, converge a cero exponencialmente. % el l\'imite de $\int \Gamma^i_n$ existe y es finito con lo cual obtenemos que $M^i_{\eps,x} \in L^1(\mu)$. Esto implica que $\frac 1 n M^i_{\eps, f^i(x)} \to 0$. Esto surge del lema que probamos a continuaci\'on que concluye la prueba. %\begin{lema} Sea $g:M \to \R$ una funci\'on integrable y $T:M\to M$ medible que preserva $\mu$. Entonces, se cumple que $\frac 1 n g(T^n(x)) \to 0$ para $\mu-$casi todo $x$. %\end{lema} %\dem Usualmente este Lema se prueba como corolario del Teorema de Birkhoff, nosotros seguimos la prueba de \cite{king}. %Tenemos que probar que fijado $\eps>0$, se cumple que $\mu(\{x \ : \ \forall n_0 \, \ \exists n>n_0 \ tq \ |g(T^n(x))|> \eps n \}) = 0$. Para probar que conjuntos como estos miden cero, generalmente se usa el Lemma de Borel-Cantelli que dice que si la suma de las medidas de numerables conjuntos es finita, entonces la medida del conjunto de puntos que pertenecen a infinitos de estos es nula. %Por la invariancia de $\mu$, tenemos que $\mu(\{ x \ : \ |g(T^n(x))| > \eps n \}) = \mu(\{ x \ : \ |g(x)| > \eps n \})$. Por otro lado, tenemos que %$$ \mu(\{ x \ : \ |g(x)| > \eps n \}) = \sum_{k>0} \mu(\{ x \ : \ \eps k < |g(x)| \leq (k+1)\eps \}) $$ %Entonces, tenemos que si reagrupamos obtenemos %$$ \sum_{n=1}^\infty \mu(\{ x \ : \ |g(T^n(x))| > \eps n \}) = \sum_{n=1}^\infty \sum_{k>0} \mu(\{ x \ : \ \eps k < |g(x)| \leq (k+1)\eps \}) = \sum_{k>0} k \mu( \{ x \ : \ \eps k < |g(x)| \leq (k+1)\eps \}) $$ %Pero por la definici\'on de la integral de Lebesgue y el hecho que $\{ x \ : \ \eps k < |g(x)| \leq (k+1)\eps \}= \{ x \ : \ k < |g(x)|\eps^{-1} \leq (k+1) \}$ tenemos que %$$ \sum_{n=1}^\infty \mu(\{ x \ : \ |g(T^n(x))| > \eps n \}) \leq \eps^{-1} \int g d\mu < \infty $$ %Por lo tanto, la medida de los puntos que pertenecen a $\{ x \ : \ |g(T^n(x))| > \eps n \}$ para infinitos $n$ es cero. Haciendo $\eps$ tender a cero, obtenemos el resultado deseado. %\lqqd %\lqqd \section{Pasando la informaci\'on a la variedad} En esta secci\'on intentaremos dar cartas en la variedad que nos permitan aprovechar la informaci\'on lineal que obtuvimos en la propia superficie. Para esto usaremos de forma fundamental el hecho de que trabajamos con difeomorfismos de clase $C^{1+\alpha}$. \begin{teo}[Coordenadas Lyapunov de Pesin]\label{teocharts} Sea $f:M\to M$ un difeomorfismo $C^{1+\alpha}$ de una superficie Riemanniana $M$ con un mapa exponencial $\exp> TM \to M$. Sea $\mu$ una medida erg\'odica hiperb\'olica para $f$ (con $\lambda_1 < 0 < \lambda_2$). Entonces, para todo $\rho_0>0$ y $\eps$ suficientemente peque\~no, existe una funci\'on medible $\rho:M \to (0,\rho_0)$ y una familia medible de isomorfismos lineales $C(x): \R^2 \to T_xM$ que, siendo $\xi_x: B(0,\rho(x)) \to M$ dada por $z\mapsto \exp_x(C(x)z)$, verifican \begin{itemize} \item[(i)] $\displaystyle{\lim_{n\to \infty} \frac 1 n \log \rho(f^n(x)) = 0}$ y se cumple $\rho(f(x)) \in (e^{-\eps}\rho(x), e^\eps \rho(x))$. \item[(ii)] El mapa $\xi_{f(x)}^{-1} \circ f \circ \xi_{x} : B(0, \rho(x)/(2\max e^{\lambda_i})) \to B(0,\rho(f(x)))$ coincide con la restricci\'on de un difeomorfismo $G_x$ de $\R^2$ de la forma \begin{displaymath}\label{Forma} z \mapsto \left( \begin{array}{cc} a^1_\eps(x) & 0 \\ 0 & a^2_\eps(x) \\ \end{array} \right) z + \beta_x(z) \end{displaymath} Con los $a^i_\eps(x)$ como en el Teorema \ref{reduccion} y con $\beta_x(0)=0$ y para una constante $K=K(f)$ se verifica que $$ \|D_z\beta_x\| \leq K \|C(f(x))^{-1}\| \rho(x)^\alpha \leq 3\eps $$ \end{itemize} \end{teo} Notar que el hecho que $\rho(f(x)) \in (e^{-\eps}\rho(x), e^\eps \rho(x))$ implica directamente la subexponencialidad de $\rho$ (ver la prueba del Lema al final de esta secci\'on) y este hecho es el clave a la hora de construir las variedades estables. Intentar\'e dar una breve motivaci\'on heur\'istica de este hecho: Una vez que tenes esto, podemos considerar una sucesion de funciones de $\R^2$ de la forma que nos da este Teorema y para ellas construir variedades estables e inestables (esto lo haremos en la pr\'oxima secci\'on), el problema, es que para asegurar que estas variedades quedan definidas realmente en la variedad, necesitamos que se encuentren siempre en el dominio de definici\'on que pasa a la variedad (es decir, en $B(0,\rho(x))$), ahora, como $\rho(f(x)) \in (e^{-\eps}\rho(x), e^\eps \rho(x))$, sabemos que los puntos de la variedad estable de $x$ de tama\~no $\rho(x)$ se mantendr\'an siempre en el dominio que este Teorema nos permite ``controlar'' y por lo tanto, tenemos en $x$ una variedad estable de tama\~no $\rho(x)$. Es importante notar que esto tambi\'en nos va a dar que el tama\~no de las variedades estables e inestables es subexponencial, pero si $\rho(x)$ cambiara peor, no podriamos ni siquiera asegurar que hay variedades estables e inestables. \dem Consideramos $\eps < \frac 1 {100} \min \{1- e^{\lambda_1}, e^{\lambda_2} -1 \}$. Aplicamos entonces el Teorema \ref{reduccion} con ese valor de $\eps$. Definimos entonces $$ F_x(z) =\xi_{f(x)}^{-1} \circ f \circ \xi_x (z) $$ \noindent de alguna manera estamos abusando notaci\'on, ya que el dominio de definici\'on de $\xi_x$ no ha sido aun determinado. Por lo pronto, sabemos que existe $R_0$ no muy grande, de forma tal que $\exp_x$ est\'a bien definida en $B(0,R_0)$ para todo $x\in M$. Por otro lado, por como estamos definiendo $F_x(z)$ va a estar bien definida siempre y cuando $\|C_\eps(x)z\| \leq R_0$ y si $ v= \exp_{f(x)}^{-1} \circ f \circ \exp_x(C_\eps(x)z)$ entonces se cumple que $\|C_\eps(f(x))^{-1}v\| < R_0$. Por la continuidad uniforme de $f$, definiremos $R_1$ de forma tal que si dos puntos estan a distancia menor que $R_1$ entonces sus imagenes por $f$ estan a distancia menor que $R_0$. %Notaremos $\lambda= \max \{|\lambda_1|, \lambda_2\}$. Evidentemente, $F_x(z)$ es de la forma $$ F_x(z)= \left( \begin{array}{cc} a^1_\eps(x) & 0 \\ 0 & a^2_\eps(x) \\ \end{array} \right) z + \beta_x(z) $$ Con $\beta_x(0)=0$. O sea que si escribimos $z=(u,v)$ tendremos que $$ F_x(u,v)= (a^1_\eps(x) u + \beta_x^1(u,v), a^2_\eps(x) v + \beta_x^2(u,v))$$ Por otro lado, como $\exp_{f(x)}^{-1} \circ f \circ \exp_x = D_xf + g_x$ y si elegimos $R$ peque\~no, tenemos que la exponencial es practicamente la identidad (ni hablar que es $C^\infty$) entonces tendremos que $Dg_x$ ser\'a $\alpha-$Holder con constante similar a la de $f$. Es decir $$ \|D_{z}g_x \| \leq L \|z\|^\alpha $$ Ahora, consideramos $\beta_x$ que verifica que $D_z \beta_x = D_z( C_\eps(f(x))^{-1}\circ g_x \circ C_\eps(x))$ entonces $$ \|D_z \beta_x\| =\| C_\eps(f(x))^{-1}\circ D_{C_\eps(x)z} g_x \| \leq \|C_\eps(f(x))^{-1}\| L \|C_\eps(x) z\|^{\alpha} \leq