\documentclass[a4paper,12pt]{amsart} \linespread{1.2} \oddsidemargin=-2cm \evensidemargin=-2cm \topmargin=-2cm \textwidth=19.5cm \textheight=26.5cm \usepackage{amssymb,amscd,amsthm,epsfig,graphicx,psfrag,mathrsfs} \usepackage[dvips]{color} \usepackage[spanish]{babel} \usepackage[ansinew]{inputenc} \usepackage[centertags]{amsmath} \newcommand{\en}{\subset} \newcommand{\N}{\mbox{$\mathbb{N}$}} \newcommand{\Z}{\mbox{$\mathbb{Z}$}} \newcommand{\C}{\mbox{$\mathbb{C}$}} \newcommand{\R}{\mbox{$\mathbb{R}$}} \newcommand{\Res}{\mbox{$\mathcal{G}$}} \newcommand{\Rec}{\mbox{$\mathcal{R}$}} \newcommand{\T}{\mbox{$\mathbb{T}$}} \newcommand{\St}{\mbox{$\mathcal{S}$}} \newcommand{\D}{\mbox{$\mathbb{D}$}} \newcommand{\U}{\mathcal{U}} \newcommand{\Ce}{\mathcal{C}} \newcommand{\Orb}{\mathcal{O}} \newcommand{\In}{\mathcal{I}} \newtheorem{teo}{Teorema}[section] \newtheorem{conj}{Conjectura} \newtheorem{cor}{Corolario}[section] %\newtheorem{af}[teo]{Afirmaci�n} \newtheorem{lema}{Lema}[section] \newtheorem{prop}{Proposicion}[section] \newtheorem{propied}{Property} \newcommand{\bi}{\begin{itemize}} \newcommand{\ei}{\end{itemize}} \newcommand{\itm}[1]{\item [(#1)]} \theoremstyle{definition} \newtheorem{defi}{Definicion}[section] \theoremstyle{remark} \newtheorem{obs}[]{Observacion}[section] \newtheorem{ej}[]{Example} \newcommand{\cla}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\eps}{\varepsilon} \newcommand{\reg}{{\cal R}\left( f,[a,b] \right)} \newcommand{\ecu}{$\dot{x}=f(x)$ } \newcommand{\mon}{\mathcal{M}\emph{on}} \newcommand{\f}{\varphi} \newcommand{\comb}[2]{\left(^#1_#2\right)} \newcommand{\deriv}[1]{\frac{\partial #1}{\partial x}} \newcommand{\esbozo}{\vspace{.05in}{\sc\noindent Esbozo }} \newcommand{\dem}[1]{\vspace{.05in}{\sc\noindent Demostracion #1.}} \newcommand{\lqqd}{\par\hfill {$\Box$} \vspace*{.1in}} \newcommand{\finobs}{\par\hfill{$\diamondsuit$} \vspace*{.1in}} \newcommand{\diff}[1]{\mathcal{D}iff^{#1}(M)} \newcommand{\trans}{\mbox{$\,{ \top} \;\!\!\!\!\!\!\raisebox{-.3ex}{$\cap$}\,$}} \author[R. Potrie]{Rafael Potrie} \address{CMAT, Facultad de Ciencias, Universidad de la Rep\'ublica, Uruguay} \email{rpotrie@cmat.edu.uy} \title{Existencia de intersecciones homoclínicas no triviales lejos de los Morse-Smale} %\author{Donnie Darko} \thanks{rpotrie@cmat.edu.uy; Primera versi\'on, sin corregir. 3/12/2008, estoy intentando corregir ortografía e inclui algunas sugerencias del Rata a quien agradezco.} \begin{document} \maketitle \begin{abstract} La idea es presentar el paper \cite{C2} donde se prueba, en topología $C^1$, la conjetura d\'ebil de Palis que asegura que el conjunto de difeomorfismos Morse-Smale junto con el conjunto de difeomorfismos que presentan una intersecci\'on homocl\'inica transversal es abierto y denso en el conjunto de todos los difeomorfismos. \end{abstract} \tableofcontents %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Introducci\'on} No voy a incluir mucha motivacion acerca de los resultados que se presentarán, vale la pena leer el primer cap\'itulo de \cite{pablito} (el resto también) donde se motivan muy bien estos resultados en superficies (ni hablar que vale la pena leer también las introducciones de \cite{PujSam,C2}). La idea es estudiar el espacio $Diff^1(M)$ donde $M$ es una variedad compacta sin borde y este espacio de difeomorfismos se dota de la topolog\'ia $C^1$, es decir, dos difeomorfismos estan cerca si lo estan como mapas entre espacios m\'etricos con la topolog\'ia uniforme y al mismo tiempo sus derivadas se encuentran cercanas (lo mejor es pensarlo en variedades encajadas donde todo es mas f\'acil de definir porque no hay problema de comparar las derivadas por mas que vayan a puntos diferentes). Palis propuso como primer paso buscar un fenomeno responsable de la complejidad en los sistemas ca\'oticos. Primero hay que acordar que es un sistema ca\'otico, o complejo, para eso, se define que es un sistema simple y se utiliza para eso los difeomorfismos conocidos