L \|C_\eps(f(x))^{-1}\|\|C_\eps(x)\|^\alpha \|z\|^{\alpha}$$ Con lo cual $D_z\beta_x$ es $\alpha$-Holder con constante $k(x):= L \|C_\eps(f(x))^{-1}\|\|C_\eps(x)\|^\alpha \geq 1$ que obviamente es \emph{temperada}, es decir $$ \lim_{n\to \infty} \frac 1 n \log k(f^n(x)) = 0 $$ \noindent lo cual sale directamente del Teorema \ref{reduccion}. Consideramos entonces $$r(x) := \min \left\{ \rho_0, \left( \frac \eps {2k(x)} \right)^{1/\alpha}, \frac{R_1}{2}\|C_\eps(x)\|^{-1} \right\} $$ Utilizando dicho $r(x)$, tenemos que $F_x$ tal cual lo definimos, est\'a bien definida en $B(0,2r(x))$. Notar que para que este bien definido, hay que cuidar las siguientes propiedades: \begin{itemize} \item[(1)] $\|C_\eps(x)z\|\leq R_0$. Esto es directo si $z\in B(0,r(x))$ por la propia definici\'on de $r(x)$ (obviamente, $R_1\leq R_0$) . Vale la pena recordar del Teorema \ref{reduccion} que $\|C_\eps(x)\|\leq 1$ para todo $x$, con lo cual la restricci\'on de que $r(x)$ sea menor que $R_1\|C_\eps(x)\|^{-1}$ es realmente artificial. \item[(2)] $d(f(x), f(\exp_x(C_\eps(x)z))) \leq R_0$ (para poder aplicar $\exp_{f(x)}^{-1}$, notar que como radialmente la exponencial preserva distancias, es exactamente esta la condici\'on para estar en el dominio de definici\'on). Esto queda asegurado por el hecho de que $r(x)\leq R_1 \|C_\eps(x)\|^{-1}$ y por como elegimos $R_1$. \end{itemize} La clave de la elecci\'on de $r(x)$ no es que el mapa quede bien definido, sino el hecho que permite controlar la norma de $D_z \beta_x$ y que es subexponencial (esto es lo que no se puede hacer sin la condici\'on Holder en la derivada pues se necesita un control del modulo de continuidad que queda dado por esa relaci\'on en la derivada). Ahora, queremos ver que podemos extender $F_x$ a un difeomorfismo $G_x$ de $\R^2$ que esta globalmente $C^1$ cerca de la matriz diagonal con entradas $a^1_\eps(x)$ y $a^2_\eps(x)$. Antes, asumamos que podemos elegir $\rho(x) \leq r(x)$ que verifique lo que pide el Teorema (es decir, $\rho(f(x)) \in (e^{-\eps} \rho(x), e^\eps\rho(x))$). Esto lo probaremos en un Lema estandar al terminar la prueba\footnote{Funciona utilizar $\rho(x):= \inf_{n\in \ZZ} r(f^n(x)) e^{\frac {\eps|n|}{10}}\geq 0$}. Consideramos un chichon $C^\infty$, $b:\R^2 \to [0,1]$ tal que $\|t\|<\rho(x)$ implica que $b(t)=1$ y si $\|t\|<2\rho(x)$ entonces $b(t)=0$. Podemos tambi\'en considerar que $b$ decrece al crecer $\|t\|$ y que $\|b'(z)\| \leq 2\rho(x)^{-1}$. Definimos $$ G_x(z) := b(z) F_x(z) + (1-b(z)) \left( \begin{array}{cc} a^1_{\eps}(x) & 0 \\ 0 & a^2_\eps(x) \\ \end{array} \right) = b(z) F_x(z) + (1-b(z)) D_0 F_x $$ Tenemos entonces que estimar $D_zG_x - D_0 F_x$ y probar que es globalmente menor que $\eps$. Notar que si $\|z\|\geq 2\rho(x)$ entonces $b'(z)=0$ con lo cual esta bien definido lo que escribimos a continuaci\'on: $$ D_z G_x - D_0 F_x = b(z) D_z F_x + (1-b(z)) D_0F_x + (F_x(z) - D_0F_x ) b'(z) - D_0F_x = b(z) D_z \beta_x + \beta_x(z) b'(z) $$ Tomando normas, obtenemos $$ \| b(z) D_z \beta_x\| \leq \|D_z \beta_x \| \leq k(x) (2\rho(x))^\alpha \leq \eps $$ Por otro lado, si $\|z\|\leq 2\rho(x)$ tenemos que $$\| \beta_x(z) b'(z)\| \leq \| \beta_x(z)\| \|b'(z)\| \leq \|\beta_x(z)\| 2\rho(x)^{-1} \leq \eps \rho(x) 2 \rho(x)^{-1} \leq 2\eps$$ Como cuando $\|z\| \geq 2\rho(x)$ tenemos que $b'(z)= 0$ obtenemos que $$\|D_z G_x - D_0 F_x \| \leq 3\eps $$ \lqqd En lo \'unico que hacemos uso de la hipotesis $C^{1+\alpha}$ es para que $\rho(x)$ sea temperada (o subexponencial) ya que hay que controlar la distorsi\'on lineal $\|C_\eps(x)^{-1}\|$ que es la que hace que $\rho$ pueda tender a cero. El resto vale si usamos la continuidad uniforme de la derivada. Naturalmente, si $\|C_\eps(x)^{-1}\|$ est\'a acotada, tambi\'en tenemos el mismo resultado. Ahora veamos que si tenemos una sucesi\'on subexponencial, tambi\'en la podemos elegir de forma tal que no pegue ``saltos'' muy grandes que es lo que nos falto probar en el teorema. \begin{lema}\label{temperamientoextranho} Sea $T:X\to X$ una transformaci\'on medible e invertible que preserva $\mu$. Sea $K:X\to \R^+$ una funci\'on medible que verifica $$ \lim_{n\to \infty} \frac 1 n \log K(T^n(x)) =0$$ Entonces, para todo $\eps>0$ existe $K_\eps: X \to \R^+$ que verifica que $K_\eps(x)\leq K(x)$ y tambi\'en verifica las siguientes propiedades: \begin{itemize} \item[-] $\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \frac 1 n \log K_\eps(T^n(x))= 0}$ \item[-] $K_\eps(T(x)) \in (e^{-\eps} K_\eps(x), e^\eps K_\eps(x))$ \end{itemize} \end{lema} \dem Consideramos $$ K_\eps(x) := \inf_{n\in \ZZ} K(x) e^{\frac{\eps |n|}{10}} $$ Evidentemente, dado que $K(x)$ es temperada, tenemos que $K_\eps(x)$ est\'a bien definida y es mayor a cero en todo punto. Al mismo tiempo, $K_\eps(x) \leq K(x)$ es directo de la definici\'on. Es r\'apido corroborar que $K_\eps(T(x)) \in (e^{-\eps} K_\eps(x), e^\eps K_\eps(x))$ (ver el Teorema \ref{reduccion} por una cuenta parecida) y por \'ultimo, para ver la subexponencialidad, observamos que se deduce de la afirmaci\'on previa ya que implica que $$ -\eps \leq \log K_\eps \circ T - \log K_\eps \leq \eps$$ \noindent con lo cual, si consideramos la funci\'on $\varphi = \log K_\eps$ tenemos que $\varphi\circ T - \varphi$ es integrable y una conocida consecuencia del Teorema de Birkhoff concluye. \lqqd \section{Sucesiones de funci\'ones $C^1$ y el Teorema de Haddamard-Perron}\label{sectionHadamard} Consideramos ahora el siguiente contexto. Sea $\{f_m \}_{m\in \ZZ}$ una sucesi\'on de difeomorfismos de $\R^2$ en $\R^2$ que son de la forma (notar que cambiamos de orden la direcci\'on contractiva y expansiva por razones psicol\'ogicas) $$ f_m(x,y)= (a_m x + \alpha_m(x,y), b_m y + \beta_m(x,y)) $$ Donde se cumple $0< b_m < \lambda < 1 < \mu < a_m$ para todo $m\in \ZZ$ y para un cierto $\eps$ suficientemente peque\~no (en particular, $\eps \ll \min \{\mu-1, 1-\lambda\}$) se cumple que $$ \alpha_m (0,0) = \beta_m (0,0) = 0 \qquad \|D_z \alpha_m \| , \|D_z \beta_m \| < \eps \qquad \forall m\in \ZZ \ \ \forall z\in \R^2$$ Usaremos que entonces tenemos para $z\in \R^2$ $$ D_z f_m (u, v) = (a_m u + \alpha^u_m(z) u + \alpha^v_m(z) v , b_m v +\beta^u_m(z) u + \beta^v_m(z) v ) $$ \noindent con $\alpha_m^\sigma$ y $\beta_m^\sigma$ funciones menores que $\eps$ para todo $m\in \ZZ$ y $\sigma = u,v$. Bajo estas hip\'otesis, veremos que existe cierto $\gamma>0$ tal que los conos horizontales son preservados por $D_z f_m$. Definimos entonces el \emph{cono horizontal} de ancho $\gamma \in (0,1)$ en $z\in \R^2$ como\footnote{Consideramos $\gamma<1$ por simplicidad nomas.} $$H_\gamma(z) = \{ (u,v) \in T_{z}\R^2 \simeq\R^2 \ : \ |v|\leq \gamma |u| \} $$ Tenemos el siguiente Lema \begin{lema}\label{conoinvariante} Existe $1>\gamma>\gamma'>0$ tal que para todo $z\in \R^2$ y $m\in \ZZ$ se cumple que $$D_z f_m (H_\gamma(z)) \en H_{\gamma'}(f_m(z)) \en H_{\gamma}(f_m(z)) $$ Adem\'as, existe una constante $\eta>1$ tal que si $v\in H_\gamma(z)$ entonces $\|D_zf_m v\| \geq \eta \|v\|$. \end{lema} \dem Sabiendo que $|v| \leq \gamma |u|$ tenemos que comparar $a_m u + \alpha^u_m u + \alpha^v_m v$ con $b_m v + \beta^u_m u + \beta^v_m v$. Tenemos $$ |a_m u + \alpha^u_m u + \alpha^v_m v| \geq \mu |u| - \eps |u| - \eps |v| \geq (\mu - \eps(1+\gamma)) |u| $$ $$ |b_m v + \beta^u_m u + \beta^v_m v| \leq \lambda |v| + \eps |u| + \eps |v| \leq (\lambda \gamma + \eps(1+\gamma)) |u| $$ Necesitamos entonces que $$ \frac{\lambda \gamma + \eps(1+\gamma)}{\mu - \eps(1+\gamma)} = \gamma' < \gamma <1$$ $$ \mu - \eps(1+\gamma) = \eta > 1$$ para que $\eta>1$ como queremos, necesitamos que $\gamma < \frac{\mu-1}{\eps} -1$ (que como $\eps\ll \mu-1$ no hay problema) y para que $\gamma'<\gamma$ necesitamos que $$ \lambda \gamma + \eps(1+\gamma) < \mu \gamma - \eps(1+\gamma)\gamma $$ y por lo tanto $$ \frac{\gamma}{1-\gamma^2} > \frac \eps {\mu - \lambda} $$ Que de nuevo, como $\eps$ era peque\~no, no impone problemas (observar que a priori, como $\gamma$ tiene restricciones por arriba y abajo, podria ser que haya problemas, de hecho, puede pasar si $\eps$ no es peque\~no). \lqqd \begin{obs}\label{cotasConos} Obtuvimos entonces las siguientes cotas para $\gamma$ (por si en algun momento sirven) \begin{equation}\label{cotasConos} \gamma< \frac{\mu-1}{\eps} -1 \qquad \frac{\gamma}{1-\gamma^2} > \frac \eps {\mu - \lambda} \end{equation} \finobs\end{obs} Ahora, vamos a trabajar la transformada del Gr\'afico. Consideramos $$ L(\gamma) := \{ g \in Lip(\R, \R) \ : \ Lip(g) \leq \gamma \} $$ Donde obviamente, $Lip(\R,\R)$ es el espacio de funci\'ones Lipchitz de $\R$ en $\R$ y $Lip(g)$ denota la constante de Lipchitz, es decir, el minimo valor de $K$ tal que $$ | g(x) - g(y) | \leq K |x-y| \qquad \forall x, y \in \R $$ Vamos a definir un operador $\Gamma_m : L(\gamma) \to L(\gamma)$ dado por el hecho que $\Gamma_m g$ tendr\'a como gr\'afico la im\'agen del gr\'afico de $g$ por $f_m$. Para ver que queda bien definido hay que probar algunas cosas. Sea $G_m : \R \to \R$ dado por $G_m(x) = a_m x + \alpha_m (x, g(x)) = \pi_1 \circ f_m (x,g(x))$ donde $\pi_1$ es la proyecci\'on en la primera coordenada y $\pi_2$ en la segunda. Usaremos el mismo $\gamma$ que para el Lema anterior. \begin{lema}\label{Gmbiendefinida} Si $g\in L(\gamma)$, tenemos que $G_m$ es un homeomorfismo creciente de $\R$. \end{lema} \dem $$ |G_m(x)- G_m(y)| = | a_m x + \alpha_m (x, g(x)) - a_m y - \alpha_m(y, g(y)) | \geq \mu|x-y| - |\alpha_m(x,g(x)) - \alpha_m(y,g(y))|\geq $$ $$ \geq \mu|x-y| - \eps \|(x,g(x))- (y,g(y))\| \geq \mu|x-y| - \eps(|x-y| + |g(x)-g(y)|) \geq (\mu - \eps(1+\gamma)) |x-y| $$ Por las estimaciones hechas en el Lema anterior, tenemos lo deseado. \lqqd \begin{obs}\label{SobreGm} Obtuvimos que $|G_m(x)- G_m(y)|\geq (\mu - \eps(1+\gamma)) |x-y|$. \finobs \end{obs} Esto nos permite definir el operador $\Gamma_m : L(\gamma) \to C(\R,\R)$ dado por $$ \Gamma_m (g) (x) := \pi_2 \circ f_m (G_m^{-1}(x), g(G_m^{-1}(x))) $$ Vamos a ver que para toda $g\in L(\gamma)$ tenemos que $\Gamma_m (g) \in L(\gamma)$. \begin{lema}\label{transformadaeslipc} Se cumple que $\Gamma_m (L(\gamma)) \en L(\gamma)$. \end{lema} De hecho, se tiene $\Gamma_m (L(\gamma)) \en L(\gamma')$, pero no es de mucha utilidad. \dem Tenemos que $\Gamma_m g (G_m(x)) = b_m g(x) + \beta_m (x, g(x)) $ entonces, una cuenta muy similar a lo que veniamos haciendo, nos da $$ |\Gamma_m g (G_m (x)) - \Gamma_m g (G_m (y)) | \leq \lambda |g(x)-g(y)| + |\beta_m (x,g(x))- \beta_m(y,g(y))| \leq (\lambda\gamma+ \eps(1+\gamma)) |x-y| $$ Por otro lado, como observamos en la Observaci\'on \ref{SobreGm} tenemos que por lo tanto $$ |\Gamma_m g (G_m (x)) - \Gamma_m g (G_m (y)) | \leq \frac{\lambda\gamma+ \eps(1+\gamma)}{\mu - \eps(1+\gamma)} |G_m(x)-G_m(y)| $$ Que por la Observaci\'on \ref{cotasConos} concluye la prueba. \lqqd Ahora, fijada una \'orbita de $\{f_m\}_{m\in \ZZ}$, es decir, una sucesi\'on $\underline z = \{z_m=(x_m,y_m)\}_{m \in \ZZ}$ que verifica $f_m(z_m)=z_{m+1}$, definimos el espacio $$ L(\gamma, \underline z) = \{ \{g_m \in L(\gamma)\}_{m\in \ZZ} \ : \ g_m(x_m)= y_m \} $$ Para definir una m\'etrica en $L(\gamma, \underline z)$ primero notamos $\|\cdot \|_\infty$ como la norma $$ \|g - \tilde g\|_\infty = \sup_{x\in \R} \frac {|g (x) - \tilde g(x)|}{|x|} $$ \noindent que est\'a bien definida en el espacio de funciones Lipchitz y acotada por la suma de las constantes de Lipchitz. Esto hace al espacio de funciones Lipchitz completo como se puede corroborar con un c\'alculo directo. Definimos en $L(\gamma, \underline z)$ la m\'etrica siguiente que lo hace un espacio m\'etrico completo $$ d(\{g_m\}, \{\tilde g_m\}) = \sup_{m \in \ZZ} \|g_m - \tilde g_m \|_{\infty}$$ Notar que como $(g_m - \tilde g_m)(x)= 0$ obtenemos que la condici\'on Lipchitz nos da $\|g_m - \tilde g_m \| \leq 2\gamma$ para todo $m\in \Z$ (y por lo tanto la distancia queda bien definida). Vamos a ver que la transformada del gr\'afico, definida como $\Gamma (\{g_m\}) = \{ \Gamma_{m-1} g_{m-1}\}$ es una contracci\'on de la bola de radio $1/2$ alrededor de la sucesi\'on de funci\'ones constante $g_m(x)=y_m$. Es f\'acil observar que para cualquier \'orbita $\underline z$ se cumple que $\Gamma : L(\gamma, \underline z) \to L(\gamma, \underline z)$. Una observaci\'on importante, es que si no fijamos la \'orbita $\underline z$, entonces la m\'etrica deja de tener sentido, ya que la expansividad infinita de la sucesi\'on de funciones hace que la distancia entre dos sucesiones de gr\'aficos sea infinita!. \begin{lema}\label{transformadaescontraccion} Existe $\nu<1$ tal que si $\{g_m\}$ y $\{\tilde g_m\}$ son sucesiones de funciones en $L(\gamma,\underline z)$ entonces se verifica que $$ d(\Gamma \{g_m\}, \Gamma \{\tilde g_m\}) < \nu d(\{g_m\}, \{\tilde g_m\}) $$ \end{lema} \dem Por como est\'a definida la distancia en $L(\gamma, \underline z)$ basta estudiar que pasa con la distancia de $\Gamma_m g_m$ y $\Gamma_m \tilde g_m$. Recordamos que $\Gamma_m g_m( G_m(x)) = b_m g_m(x) + \beta_m (x, g_m(x))$ entonces $$ |\Gamma_m g_m (G_m(x)) - \Gamma_m \tilde g_m(G_m(x))| = |b_m (g_m(x)-\tilde g_m(x)) + \beta_m(x,g_m(x))- \beta_m(x,\tilde g_m(x))| \leq (\lambda+\eps) |g_m(x)- \tilde g_m(x)| $$ Como $\eps$ es peque\~no, sabemos que $\nu=\lambda +\eps <1$ obtenemos la contracci\'on deseada. \lqqd Este Lema nos garantiza la existencia de un \'unico punto