como de Morse-Smale (su conjunto no errante consiste de finitos puntos periodicos hiperb\'olicos cuyas variedades invariantes se intersectan de forma transversal) que son conocidos por su simpleza, en particular, son estructuralmente estables, tienen entrop\'ia nula y todo punto tiene una \'orbita peri\'odica como omega l\'imite. La conjetura d\'ebil de Palis afirma que lejos de los difeomorfismos de Morse-Smale la din\'amica es compleja, y lo expresa conjeturando que hay un abierto y denso de difeomorfismos en el complemento de la clausura de los difeomorfismos Morse-Smale para los cuales existe un corte homocl\'inico transversal que es sabido implica entrop\'ia positiva y existencia de herraduras (shifts). En resumen, si $\mathcal{MS}=\{f\in Diff^1 \ : \ f \ es \ Morse-Smale\}$ y $\mathcal{I}=\{ f \in Diff^1 \ : \ f \ tiene \ herradura \}$ la conjetura d\'ebil de Palis afirma que $Diff^1= \overline{\mathcal{MS}\cup \mathcal{I}}$. En particular, vale la pena compararlo con un resultado de Katok que dice que un difeomorfismo $C^{1+\alpha}$ con entrop\'ia positiva en una superficie tiene una herradura, lo cual soporta un principio (trucho) que seria: \emph{Un difeo $C^1$-gen\'erico se puede tratar como un difeo $C^{1+\alpha}$}, este principio también esta soportado en el trabajo \cite{ABC}. Este resultado fue probado en \cite{PujSam} para difeomorfismos de superficies (donde en realidad se prueba la conjetura fuerte de Palis en la cual no me voy a meter) y recientemente fue probado en general en \cite{C2} (en \cite{BGW} fue probada en dimensi\'on 3). El factor com\'un en todas las pruebas es trabajar en $Diff^1\backslash \overline{\mathcal{MS}\cup \mathcal{I}}$. All\'i se encuentra alg\'un tipo de hiperbolicidad (d\'ebil) y luego utilizar din\'amica unidimensional en las variedades que no se sabe sean uniformemente contraidas o expandidas para lograr las intersecciones (este parrafo fue super vago, pero va a quedar claro mas adelante). Vamos a presentar la prueba de \cite{C2} y esta se divide en 2 etapas (las definiciones quedan para la siguiente secci\'on): \begin{teo}\label{teoA} Existe $\Res_A$, residual de $Diff^1\backslash \overline{\mathcal{MS}\cup \mathcal{I}}$ tal que $\forall f \in \Res_A$ existe un conjunto $K_0$ minimal no peri\'odico parcialmente hiperb\'olico con fibrado central de dimensi\'on uno. \end{teo} \begin{teo}\label{teoB} Existe $\Res_B$, residual en $Diff^1$ tal que $\forall f \in \Res_B$ y $K_0$ minimal no peri\'odico parcialmente hiperb\'olico con central de dimensi\'on uno se cumple que existe una clase homocl\'inica no trivial. \end{teo} Vale la pena observar que el Teorema \ref{teoA} ya era conocido (ver \cite{W2}) pero vamos igual a dar una prueba basada en \cite{C3}. En el Teorema \ref{teoB} con los mismos argumentos se puede probar un enunciado mas general, por ejemplo permitiendo que $K_0$ sea transitivo por cadenas (no periodico) y obteniendo que el conjunto es l\'imite Haussdorff de clases homocl\'inicas relativas no triviales (nosotros nos abstendremos a lo necesario para los fines de esta nota) y de hecho es germen de los resultados en \cite{C3} que se utilizan para probar la conjetura fuerte de Palis en cualquier dimensi\'on (es un trabajo en curso entre Sylvain Crovisier y Enrique Pujals). \section{Definiciones y resultados previos} En esta secci\'on la idea es introducir los conceptos utilizados en los enunciados de los dos teoremas que probaremos y algunos ingredientes que aparecerán en la prueba de estos. En particular introducir el concepto de hiperbolicidad parcial (y descomposici\'on dominada que también ser\'a utilizado) y contar un poco sobre din\'amica gen\'erica que aparece en ambos teoremas y en particular sobre clases de recurrencia y conjuntos transitivos por cadenas. En mi opinión es recomendable saltear esta sección a no ser que no se conozca nada sobre estos temas, en ese caso, una vez leida esta sección recomiendo releer la primera para no perder