fijo $\varphi = \{\varphi_m\}$ que verifica que para todo $m$ se tiene que $\varphi_m \in L(\gamma)$, $\varphi_m(x_m)=y_m$, verifica la propiedad de invariancia $$ \Gamma_m \varphi_m = \varphi_{m+1} $$ Y se cumple que si $\tilde z_l = (x, \varphi_m(y))$ entonces, si $\underline{\tilde z} = \{ \tilde z_m \}_{m\in \ZZ}$ es una \'orbita entonces $$ d(z_m, \tilde z_m) \to 0 \qquad con \qquad m\to -\infty $$ En particular, tenemos esta sucesion de funciones, correspondiente a la \emph{variedad inestable}, para la \'orbita especial $\underline 0$ que consiste de aplicar $0$ constantemente. Si ahora decidiesemos cambiar la sucesi\'on de funciones $f_m$ poco en la topolog\'ia $C^1$ manteniendo el hecho que $\underline 0$ es una \'orbita entonces el Lema siguiente nos dice que la variedad inestable no cambia mucho \begin{lema}\label{contracciones} Sea $f:X \to X$ con $X$ espacio m\'etrico completo que verifica $d(f(x),f(y)) < \lambda d(x,y)$ con $\lambda<1$. Entonces, para todo $\eps$, existe $0<\delta< 1-\lambda$ tal que si $d(f(x),g(x))<\delta$ para todo $x$ y se verifica que $d(g(x),g(y))< (\lambda +\delta) d(x,y)$ para todos $x,y$. Entonces, el punto fijo de $g$ esta a distancia menor que $\eps$ del de $f$. \end{lema} \dem Considerar $\delta \leq \frac{\eps (1-\lambda)}{1+\eps}$ y acotar la distancia entre $x_0$ (fijo de $f$) e $y_0$ (fijo de $g$). Ver Proposicion 1.1.5 de \cite{KH}.\lqqd Por otro lado, al fijarse en puntos (orbitas) cercanas, se puede pensar como una versi\'on de este Lema tambi\'en pues los espacios si bien son diferentes, los mapas son parecidos. De hecho, es importante notar que todo lo que hicimos en esta secci\'on funcionaba exactemente igual si considerabamos que las funciones $f_m$ eran de la forma $$ f_m(x,y) = (x_0^m + a_m x + \alpha_m(x,y) , y_0^m + b_m y +\beta_m(x,y)) $$ Ya que componer con una translaci\'on no afecta ninguno de los argumentos que realizamos. Analogamente, para estas sucesiones, se pueden construir variedades estables. \subsection{Diferenciabilidad de las variedades estables e inestables}\label{SectionDiferenciabilidad} Esta secci\'on no es importante si lo que se desea es entender la prueba del Teorema de Katok. La prueba de esto es simple, pero no la haremos al detalle pues no es lo que m\'as nos interesa. La idea es que una funci\'on Lipchitz tiene un ``cono'' derivada, es decir, los vectores ``tangentes'' al gr\'afico (es decir, los puntos l\'imite de $\frac{g(x_n)-g(x)}{|x_n-x|}$ con $x_n \to x$). Como la derivada manda estos conos en si mismos, el hecho que las variedades estables e inestables sean puntos fijos de la transformada del gr\'afico implica que estos conos son ``invariantes'' por las $f_m$. Esto sin mucha dificultad se puede mostrar que implica que son subespacios y por lo tanto la funci\'on es diferenciable. Naturalmente, en $(0,0)$ son tangentes a lo que tienen que ser. \section{El Teorema de la Variedad Estable para medidas hiperb\'olicas de difeomorfismos suaves}\label{sectionVarEstable} Esta secci\'on no es importante si lo que se desea es entender la prueba del Teorema de Katok pero nos resulto interesante incluir esta consecuencia del trabajo que realizamos en la secci\'on anterior. \begin{teo}[Teorema de la variedad estable de Pesin] Sea $f:M\to M$ un difeomorfismo $C^{1+\alpha}$ que deja invariante una medida erg\'odica $\mu$ con exponentes $\lambda_1<0<\lambda_2$. Entonces, casi todo punto $x\in M$ tiene variedades estables e inestables locales $W^{ss}_{loc}(x)$ y $W^{uu}_{loc}(x)$ de diametro al menos $\rho(x)$ (que varia subexponencialmente). Adem\'as, estas variedades son $C^1$ y varian mediblemente. \end{teo} \dem La prueba es simple. Existe un conjunto $\Lambda$ de medida total, dado por el Teorema \ref{teocharts}, tal que si $x\in \Lambda$, entonces existen $$ f_m : \R^2 \to \R^2 \qquad f_m(x_1, x_2)= (a_m x_1 + \alpha_m(x_1, x_2), b_m x_2 + \beta_m (x_1,x_2)) $$ que extienden a las funciones $F_m : B(0, \rho(f^m(x))/2e^{\lambda_2}) \to B(0, \rho(f^{m+1}(x))) $ que coincide con $ C(f^{m+1}(x))^{-1} \circ \exp_{f^{m+1}(x)}^{-1} \circ f \circ \exp_{f^m(x)} \circ C(f^m(x))$. Como alli tenemos variedades estables como las construidas en la seccion anterior (\ref{sectionHadamard}) y se cumple que si consideramos $W^{ss}_{loc} = W^{ss} \cap B(0, \rho(x)/2e^{\lambda_2})$ donde $W^{ss}$ es la variedad estable en el paso $0$. Por la forma de $f_m$ y por el hecho que $a_m + \eps < e^{\lambda_1 + \eps} < e^{-\eps} <1$ tenemos que la imagen por $f_0$ de $f_0(W^{ss}_{loc}) \en B(0, \rho(f(x))/2e^{\lambda_2})$. Inductivamente, vemos que aplicando los $f_m$ los puntos de $W^{ss}_{loc}$ convergen a $0$ exponencialmente y siempre se mantienen en el dominio de definici\'on de $F_m$ (que coincide con $f$). El diametro entonces de $W^{ss}_{loc}$ es entonces aproximadamente de $\rho(x)/2e^{\lambda_2}$ m\'odulo la distorsi\'on introducida por las exponenciales y por los mapas $C(x)$ y $C(x)^{-1}$. Como todo eso es tambi\'en subexponencial, obtenemos lo deseado. \lqqd \section{Shadowing exponencial} La idea es probar el siguiente Teorema y despues ver como de \'el se deduce el Teorema de Katok. \begin{teo}[Closing Lemma No Uniforme, \cite{K}]\label{nonuniformclosing} Sea $f: M \to M$ un difeomorfismo de clase $C^{1+\alpha}$ de una superficie dejando invariante una medida erg\'odica $\mu$ con exponentes $\lambda_1<0<\lambda_2$. Entonces, para todo $\delta>0$ existe un conjunto $\Lambda$ de medida $\mu(\Lambda)>1-\delta$ tal que para todo $r_1$ existe $r_2$ tal que si $x\in \Lambda \cap f^{-n}(\Lambda)$ y $d(x, f^n(x))< r_2$ entonces existe un punto peri\'odico $p \in M$ tal que $f^n(p)=p$ y $d(f^k(p), f^k(x)) < r_1$ para todo $0\leq k \leq n$. \end{teo} Antes vamos a dar alguna definici\'on y probar un resultado previo. Vamos a trabajar con sucesiones de funciones de $\R^2$ similares a las de la secci\'on anterior. Fijados $00$ y $d>0$ decimos que una sucesi\'on $\{f_m\}_{m\in \ZZ}$ de difeomorfismos $C^1$ de $\R^2$ es una $(a,b, \eps, d)-$\emph{secuencia hiperb\'olica} sii: $$ f_m(x,y) = (x_m^0 + a_m x + \alpha(x,y), y_m^0 + b_m y + \beta(x,y)) $$ con $\alpha(0,0)=\beta(0,0)=0$, se cumple que $\|D\alpha_z\|$ y $\|D\beta_z\|$ son menores que $\eps$ para todo $z\in \R^2$, se cumple que $\max\{|x_m^0|, |y_m^0|\} \leq d$ y tenemos que $a_m\leq a$ y $b_m \geq b$. Consideramos $\cF(a,b,\eps,d)$ el espacio de dichas sucesiones con la topolog\'ia producto. Decimos que $\underline z =\{z_m\}$ es una \emph{\'orbita} de $\{f_m\} \in \cF(a,b,\eps,d)$ sii tenemos que $f_m(z_m)=z_{m+1}$ para todo $m\in \ZZ$. Decimos que la \'orbita es \emph{acotada} si $\sup_m \|z_m\| < \infty$. Notaremos $f^n_m = f_{m+n-1} \circ \ldots \circ f_m$ y $f^{-n}_m = (f^n_{m-1})^{-1}$ si $n>0$. Se verifica el siguiente Teorema \begin{teo}[Shadowing Exponencial]\label{shadowenR2} Para todo $00$ y $\{f_m\} \in \cF(a,b,\eps,d)$ existe una \'unica \'orbita acotada $\{z_m\}_{m\in \ZZ}$ de $\{f_m\}_{m\in \ZZ}$. Adem\'as, existe un $R_0= R_0(a,b,\eps)<\infty$ (no depende de $\{f_m\}$ ni de $d$) que verifica \begin{itemize} \item[(A1)] $\sup_m \|z_m\| < R_0d$ \item[(A2)] La \'orbita es uniformemente hiperb\'olica: Es decir, existe $C>0$ y vectores unitarios\footnote{Notamos $\R v$ como la direcci\'on definida por el vector $v$ en el espacio vectorial al que pertenezca.} $v_m^s$, $v_m^u$ en $T_{z_m}\R^2$ tal que $D_{z_m}f_m \R v_m^\sigma = \R v_{m+1}^\sigma$ ($\sigma=s,u$) y se cumple que $$ \|D_{z_m}f_m^n v_m^s\| \leq C (a +5\eps)^{n} \qquad \|D_{z_m}f_m^n v_m^u\| \geq C^{-1} (b-5\eps)^n \qquad \forall n\geq 0 $$ \end{itemize} Adem\'as, se cumple que si $\{\tilde f_m\} \in \cF(a,b,\eps,d)$ verifica que $\tilde f_k = f_k$ para todo $-M\leq k \leq M$, entonces se verifica que $$ A= \|z_0 - \tilde z_0 \| \leq R_0 d ((a + 5\eps)^M + (b - 5\eps)^{-M}) $$ Y por lo tanto $$ \| z_m - \tilde z_m \| \leq \min\{ 2R_0 d, A((a-5\eps)^m + (b+ 5\eps)^m) \} $$ \end{teo} \dem Supongamos que dos puntos del plano $(x_0,y_0)$ y $(x_1,y_1)$ verifican que $y_0\neq y_1$ entonces, tenemos que si $\pi_2:\R^2 \to \R$ es la proyecci\'on en la segunda coordenada, entonces $$ | \pi_2 \circ f_m(x_0,y_0) - \pi_2 \circ f_m(x_1,y_1) | \geq b |y_0 - y_1| $$ Inductivamente (y haciendo un argumento analogo para iterados negativos) si $x_0\neq x_1$ obtenemos que dos \'orbitas cualesquiera $\underline z$ y $\underline w$ verifican que $$ \sup_m \|z_m - w_m\| = \infty$$ \noindent con lo cual si existe una \'orbita acotada, necesariamente ser\'a \'unica. Para probar que la \'orbita existe (y que verifica (A1) para un $R_0$ bien elegido), observamos que dado que el \'origen se envia en un punto de norma menor que $2d$ para todo $f_m$, sabemos que eligiendo bien $R_0$ el cuadrado $\cC$ de lado $R_0 d$ centrado en $0$ verifica que $f_m(\cC)$ se atraviesa a si mismo. Basta tomar $R_0$ tal que $(a+\eps)R_0d < (R_0-1)d$ y $(b-\eps)R_0d > (R_0+1)d$ (notar que $d$ se cancela!!! por lo tanto, $R_0$ realmente no depende de $d$!!!). De esta manera, la misma prueba del Shadowing Lemma para matrices hiperb\'olicas (con alguna estimacioncita extra) nos da el punto deseado. La hiperbolicidad sale directo de iterar los conos sobre $z_{n+m}$ y llevarlos a $z_m$ por el diferencial de las funciones correspondientes (el $5\eps$ capaz es medio exagerado, pero seguro anda al menos). La afirmaci\'on sobre la orbita para una sucesi\'on de difeomorfismos que coincide en varios iterados sale de ``pararse en el medio'' y fijarse que la \'orbita por como la construimos (iterando el cuadrado de lado $R_0d$) queda dada exactamente asi al iterar. Notar que en un caso (para definir $A$) obtenemos $a+5\eps$ y $b-5\eps$ y en el otro lado es alreves, esto no representa un error tipografico, dado que tiene que ver con que las cotas estan hechas al reves. \lqqd \begin{cor}\label{CorShadow} Si se verifica que existe $n>0$ tal que $f_{m+n}=f_m$ para todo $m\in \ZZ$, entonces, se cumple que $z_{m+n}= z_m$ para todo $m\in \ZZ$. \end{cor} \dem Esto es consecuencia de la unicidad y el hecho que si $\{z_m\}$ es una \'orbita, entonces $\{z_{n+m}\}$ tambi\'en. \lqqd \demo{del Teorema \ref{nonuniformclosing}} Vamos a probar que fijado $\delta>0$, existe $\Lambda_\delta \en \Lambda$ con medida $\mu(\Lambda_\delta)>1-\delta$ tal que si fijamos $r_1>0$, existe $r_2$ tal que si $x, f^n(x) \in \Lambda_\delta$ y $d(x,f^m(x))0$ (que lo elegimos de forma tal que $\lambda_1 + 100\eps < 0 < \lambda_2 - 100\eps$) conseguimos una funci\'on $\rho: \Lambda \to (0,\rho_0)$ medible tal que si consideramos los mapas $\xi_x: B(0,\rho(x)) \to M$ tal que $\xi_x(z) = \exp_x(C_\epsilon(x)z)$ entonces\footnote{Vamos a elegir $\epsilon$ al final del Teorema. Se verifica que $\rho(f(x)) \in [e^{-\epsilon} \rho(x), e^{\epsilon}\rho(x)]$. La elecci\'on va a tener que ver solo con el tama\~no de $\eps$ con lo cual quedar\'a bien definido.} el mapa $F_x= \xi_{f(x)}^{-1} \circ f \circ \xi_x: B(0, \rho(x)/(2e^{\lambda_2})) \to B(0, \rho(f(x)))$ coincide con la restricci\'on a $B(0,\rho(x)/(2e^{\lambda^2}))$ de un difeomorfismo de $\R^2$ de la forma $$ \tilde F_x (x_1, x_2)= (a_x x_1 + \alpha_x(x_1,x_2), b_x x_2 + \beta_x(x_1,x_2)) $$ El Teorema de Luisin (Teorema 2.23 de \cite{Rudin}) dice lo siguiente: Sea $\varphi:X\to \KK$ (con $\KK=\RR \ o \ \CC$) una funci\'on medible donde $\mu(X)=1$. Entonces, para todo $\delta>0$ existe una funci\'on continua y acotada $g: X \to \KK$ tal que coincide con $\varphi$ en un conjunto compacto de medida\footnote{La idea de la prueba es simple, considerar un compacto de medida $1-\delta/2$ y un abierto que lo contenga. Por Uryson, podemos aproximar las funciones simples de forma que sean continuas en los compactos esos y que sean ahi tambi\'en casi constantes. Entonces, en un conjunto de medida $1-\delta$ (un changui ahi) donde converge uniformemente.} mayor que $1-\delta$. Consideramos entonces, un conjunto compacto $\Lambda_\delta \en \Lambda$ tal que se verifica que $\mu(\Lambda_\delta)>1-\delta$ y tambi\'en tenemos que las funciones $\rho$, $C_\eps^{\pm 1}$ son continuas. Consideramos entonces $\rho_1 = \min_{x\in \Lambda_\delta} \rho(x)$ y $A= \sup_{x\in \Lambda_\delta} \|C_\epsilon(x)^{\pm 1}\|$. Definimos entonces $\eta>0$ tal que toda bola de radio $\rho_1$ despues de ser transformada por una transformaci\'on lineal de $\R^2$ de norma menor o igual que $A$ contiene una bola de radio $10\eta$. Como $\rho_0$ era inicialmente suficientemente peque\~no, sabemos que la exponencial no contiene mucha distorsi\'on y por lo tanto, obtenemos que $$ B(x,5\eta) \en \xi_x (B(0, \rho(x))) \qquad \forall x\in \Lambda_\delta $$ Ahora, fijado $r_1< \eta$, consideramos $R_0=R_0(e^{\lambda_1+\eps}, e^{\lambda_2 -\eps}, \eps)$ dado por el Teorema \ref{shadowenR2} y consideramos entonces $$ d\leq \frac{\min\{\tilde{r}_1, \rho_1, \}}{R_0} $$ Donde $\tilde r_1$ es el radio de una bola que este contenido en la imagen de una bola de radio $r_1$ por una transformaci\'on lineal de norma menor o igual que $A$. El Teorema se deduce de aplicar el Teorema \ref{shadowenR2} a una sucesi\'on de funciones que consideraremos a continuaci\'on. Primero, para $0\leq m < n-1$ consideramos $f_m:\R^2 \to \R^2$ dada como las funciones $G_{f^m(x)}$ construidas en el Teorema \ref{teocharts}. Para $m=n-1$ consideramos un transladado de $G_{f^{n-1}(x)}$ de forma tal que la imagen del cero sea el punto