la l\'inea con la demostración de los resultados principales. \subsection{Formas debiles de hiperbolicidad} Como referencia para estos temas, vale la pena leer el Apéndice B de \cite{BDV}. Decimos que un compacto invariante $\Lambda$ admite descomposici\'on $N-$dominada si $T_\Lambda M=E\oplus F$ es una descomposici\'on $Df$ invariante que verifica que para cualquier par de vectores unitarios $v_E\in E$ y $v_F \in F$ se cumple $$ 2\|Df^N v_E \| < \|Df^N v_F\| $$ El \'indice de la descomposici\'on es la dimensi\'on del fibrado $E$. Esto permite dar una descomposici\'on en m\'as fibrados generalizando la definición de forma muy natural, decimos que $T_\Lambda M = E_1\oplus \ldots \oplus E_m$ es $N-$dominada si dados $v_i \in E_i$ y $v_j \in E_j$ vectores unitarios con $i0$ ($N<0$) tal que para todo vector unitario $v_E$ se verifica que $2\|Df^N v_E\| < 1$. Una descomposici\'on en tres fibrados $T_\Lambda M = E^s \oplus E^c \oplus E^u$ (posiblemente triviales, con la restricci\'on de que o $E^s$ o $E^u$ sea no trivial) es parcialmente hiperb\'olica si se cumple que es $N-$dominada, el fibrado $E^s$ es uniformemente contraido y el fibrado $E^u$ uniformemente expandido. Cuando el fibrado central es trivial, diremos que la descomposici\'on es hiperb\'olica a secas (definici\'on usual). En el caso de los fibrados uniformes, es conocido que los fibrados se integran dando lugar a foliaciones (o mejor dicho laminaciones) estables y/o inestables de tama\~no uniforme que de alguna manera traducen a la variedad las propiedades de la aplicaci\'on tangente, en el caso de los fibrados centrales (no uniformes) hay resultados pero no tan potentes, y estos los veremos cuando comencemos con la prueba del Teorema \ref{teoB} (la referencia cl\'asica de todo esto es \cite{invariant}). \subsection{Din\'amica gen\'erica} Como se ve en los enunciados de los teoremas, otro ingrediente importante va a ser la din\'amica gen\'erica, es decir, el estudio de propiedades que son satisfechas por difeomorfismos que pertenecen a conjuntos residuales de difeomorfismos (intersecciones numerables de abiertos y densos). Una buena referencia a los temas de din\'amica gen\'erica es \cite{BDV} (cap\'itulo 10). En principio, los resultados de din\'amica gen\'erica que usaremos no son muchos, en particular, utilizaremos que existe un conjunto residual $\mathcal{KS}$ de $Diff^1$ que verifica que $\forall f \in \mathcal{KS}$ se cumple que todos los puntos peri\'odicos de $f$ son hiperb\'olicos, y sus variedades invariantes se intersectan de forma tranversal (esto obviamente incluye el caso en que no se intersectan). En particular, un difeomorfismo Kupka-Smale (en $\mathcal{KS}$) cuyo conjunto no errante es finito, es Morse-Smale. Lo otro que utilizaremos es lo motivado por \cite{BC}. Definimos la siguiente relaci\'on entre puntos de $M$ que es que ``se puede ir por $\eps-$pseudo \'orbitas de $x$ a $y$'' como: $$ x\dashv_\eps^f y \ \Leftrightarrow \ \exists x=x_0, \ldots x_n=y \ n\geq 1 \ ; \ d(f(x_i),x_{i+1})<\eps $$ Usualmente omitiremos la referencia a $f$. Diremos que $x \dashv y$ sii $\forall \eps>0$ $x\dashv_\eps y$. Diremos que un conjunto $\Lambda$ es transitivo por cadenas si $\forall x, y \in \Lambda$, se tiene $x\dashv y$. Si denotamos como $\Rec(f)=\{x \ : \ x\dashv x\}$ al conjunto recurrente por cadenas podemos definir las clases de recurrencia como las clases de equivalencia de la relaci\'on $x\vdash\dashv y$ $\Leftrightarrow$ $x\dashv y$, $y\dashv x$ (observar que en el conjunto $\Rec(f)$ la relación es idéntica, la simetría y transitividad son inmediatas). Lo interesante de esta relaci\'on, es que gracias a un famoso teorema de Conley (llamado a veces Teorema fundamental de los sistemas din\'amicos, cuya prueba es bien simple y bonita, se puede encontrar en español en \cite{sambita}) se tiene que para todo homeomorfismo en un espacio m\'etrico $X$ se cumple que existe una funci\'on $\varphi :X \to \R$ que verifica que: \begin{itemize} \item $\varphi(f(x))\leq \varphi(x)$ y la igualdad se cumple si y solo si $x\in \Rec(f)$. \item $\varphi$ asigna valores diferentes a clases de recurrencia diferentes. \item La imagen por $\varphi$ del conjunto recurrente por cadenas es un cerrado con interior vac\'io. \end{itemize} Por lo tanto, se tiene una buena comprensi\'on de la din\'amica fuera del recurrente por cadenas. Lamentablemente, en general, el conjunto recurrente por cadenas no tiene propiedades interesantes din\'amicamente (p.ej, pueden haber transitivos disjuntos en la misma clase de recurrencia). Sin embargo, en la topolog\'ia $C^1$ gracias a un resultado reciente de Bonatti y Crovisier, este conjunto ha tomado una gran importancia: Antes damos una definición, $H(p,f)$ denota la \emph{clase homocl\'inica} de $p$, es decir $\overline{W^s(p)\trans W^u(p)}$ (en el caso gen\'erico, por ser un difeomorfismo gen\'erico, es Kupka-Smale, entonces se tiene que $H(p,f)=\overline{W^s(p)\cap W^u(p)}$). Muchas veces omitiremos la referencia al difeomorfismo por suponer queda claro en el contexto. \begin{teo}[\cite{BC}]\label{BonattiCrovisier} Existe un residual $\Res_{rec}$ de $Diff^1$ tal que para todo $f\in \Res_{rec}$ se cumple que $\Rec(f)=\overline{Per(f)}$. Adem\'as, si una clase de recurrencia $\mathcal{C}$ contiene un punto peri\'odico $p$, entonces $\mathcal{C}=H(p,f)$.\footnote{Este teorema es consecuencia del connecting lemma para pseudo-\'orbitas de \cite{BC}, la segunda afirmaci\'on requiere de argumentos no triviales (que tiene que ver con \cite{CMP}). Los esbozo por ser tan relevante para nuestros propositos: El connecting lemma para pseudo \'orbitas implica que las clases de recurrencia son iguales gen\'ericamente a los conjuntos d\'ebilmente transitivos maximales (clases de equivalencia de la relaci\'on generada en el no errante por $x\prec y$ $\Leftrightarrow$ $\forall U$ entorno de $x$ y $V$ de $y$, $\exists n\geq1$ tal que $f^n(U)\cap V \neq \emptyset$ que por el connecting lemma para pseudo \'orbitas coincide gen\'ericamente con la relaci\'on antes expuesta). Al mismo tiempo, en \cite{CMP} se prueba que las clases homocl\'inicas gen\'ericas son d\'ebilmente transitivos maximales. Esto se hace de la siguiente manera, primero, utilizando el connecting lemma de Hayashi, se prueba que, gen\'ericamente, para todo punto peri\'odico, el conjunto $\overline{W^u(p)}$ (resp. $\overline{W^s(p)}$) es estable Lyapunov para $f$ (resp. $f^{-1}$). Esto (independientemente del significado de estabilidad lyapunov) implica que estos conjuntos contienen todo transitivo que intersectan, al mismo tiempo, utilizando la variaci\'on continua de las clases homocl\'inicas y de estos conjuntos (en un residual), nuevamente utilizando el connecting lemma, es f\'acil probar que la clase homocl\'inica de un punto es $\overline{W^s(p)}\cap \overline{W^u(p)}$ lo cual implica que estas son d\'ebilmente transitivos maximales.} \end{teo} \begin{obs}\label{recurrencianotrivialimplicaherradura} Una consecuencia que utilizaremos es la siguiente, y que tiene que ver con nuestro objetivo de forma muy clara. Si tenemos una clase de recurrencia (para un difeomorfismo gen\'erico) que contiene un punto peri\'odico y adem\'as un punto que no esta en su \'orbita, entonces, existe una clase homocl\'inica no trivial, en particular, un corte homocl\'inico transversal y $f\in \mathcal{I}$. \finobs \end{obs} Otro resultado vinculado, que de alguna manera refuerza el anterior y da un resultado también interesante por si mismo es el siguiente Shadowing Lemma d\'ebil de Croviser para difeomorfismos gen\'ericos (la versi\'on de \cite{C1} es mas fuerte, pero utilizaremos la que enunciamos, este resultado sera utilizado reci\'en en la prueba del Teorema \ref{teoB}): \begin{teo}[\cite{C1}]\label{Gshadow} Existe un residual $\Res_{shadow}$ de $Diff^1$ de forma tal que si $f\in \Res_{shadow}$ y $K$ es un conjunto transitivo por cadenas, entonces $K$ es acumulado en la topolog\'ia de Haussdorff por \'orbitas peri\'odicas. \end{teo} La topolog\'ia de Haussdorff dada por $$d_H(A,B)=\max\{\inf_{x\in A}\{d(x,B)\}, \inf_{x\in B}\{d(x,A)\}\}$$ \section{Demostraci\'on del Teorema \ref{teoA}} \subsection{Teorema de Wen y su versi\'on para medidas erg\'odicas} Estamos buscando alguna forma de hiperbolicidad, entonces, arranquemos por la descomposici\'on dominada. Para ello, busquemos primero propiedades satisfechas por difeomorfimos lejos de tangencias\footnote{Una tangencia homocl\'inica es un punto de intersecci\'on tangente entre la variedad estable e inestable de un punto peri\'odico. Es evidente que si un difeomorfismo presenta una tangencia entonces pertenece a $\overline{\mathcal I}$.} (esta idea apareci\'o en \cite{PujSam} y luego fue generalizada en \cite{W1}). La idea es que si no hay dominaci\'on entre el espacio estable e inestable de un punto peri\'odico entonces es posible mediante una peque\~na perturbaci\'on crear una tangencia homocl\'inica. Es decir, si consideramos un difeomorfismo que no se puede aproximar por uno con tangencias, y el conjunto $\Lambda_i=\overline{Per_i(f)}$ donde $Per_i$ denota el conjunto de puntos peri\'odicos de \'indice $i$ (el \'indice de un punto peri\'odico es la dimensi\'on de su espacio estable) se cumplir\'a (y as\'i lo enuncia Wen en \cite{W1}) que existir\'a $N$ y $\lambda \in(0,1)$ tal que $$ 2\|Df^N v_s\| < \|Df^N v_u\| \qquad \forall v_s \in E^s(p) \ v_u \in E^u(p) \quad p\in Per_i $$ y por lo tanto una descomposici\'on dominada de \'indice $i$, $T_{\Lambda_i}M=E\oplus F$. Sea $Tang=\{f\in Diff^1 \ : \ \exists p \in Per(f) \ con \ W^s(p) \ tangente \ a \ W^u(p) \ en \ un \ punto \}$, entonces, tendremos la siguiente versi\'on uniforme del Teorema de Wen (sacada de \cite{W2}). Dado un punto peri\'odico $p$, denotamos su per\'iodo como $\pi(p)$. \begin{teo}[Wen]\label{lejostang} $f\in Diff^1\backslash \overline{Tang}$. Entonces, existe $\mathcal U$ entorno de $f$, enteros $N$ y $m$, constantes $\delta_0,C>0$ y $\lambda>1$ tales que $\forall g \in \mathcal U$ y $p$ punto peri\'odico de $g$ se cumple que si $T_pM = E^s\oplus E^c \oplus E^u$ es la decomposici\'on de $T_pM$ en los valores propios de $Df^{\pi(p)}_p$ en los intervalos $(-\infty, -\delta_0)$, $[-\delta_0,\delta_0]$ y $(\delta_0,+\infty)$ respectivamente, entonces: \begin{itemize} \item $E^c$ tiene dimensi\'on $\leq 1$. \item $E^s\oplus E^c\oplus E^u$ es $N-$dominada. \item $$\prod_{i=0}^{\frac{\pi(p)}{m} -1} \|Df^m_{/E^s(f^{im}(p))}\| \leq C\lambda^{\pi(p)}$$ \noindent y algo an\'alogo con $E^u$. \end{itemize} \end{teo} Sin mucho problema, y (f\'acilmente de creerse), en \cite{C3} se obtiene el siguiente corolario para medidas erg\'odicas usando algunos refinamientos del Ergodic closing lemma de Ma\~ne de \cite{ABC}. \begin{cor}\label{Pamedidasergodicas} Sea $f\in Diff^1\backslash \overline{Tang}$ y $\mu$ medida erg\'odica, entonces, hay dos opciones: \begin{enumerate} \item $\mu$ es hiperb\'olica. En dicho caso esta soportada en una clase homocl\'inica (posiblemente trivial). \item $\mu$ tiene un \'unico exponente de Lyapunov nulo y el soporte de $\mu$ admite una descomposici\'on dominada $E^s\oplus E^c \oplus E^u$ que coincide $\mu$-ctp con la descomposici\'on de Oseledet's. \end{enumerate} \end{cor} La prueba de esto no es dif\'icil, la idea es que el Ergodic closing lemma de Ma\~ne se puede adaptar para que tambi\'en al aproximar por puntos peri\'odicos la medida se aproximen los exponentes de lyapunov y los subespacios invariantes de las \'orbitas peri\'odicas (recordar que el Ergodic closing lemma de Ma\~ne asegura que dada una medida erg\'odica se puede aproximar d\'ebilmente por medidas soportadas en \'orbitas peri\'odicas). Luego, el hecho que los subespacios de Oseledet's sean dominados, implica que en el caso que la medida sea hiperb\'olica que esta tiene que estar soportada en una clase homocl\'inica (esto tiene que ver con que vale el t\'ipico Anosov closing lemma para