correspondiente a $x$ (en lugar de $f^n(x)$). Ahora, completamos esta sucesi\'on de funciones periodicamente, es decir, $f_{kn + m} = f_m$ para todo $k \in \ZZ$. El Teorema \ref{shadowenR2} (en realidad, el Corolario \ref{CorShadow}) nos da un\'a \'orbita acotada $z_m$ peri\'odica. Como si cambiasemos $f_{n-1}$ eliminando la translaci\'on, la \'orbita es trivialmente la constante igual al origen, la estimaci\'on de las distancias nos da (por simplicidad, consideramos que $n-1$ es par): $$ \|z_m\| \leq R_0 d ((a+5\eps)^{\frac{n-1}{2}} + (b-5\eps)^{-\frac{n-1}{2}}) ((a-5\eps)^{m-\frac{n-1}{2}} + (b+5\eps)^{m- \frac{n-1}{2}} ) $$ Alcanza entonces mostrar que para $0\leq m \leq n-1$ se tiene que $\|z_m\| \leq \rho(f^m(x))$. Para eso, vemos que si fijamos $\epsilon>0$ podriamos haber elegido $\eps$ suficientemente peque\~no de forma tal que si $0\leq m \leq n-1$ entonces $$ ((a+5\eps)^{\frac{n-1}{2}} + (b-5\eps)^{-\frac{n-1}{2}}) ((a-5\eps)^{m-\frac{n-1}{2}} + (b+5\eps)^{m- \frac{n-1}{2}} ) \leq \max\{ e^{-\epsilon m}, e^{-\epsilon (n-m)} \} $$ Y usando que $\rho(f(x)) \in [e^{-\epsilon}\rho(x), e^{\epsilon}\rho(x)]$ concluimos. \lqqd Notar que al final de la prueba fue escencial el decrecimiento sub-exponencial del tama\~no de las cartas para poder garantizar que la \'orbita que encontramos para la sucesi\'on de funciones del plano era efectivamente una \'orbita del difeomorfismo. Posiblemente, este paso es el paso clave de la prueba y es donde se evidencia la importancia de la hipotesis de que $f$ sea $C^{1+\alpha}$. \section{Entropia y Herraduras} Solamente voy a probar la existencia de herraduras (conteniendo el soporte de una medida hiperb\'olica) pues para probar el Teorema en su versi\'on cuantitativa (probar que hay herraduras cuya entrop\'ia aproxima la entrop\'ia de la medida) es necesario introducir m\'as elementos sobre la entrop\'ia que no son el lo que estoy interesado. Si algun d\'ia escribo la prueba de la desigualdad de Ruelle, capaz termino la prueba. El enunciado que voy a probar es entonces el siguiente: \begin{teo}[Katok, versi\'on ``cualitativa''] Sea $f:M \to M$ un difeomorfismo $C^{1+\alpha}$ de una superficie compacta que preserva una medida erg\'odica $\mu$ con exponentes $\lambda_1 < 0 < \lambda_2$. Entonces, $sop(\mu)$ est\'a contenido en una clase homocl\'inica. \end{teo} Recordamos que la clase homocl\'inica de una \'orbita peri\'odica es la clausura de todas las intersecciones transversales entres sus variedades estables e inestables (tambi\'en coincide con la clausura de los puntos peri\'odicos homoclinicamente relacionados). Esta versi\'on d\'ebil del Teorema de Katok junto con la desigualdad de Ruelle igual nos da como consecuencia el siguiente Corolario que es independiente de la teor\'ia erg\'odica. \begin{cor} Sea $f: M\to M$ un difeomorfismo $C^{1+\alpha}$ de una superficie compacta. Entonces, si $h_{top}(f)>0$, entonces $f$ tiene una herradura. \end{cor} La prueba de este hecho sale bastante directo de la secci\'on anterior ya que las \'orbitas peri\'odicas que construimos son hiperb\'olicas y sabemos que tienen entonces variedades estables e inestables de tama\~no (si consideramos $\tilde{r}_1$ muchisimo m\'as chico que $\rho_1$) razonablemente grande con lo cual, sabiendo que el punto peri\'odic tiene iterados muy cercanos (usando que $r_2$ tambi\'en lo podemos considerar peque\~no con relaci\'on al tama\~no de las variedades) obtenemos que hay intersecciones homoclinicas como las deseadas. \appendix \section{Caso $C^1$-dominado} Nos basamos en \cite{ABC, AB}. Vamos a asumir que $f:M \to M$ es un difeomorfismo $C^1$ de una superficie $M$ que deja invariante una medida erg\'odica $\mu$ con exponentes $\lambda_1<0<\lambda_2$ y tal que en $sop(\mu)$ se tiene una descomposici\'on dominada $E\oplus F$. Esto significa que para todo $x\in sop(\mu)$ se cumple que $\|Df_{/E}\|\leq \frac 1 2 \|Df_{/F}\|$ (estamos utilizando el hecho que los subespacios son unidimensionales y la existencia de una m\'etrica adaptada \cite{Gou}) Es bastante directo mostrar, a partir de la existencia de familias de placas invariantes (\cite{HPS}) tal cual es hecho en \cite{ABC} que tenemos el siguiente resultado (ellos muestran un resultado mucho m\'as general, sin restricciones de dimensi\'on). En \cite{AB} no usan \cite{HPS}, pero, si bien es creible que no sea necesario utilizarlo, me parece que hay algunos problemitas con la prueba (al final trato de esbozar como puede funcionar). \begin{teo}[Pesin dominado] Bajo estas hipotesis, casi todo punto segun $\mu$ tiene variedades estables e inestables de diametro subexponencial. \end{teo} \dem Tenemos para todo punto familias de placas invariantes. Es decir, un mapa continuo $\Phi^{cs}: sop(\mu) \to Emb^1([-1,1],M)$ tal que para todo $\eps$ existe $\delta$ tal que $$ f(\Phi^{cs}_x((-\delta,\delta))) \en \Phi^{cs}_{f(x)}((-\eps, \eps))$$ Se tiene una funci\'on $a^n: sop(\mu) \to \R^+$ dada por $a^n(x)= \|D_xf^n_{/E}\|$ (claramente $a^n(x)= a(f^{n-1}(x)) \ldots a(x)$). El exponente $\lambda_1$ es entonces $\lim_n \frac 1 n \log(a^n(x)) =\lambda_1< 0$ para casi todo punto $x\in sop(\mu)$. Consideramos $BL^{s}(\ell, f) = \{ x \in sop(\mu) \ : \ \log(a^{n\ell}(x)) < -n \ \forall n>0 \}$ Para concluir, vamos a utilizar el siguiente Lema de \cite{AB} que me parece bastante interesante por si mismo (creo que usando el Lema de Pliss se pueden obtener resultados similares\footnote{De hecho, no lo pense mucho, pero cpaz anda una prueba de este estilo para lo que necesitamos realmente. Como el exponente es menor que $\alpha$, tenemos que todo punto verifica que $\|Df^{n}(x)\| < C(x) e^{-n\alpha + \eps n}$ fijando alg\'un $\eps$. Entonces, Considerando los puntos donde $C(x)0$ y $\ell \in \ZZ^+$ verifican las siguientes propiedades: \begin{itemize} \item[(P1)] $\mu(\{x \in \Lambda \ : \ \lambda_1(x)>-\alpha \})< \eta$ donde $\lambda_1(x) < \lambda_2(x)$ son los exponentes de $\mu$. \item[(P2)] $\ell > 1/(\alpha \eta)$ \item[(P3)] $ \int_\Lambda \left| \frac 1 \ell \log \|Df^\ell_{/E}\| - \lambda_1 \right| d\mu < \alpha \eta$ \end{itemize} Entonces, se cumple que $\mu(\Lambda \backslash BL^s(\ell, f)) < 3\eta$. \end{lema} \dem Para $x\in \Lambda$, sea $$ \varphi(x)= \log \|D_xf^\ell_{/E}\| \qquad \varphi^\ast(x)= \sup_{n\geq 1} \frac 1 n \sum_{j=0}^{n-1} \varphi(f^{\ell j}(x)) $$ Tenemos que $BL^s(\ell, f) = \{ x \ : \ \varphi^\ast (x) < -1 \}$. Entonces, por el Teorema erg\'odico maximal, $$ \int_{BL^s(\ell, f)^c} (\varphi +1) d\mu \geq 0 $$ Por lo tanto, considerando en $\cA= \{ x \ : \ \lambda_1(x) \leq -\alpha \}$ que es un conjunto invariante, tambi\'en tenemos\footnote{El Teorema Ergodico Maximal dice que si $\varphi:X \to \R$ est\'a en $L^1(\mu)$ y $\mu$ es $T$ invariante entonces considerando $\varphi^\ast(x) = \sup_{n\geq 1} \sum_{j=0}^{n-1} \varphi \circ T^j(x)$ se verifica que $$ \int_{\{\varphi^\ast \geq 0\}} \varphi d\mu \geq 0$$ Esto se deduce de la siguiente forma, sea $\varphi_n = \max_{1\leq k\leq n} \{ \sum_{i=0}^k \varphi \circ T^i \}$ entonces basta mostrar que $\int_{\{\varphi_n \geq 0\}} \varphi \geq 0$ para todo $n$ (pues son dominios crecientes). Entonces, se ve con algunos c\'alculos estandar (ver \cite{M} cap\'itulo 2) que $$ \int_{\{\varphi_n \geq 0\}} \varphi \geq \int_{\{\varphi_n \geq 0\}} \varphi_n - \int_{\{\varphi_n \geq 0\} \cap \{\varphi_n \circ T\}} \varphi_n \circ T \geq 0 $$} $$ \int_{BL^s(\ell, f)^c \cap \cA} (\varphi +1) d\mu \geq 0 $$ Esto implica que $$ \int_{BL^s(\ell, f)^c \cap \cA} (\frac{\varphi}{\ell} + \frac 1 \ell) d\mu \geq 0 $$ Como por (P2) tenemos que $\int_\cA \frac 1 \ell d\mu \leq \eta \alpha$ tenemos y por (P3) sabemos\footnote{Observar que el Teorema de Birkhoff nos dice que para casi todo punto se cumple que $\ell \lambda_1(x) = \sum_{j=0}^{n-1} \varphi(f^{\ell j }(x))$, cpaz esto permite prescindir de que (P3). No me queda claro, pero habr\'a que pensarlo.} que $\int_{BL^s(\ell, f)^c \cap \cA} \lambda_1 d\mu \geq \eta \alpha + \int_{BL^s(\ell, f)^c \cap \cA} \frac{\varphi}{\ell} d\mu$ $$ \int_{BL^s(\ell, f)^c \cap \cA} \lambda_1(x) d\mu = 2\alpha \eta \int_{BL^s(\ell, f)^c \cap \cA} \frac{\varphi}{\ell} d\mu \geq 0$$ Pero entonces tenemos que $$ \alpha \mu(BL^s(\ell, f)^c \cap \cA) \leq \alpha \eta $$ Por lo tanto, tenemos que $\mu(BL^s(\ell,f)^c) \leq \mu(\cA^c) + \eta \leq 3\eta$ (usando (P1)) como quer\'iamos. \lqqd Utilizando este Lema (que podriamos haber cambiado de alguna manera por el Lema de Pliss que tambi\'en nos asegura que los conjuntos $BL^s(\ell ,f)$ son grandes para $\ell$ grande) obtenemos justamente eso. Fijado $\eta>0$, conseguimos mostrar que para $\ell$ suficientemente grande se cumple que la medida de $BL^s(\ell, f)$ es mayor que $1-\eta$. Basta para esto considerar que $\lim \frac 1 n \log(a^n(x)) = \lambda_1$ para casi todo punto y usar el hecho que estas funciones estan uniformemente acotadas (por el logaritmo de la norma de $Df$) para, por el Teorema de Convergencia Dominada deducir que se cumple para $\ell$ suficientemente grande la propiedad (P3) del Lema. Por otro lado, basta tomar $0<\alpha < \lambda_1$ y $\ell$ suficientemente grande para que se cumplan tambi\'en las propiedades (P1) y (P2). Entonces, tenemos que para esos puntos, el conjunto $BL^s(\ell, f)$ mide mas que $1-\eta$. La continuidad uniforme de $Df^\ell$ nos permite encontrar un valor $s>0$ de forma tal que para cualquier punto en $B(x,s)$ con $x\in BL^s(\ell, f)$ se cumple que la contracci\'on de $Df^\ell$ en un cierto cono alrededor de $E$ es similar a la de $x$ y por lo tanto veremos contracci\'on en todos los pasos y por lo tanto, obtendremos que $$ f^\ell (\Phi^{cs}_x((-\delta,\delta))) \en \Phi^{cs}_{f^\ell(x)} ((-\nu \delta, \nu \delta)) $$ Donde $0\leq \nu \leq 1$ y obtener (inductivamente, un buen lugar para ver esto hecho es \cite{PS} Lema 2.0.3) la existencia de las variedades estables deseadas que tendr\'an en $BL^s(\ell, f)$ un tama\~no mayor que un cierto $r$ que depende solamente de $\ell$ y de $f$ (esto incluye la dominaci\'on, en particular, el valor de $r$ se puede tomar igual para $g$ cercano a $f$). La subexponencialidad viene dada por el hecho de que la variedad estable en $f(x)$ tiene a lo sumo el tama\~no multiplicado por $K= \sup_{x\in M} \|D_xf\| >1 $ (si se agranda) o por $k=\inf_{x\in M} m(D_xf) \in (0,1)$ (donde $m(A)= \|A^{-1}\|^{-1}$ cuando se achica) y por lo tanto, si $d:sop(\mu) \to \R^+$ es la funci\'on diametro de la variedad estable , entonces tenemos que la funci\'on $\log d(f(x))- \log d(x) \in [\log k, \log K]$ y por lo tanto es integrable. Una consecuencia cl\'asica del Teorema de Birkhoff da la subexponencialidad\footnote{Es importante notar esto, este es un argumento super general y muestra que el problema de no usar $C^{1+\alpha}$ es no tener la subexponencialidad de las coordenadas, ya que si hay variedades estables, necesariamente son subexponenciales.}. \lqqd Ahora voy a intentar dar una prueba sin usar el hecho que tenemos la familia de placas invariante (basada en \cite{AB}). La idea es la siguiente, tomamos discos (en este caso curvas) que sean tangentes al cono centro estable (alrededor de $E$). Nos fijamos bolas $B_n$ de radio $re^{a^n(x) + \eps n}$ centradas en $f^n(x)$ (que tienen radio que tiende a cero) y si nos fijamos un arco centro estable en esa bola, su imagen por $f^{-n}$ tiene que ser un disco centro estable (son invariantes para iterados pasados) que se salga de la bola de radio $r$ alrededor de $x$ (si $r$ es elegido peque\~no). La prueba es medio inductiva, la idea es que si tengo un arco tangente al cono en $B(x,r)$ y que siempre est\'a en $B_j$ entonces su proximo iterado est\'a contenido en la pr\'oxima bola. Por lo tanto, sea $\gamma_n$ un arco centro estable que contiene $f^n(x)$ y que se sale de $B_n$, entonces $cc_x (f^{-n}(\gamma_n) \cap B(x,r)) = D_n$ es un arco que se sale de $B(x,r)$. Ahora, considerando $D_n$, por la dominaci\'on son uniformemente equicontinuos, y por lo tanto convergen a un arco l\'imite que evidentemente va a ser estable. Notar que no necesariamente se tiene que $f^{-j}(\gamma_n)$ se salga de $B_{n-j}$ (como dice en \cite{AB}). \subsection{Herraduras y otras consecuencias de los exponentes positivos} Antes que nada, vamos a retomar un poco algo de la secci\'on pasada. En general, si tenemos un difeomorfismo $f:M \to M$ de una superficie compacta que deja invariante una medida erg\'odica $\mu$ con exponentes $\lambda_1<0<\lambda_2$, podemos considerar, por el Teorema de Oseledets, que para casi todo punto $x\in M$ se cumple que tenemos direcciones invariantes $T_xM= E_1(x) \oplus E_2(x)$ asociadas a cada uno de los exponentes. Notaremos $\Lambda= sop(\mu)$. Antes de proseguir, observamos que las hipotesis en las que nos encontramos son suficientes (m\'as que suficientes de hecho) para trabajar exactamente la misma prueba que en el caso $C^{1+\alpha}$ haciendo un sombreado de funciones de $\R^2$ y proyectarlo (de hecho, tenemos que las cartas las podemos considerar subexponenciales como m\'inimo gracias a la dominaci\'on). Sin embargo, intentaremos dar una prueba alternativa, que parece un tanto m\'as directa (por el hecho de no pasar por las sucesiones de funciones). Entonces, tenemos que para casi todo punto $x\in \Lambda$ tenemos las funciones $$ a^n \in L^1(\mu) \qquad a^n(x) = \|D_xf^n_{/E_1(x)}\| = \prod_{j=0}^{n-1} \|D_{f^j(x)} f_{/E_1(f^j(x))}\| = a^1(f^{n-1}(x)) \ldots a^1(x)$$ $$ b^n \in L^1(\mu) \qquad b^n(x) = \|D_xf^{-n}_{/E_2(x)}\| = \prod_{j=0}^{n-1} \|D_{f^{-j}(x)} f_{/E_2(f^j(x))}^{-1}\| = b^1(f^{n-1}(x)) \ldots b^1(x) $$ Como en la secci\'on anterior, podemos definir los \emph{Bloques de Pesin}\footnote{Esta definici\'on viene de \cite{AB} donde dice que no es la misma que en la literatura. No puedo yo afirmar esto, ni decir cual es la de la literatura, pero evidentemente la idea es la misma, bloques donde hay una cierta uniformidad.