medidas hiperb\'olicas con esta condici\'on, con la misma prueba ya que en \cite{ABC} se prueba que si Oseledet es dominado entonces vale el Teorema de Pesin por más que el difeomorfismos sea sólamente $C^1$). Si interesa, esto esta hecho re prolijo en \cite{C3}. \subsection{Din\'amica lejos de tangencias} En esta secci\'on vamos a probar un Teorema de \cite{C3} que de alguna manera resume lo que se sabe de din\'amica lejos de tangencias. La prueba es bastante simple y el resultado en si engloba bastante de lo que se sab\'ia hasta el momento. \begin{teo}[\cite{C3} Section 1.2]\label{lejostangencias} Sea $f\in Diff^1\backslash \overline{Tang}$ y $K_0$ un conjunto compacto invariante con descomposici\'on dominada $T_{K_0}M = E\oplus F$. Supongamos que $E$ no es uniformemente contraido entonces hay 3 opciones: \begin{enumerate} \item $K_0$ intersecta alguna clase homocl\'inica de \'indice menor estricto que $dim E$. \item $K_0$ intersecta alguna clase homocl\'inica de \'indice $dim E$ que contiene \'orbitas peri\'odicas d\'ebiles ($\forall \delta>0$ existe $\mathcal O_n$ \'orbitas peri\'odicas homocl\'inicamente relacionadas que convergen Haussdorff a un subconjunto $K\en K_0$ de \'indice $dim E$ y cuyo mayor exponente de Lyapunov sobre $E$ esta en $(-\delta,0)$). Adem\'as, estas clases homocl\'inicas cumplen que en ellas hay una descomposici\'on dominada de la forma $T_HM=E'\oplus E^c \oplus F$ que extiende la descomposici\'on de $K_0$ y $dim E^c=1$. \item $\exists K \en K_0$ compacto invariante parcialmente hiperb\'olico $T_KM=E^s\oplus E^c\oplus E^u$ con dimensi\'on central uno, $dim E^s< dim E$ y toda medida erg\'odica soportada en $K$ tiene exponente nulo sobre $E^c$. \end{enumerate} \end{teo} Las clases homocl\'inicas a las que se refiere no tiene porque ser no triviales. Tambi\'en es importante remarcar que a nuestros efectos, lo \'unico que utilizaremos es que si $E$ no es uniformemente contraido, entonces, o bien $K_0$ intersecta una clase homocl\'inica, o bien existe el compacto $K$ dado por la parte $3)$. La prueba no es muy diferente si quisieramos probar \'unicamente esa versi\'on mas d\'ebil asi que no la cambiamos, pero tampoco nos esforzamos en exponer super claramente las cosas que no son tan relevantes a nuestros propositos. \dem{} Si $E$ no es uniformemente contraido en $K_0$, entonces existe una medida erg\'odica con soporte en $K_0$ cuyo mayor exponente de Lyapunov sobre $E$ es $\geq 0$ (esto es pues tiene que haber un vector en $E$ tal que $\|Df^n v\|\geq \|v\|$ $\forall n \geq 0$ y tomando puntos de acumulaci\'on d\'ebil de las medidas soportadas ah\'i se obtiene lo deseado). Sea $K=sop \mu$. Sea $T_KM = E_0 \oplus F_0$ dado por el Corolario \ref{Pamedidasergodicas} donde el m\'aximo exponente sobre $E_0$ es negativo y el minimo exponente sobre $F_0$ es $\geq 0$. Claramente $dim E_0< dim E$. Al mismo tiempo, podemos suponer que elegimos $\mu$ de forma tal que la dimensi\'on de $E_0$ es m\'inima (esto implica que $E_0$ tiene que ser uniformemente contraido, pues sino habr\'ia una medida erg\'odica con alg\'un exponente $\geq 0$ all\'i). Ahora, si $F_0$ tiene todos sus exponentes estrictamente positivos, tendremos por el Corolario \ref{Pamedidasergodicas} que estamos en el caso 1) del Teorema. Si $F_0$ tiene un exponente cero, tenemos $T_KM=E^s\oplus E^c \oplus F'$ donde $dim E^c=1$ y se cumple que existe un vector $v\in E^c_K$ tal que $\|Df^n v\|\geq \|v\|$ pues $E^c$ no es uniformemente contraido. Ademas, podemos suponer que toda medida erg\'odica soportada en $K$ verifica que su exponente es $\leq 0$ sobre $E^c$ sino ser\'ia medida hiperb\'olica (de \'indice estrictamente menor que $dim E$) y estariamos en el caso 1). De igual forma, si toda medida erg\'odica soportada en $K$ tiene exponente cero sobre $E^c$ entonces estamos en el caso 3) del Teorema y liquidamos tambi\'en. En resumen, llegamos a que falta estudiar el caso en que $dim E_0=dim E-1$ (sino directamente por lo de arriba