} $$ BL^s(\ell, f) = \{ x \in \Lambda \ : \ \log a^{n\ell}(x) \leq -n \} $$ $$ BL^u(\ell, f) = \{ x \in \Lambda \ : \ \log b^{n\ell}(x) \leq -n \} $$ Es sencillo ver que el hecho que $\frac 1 n \log a^{n\ell}(x) \to \ell \lambda_1< -1$ (con $\ell> \ell_0$ suficientemente grande) y dado que eso implica que fijado $x\in \Lambda$ (gen\'erico) y $\eps>0$ tenemos que existe $n_0$ tal que para todo $n>n_0$ tenemos que $\log a^n(x) \leq n\lambda_1 + n \eps$, sabemos que (usando que $\log a^{n+m}(x) = \log a^n(f^m(x)) + \log a^m(x)$) existe $\ell>\ell_0$ tal que $x\in BL^s(\ell,f)$. Por lo tanto, obtenemos que $$ \Lambda = \bigcup_{\ell>0} BL^s(\ell, f) = \bigcup_{\ell>0} BL^u(\ell, f) \quad (mod \ 0) $$ Para mejorar un poco la definici\'on de estos objetos (ya que solo podemos decir que un punto pertenece o no a $BL^s(\ell,f)$ si es un punto gen\'erico para la medida, que tenga bien definidos los espacios de Oseledets), diremos que $x\in BL^s(\ell,f)$ si existe un subespacio $E\en T_xM$ tal que $ \log \|D_xf^{n\ell}_{/E}\| \leq -n $ para todo $n>0$ (an\'aloga definici\'on para $BL^u(\ell,f)$). \begin{prop}\label{bloquescompactos} Para todo $\ell>0$, tenemos que $BL^s(\ell, f)$ es un conjunto compacto y que $E_1$ varia continuamente all\'i. \end{prop} \dem De hecho, casi que probaremos primero la segunda afirmaci\'on para deducir la primera. Sea $\{x_n \} \en BL^s(\ell, f)$ una sucesi\'on que suponemos verifica $x_n \to x$. Queremos ver que $x\in BL^s(\ell,f)$ y para eso probaremos que $E(x_n)$ tiende a un subespacio $E(x)$ donde se verifica lo deseado. Para ello, consideramos una subsucesi\'on $x_{n_j}$ tal que $E(x_{n_j})$ converja a un subespacio $E(x)$. Se verifica, por continuidad de $Df$, que fijado $n>0$ tenemos que $$ \log \|D_xf^{n\ell}_{/E(x)}\| \leq - n $$ Esto muestra que $BL^s(\ell, f)$ es un conjunto compacto. Ahora, tenemos que probar que $E$ est\'a bien definido. Para ello, si suponemos que existe $F\neq E$ en $T_xM$ que verifica lo mismo, podemos ver sin problema que eso implica (m\'odulo en una de esas cambiar $\ell$, no estoy seguro, pero por las dudas) que para todo $n >0$ $$ \log \|D_x f^{n\ell} \| \leq - n $$ Ahora, esto implica que (por el Lema de Pliss, incluso se puede probar m\'as facilmente este enunciado)\footnote{Notar que en realidad es un poco delicado, porque al ser de dimensi\'on dos, no es cierto que la norma del producto sea igual al producto de la norma, pero el hecho que tenemos a priori esas dos direcciones donde contrae en todos los iterados por $Df^\ell$ nos permite aplicar Pliss a cada una y deducir lo que queremos.} existen infinitos iterados $f^{n_k}(x)$ de $x$ tales que para todo $n>0$ se tiene $$ \log \|D_{f^{n_k}(x)} f^{n\ell} \| \leq - \frac n 2 $$ Esto nos da un radio uniforme alrededor de cada uno de estos iterados donde tenemos contracci\'on uniforme y por un tema de que el area de la variedad es finita, obtenemos necesariamente un solapamiento entre estas ``variedades estables''. Esto implica que $x$ est\'a en la cuenca de un pozo y por otro lado, esto implica que la medida estaba soportada en un pozo, lo cual es absurdo. \lqqd \begin{obs}\label{pozo} La prueba de arriba casi que alcanza a probar el enunciado siguiente: Si existe $x\in sop(\mu)$ tal que el diferencial contrae en todos los iterados (o un iterado del diferencial) entonces, $\mu$ est\'a soportada en un pozo. Lo que falla en principio es que la norma del producto y el producto de las normas no es lo mismo. Esto creo que lo salvamos arriba, pero habr\'ia que mirarlo. Nota: si es cierto que si los dos exponentes son negativos, entonces $\mu$ est\'a soportada en un pozo, esto se puede probar con una t\'ecnica similar a la del Lema 4.7 de \cite{AB} (que probamos la secci\'on pasada, notar que all\'i no se explota el hecho que $E$ es unidimensional) o bien con la t\'ecnica del Lemma 8.4 de \cite{ABC}. \finobs \end{obs} Ahora, vamos a utilizar el hecho que la intersecci\'on de dos conjuntos de medida $1-\eps/2$ tiene medida por lo menos $1-\eps$. Sea entonces, fijado $\eps$ un $\ell$ suficientemente grande tal que los conjuntos $BL^s(\ell,f)$ y $BL^u(\ell,f)$ midan m\'as que $1-\eps/2$. Definimos entonces, para dicho $\ell$ el conjunto $\Lambda_\eps = BL^s(\ell,f) \cap BL^u(\ell,f)$ que verifica que $\mu(\Lambda_\eps)> 1-\eps$. Considerando de repente $\ell$ m\'as grande y intersectando con otro conjunto de medida arbitrariamente grande, obtenemos que podemos considerar que todo punto en $\Lambda_\eps$ tiene variedad estable e inestable local de longitud al menos $r>0$ (no se si es necesario restringir $\Lambda_\eps$, pero es cierto que lo podemos restringir para que valga). Volvemos entonces a suponer que hay una descomposici\'on dominada en $\Lambda$ de tipo $T_\Lambda M= E\oplus F$. Podemos considerar conos invariantes $\cC^E$ y $\cC^F$ suficientemente angostos alrededor de estas direcciones que verifiquen $D_xf\cC_x^F \en \cC^F_{f(x)}$ y $D_xf^{-1}\cC^E_x \en \cC^E_{f^{-1}(x)}$. Estos conos pueden ser extendidos (ya que varian continuamente) a un peque\~no entorno $V$ de $\Lambda$ manteniendo la propiedad de arriba. Esto permite poner alrededor de cada punto de $\Lambda_\eps$ una cajita hecha por curvas tangentes a estos conos (y que en los puntos de $\Lambda_\eps$ coinciden con las variedades estables e inestables. Si consideramos entonces un punto $x$ tal que $x$ y $f^n(x)$ pertenecen a $\Lambda_\eps$ obtenemos entonces un punto peri\'odico hiperb\'olico que sombrea ese pedazo de \'orbita y a partir de ello (por el hecho que se les puede encontrar variedades estables e inestables grandes a la \'orbita peri\'odica) construir herraduras como deseabamos. \begin{thebibliography}{2} % AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA \bibitem[ABC]{ABC} F. Abdenur, C. Bonatti y S. Crovisier, Nonuniform hyperbolicity for $C^1$-generic dynamics, \emph{Israel J. of Math.} (2010). \bibitem[AB]{avilabochi} A. Avila y J. Bochi, TRIESTE LECTURE NOTES ON LYAPUNOV EXPONENTS PART I, (2008) disponibles en http://www.mat.puc-rio.br/~jairo/. \bibitem[AB2]{king} A. Avila y J. 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