estas en el caso 1) o 3)) y adem\'as se cumple que existen medidas erg\'odicas soportadas en $K$ con exponente $<0$ en $E^c$. Adem\'as, podemos suponer que $K$ es minimal en el sentido de que si $K'\en K$ invariante y tiene un vector $v$ tal que $\|Df^n v\|\geq \|v\|$ entonces $K'=K$ (usando lema de Zorn). Vamos a probar que en estas condiciones estamos en el caso 2. Sea $L$ el supremo de los exponentes de Lyapunov de medidas erg\'odicas soportadas en $K$ con exponente negativo sobre $E^c$. $L\geq 0$. Si $L=0$ estamos en el caso 2) pues para todo $\delta>0$ suficientemente peque\~no tenemos una medida erg\'odica con exponente en $(-\delta,0)$, esta por la dominaci\'on del Corolario \ref{Pamedidasergodicas} va a tener que ser hiperb\'olica y por lo tanto va a haber puntos peri\'odicos acumulando en la topolog\'ia Haussdorf a un subconjunto de $K$ (esto por el Anosov Closing Lemma). La ultima afirmaci\'on se deduce de argumentos de \cite{BDP} que permiten llevar esta estructura a toda la clase homocl\'inica. Si $L<0$ la cosa es un poco m\'as complicada y la voy a esbozar simplemente pues hace uso del Lema de Liao (ver \cite{W3}). Definamos $E'\oplus F'= (E^s\oplus E^c)\oplus F'$ sobre $K$. Como existe $v$ tal que $\|Df^n v\|\geq \|v\|$ $\forall n\geq 0$ tenemos que existe un punto $b\in K$ tal que para cualquier $m$ se cumple\footnote{Notar que siempre se cumple que $\|Df^m_{/E'}\|\geq \|Df^m_{/E^c}\|$ por ser un subespacio. Al mismo tiempo, siendo $E^c$ unidimensional, vale que $\prod_{i=0}^{n-1} \|Df_{/E^c}\|=\|Df^n_{/E^c}\|$.} $$ \prod_{i=0}^{k-1}\|Df^m_{/E'(f^{im}(b))}\| \geq \|Df^{km}_{/E^c(y)}\| \geq 1 \qquad \forall k\geq 1 $$ Al mismo tiempo, tenemos que si $K'$ esta estrictamente contenido en $K$ y es invariante, por la minimalidad de $K$ (respecto a su no hiperbolicidad en $E^c$) se cumple que tiene que haber un punto en $x\in K'$ suficientemente hiperb\'olico en $E^c$ (con exponente menor que $L$ por definici\'on de $L$). Además, por la dominaci\'on tenemos que para cualquier $\eps>0$ existe $m$ tal que $\|Df^m_{/E'}\|\leq e^\eps \|Df^m_{/E^c}\|$. Tomando $\eps < -L$ obtenemos que para dicho $x$ se tiene: $$ \prod_{i=0}^{k-1} \|Df^m_{/E'(f^{im}(x))}\| \leq e^{k\eps}\|Df^{km}_{/E^c(x)}\| \leq e^{km(L+\eps)} \quad \forall k\geq 1 $$ En definitiva tenemos lo siguiente, un punto donde $E'$ no es hiperb\'olico y adem\'as, siempre que tengamos un punto donde $E'$ no sea hiperb\'olico tendremos un punto en su omega l\'imite que si va a ser bastante hiperb\'olico en $E'$ (si el omega l\'imite esta estrictamente contenido usamos lo del parrafo anterior, sino, simplemente te paras en un punto del soporte de una medida con exponente menor que $L$ y haces el mismo argumento). Esto permite (utilizando el Lema de Liao) encontrar puntos peri\'odicos homocl\'inicamente relacionados con exponentes arbitrariamente d\'ebiles pero de \'indice $dimE'$ que acumulan Hausdorff en un subconjunto de $K$. Vale de nuevo el argumento de \cite{BDP}. \lqqd Por completitud nomas, voy a enunciar el Lema de Liao para que se entienda porque no lo introduje e hice la demostraci\'on formal, pero adem\'as, si se mira con mas atenci\'on se ve que realmente nos pusimos en las hip\'otesis y lo que da el teorema permite concluir. \begin{lema}[Liao, ver \cite{W3}] Sea $\Lambda$ compacto invariante con descomposici\'on dominada $T_\Lambda M = E \oplus F$ (que verifica $\|Df^n_{/E}\|\|Df^{-n}_{/F}\|0$ existe $\delta>0$ tal que $f(W^{E}_{\delta}(x))\en W^E_{\eps}(f(x))$ y $f^{-1}(W^{E}_{\delta}(x))\en W^E_{\eps}(f^{-1}(x))$ \end{enumerate} \end{teo} \begin{obs}\label{obsHPS} Si se tiene una descomposici\'on dominada en $3$ subfibrados $T_\Lambda M=E\oplus F \oplus G$ se obtiene tambi\'en una de estas familias tangente a $F$ intersectando las dadas por el Teorema \ref{HPS} aplicado al fibrado $(E\oplus F)$ y $(F\oplus G)$. En particular, si $F$ tiene dimensi\'on uno, tenemos una familia continua de curvas $C^1-$encajadas en $M$ que son localmente invariantes y tangentes a $F$. \finobs \end{obs} \subsection{Existencia de modelos centrales en conjuntos parcialmente hiperb\'olicos} Sea $K$ un conjunto parcialmente hiperb\'olico con central de dimensi\'on uno ($T_KM =E^s\oplus E^c\oplus E^u$ con $dim E^c=1$). A priori hay dos posibilidades, el fibrado $E^c$ puede tener una orientaci\'on preservada por $Df$ o no tenerla (en esto no importa si $E^c$ es o no orientable). En que influye esto?, b\'asicamente en que en el caso que se preserve una orientaci\'on, las curvas centrales tienen din\'amicas ``disjuntas'' de alguna manera pues podemos hablar de las curvas de arriba y de abajo que seran invariantes por $f$. En el caso que no se preserve la orientaci\'on, no podremos tener esa descomposici\'on din\'amica. Entonces, llamamos $\hat K =K$ si $Df$ preserva una orientaci\'on en $E^c$ y $\hat K = K\times {-1,1}$ en caso contrario. Podemos fijar una familia de curvas como la dada por la observaci\'on \ref{obsHPS} que nos permite definir un mapa $\pi:\hat K \times [0,+\infty) \to M$ y un mapa continuo $\hat f :\hat K \times [0,1] \to \hat K \times [0,+\infty)$ con las siguientes propiedades: \begin{itemize} \item $f\circ \pi = \pi \circ \hat f$ en $\hat K \times [0,1]$. \item $\pi(\hat K \times \{0\})=K$ y es el mapa obvio (es decir, si $\hat K=K$ es la identidad y si no la proyecci\'on). \item $t \to \pi(\hat x , t)$ es una familia $C^1$ de encajes de $[0,+\infty)$ en $M$ parametrizados por $\hat x \in \hat K$. \item $\forall \hat x \in \hat K$ la curva $\pi(\hat x, [0,+\infty))$ es tangente a $E^c$ en el punto $x=\pi(\hat x,0)$. \end{itemize} Tambi\'en podemos suponer que el mapa $\hat f$ verifica las siguientes propiedades que le dan el nombre a $(\hat K, \hat f)$ de \emph{modelo central abstracto} para $(K,f)$. \begin{itemize} \item $\hat f(\hat K \times \{0\}) = \hat K \times \{0\}$ (esto en realidad se deduce de lo de arriba). \item $\hat f$ es un homeomorfismo local en un entorno de $\hat K \times \{0\}$, es decir, existe $\hat g: \hat K \times [0,1]\to [0,+\infty)$ tal que $\hat f \circ \hat g$ y $\hat g \circ \hat f$ son la identidad donde estan definidas. \item $\hat f$ tiene una din\'amica fibrada (de producto cruzado), es decir, existe $\hat f_1:\hat K \to \hat K$ y $\hat f_2: \hat K \times [0,1] \to [0,+\infty)$ cumple $\hat f (x,t) = (\hat f_1 (x), \hat f_2 (x,t))$. \end{itemize} Se dice que el modelo es transitivo por cadenas o minimal si lo es el mapa $\hat f_1$. Vamos a estudiar la din\'amica del modelo para sacar conclusiones acerca de la din\'amica del difeomorfismo en general. \subsection{Din\'amica en los modelos centrales} Vamos a estudiar la din\'amica de estos modelos centrales con el objetivo de obtener a partir de esta ciertos tama\~nos uniformes que nos permitan emular la prueba del caso hiperb\'olico. Consideremos entonces un modelo central abstracto, es decir, un par $(\hat K, \hat f)$ y un mapa fibrado $\hat f: \hat K \times [0,1] \to \hat K \times [0,+\infty)$ que manda la secci\'on nula en si misma y es un homeomorfismo local donde esta bien definido. Estudiaremos la din\'amica en el conjunto $\tilde K=\bigcap_{n\in \Z} \hat f^n(\hat K \times [0,1])$. \footnote{En realidad no tiene sentido hablar de $\hat f^{-1}$, se entiende que esto refiere a donde tiene sentido. Se verifica que en $\tilde K$, $\hat f$ es un homeomorfismo.} La din\'amica en la base la notamos como $\hat f_1:\hat K \to \hat K$. Y decimos que el modelo es transitivo por cadenas si lo es $\hat f_1$. Diremos que el modelo tiene un \emph{segmento recurrente por cadenas} si existe $x\in \hat K$ y $1>a>0$ de forma tal que todo el segmento $\{x\}\times [0,a]$ pertenece a la misma clase de recurrencia por cadenas de $\hat f_{/\tilde K}$. Probaremos que en el caso en el cual el modelo no tiene un segmento recurrente por cadenas el modelo tendra alguna propiedad de hiperbolicidad. Llamamos \emph{banda} a un conjunto $S$ que verifique que para todo $x \in \hat K$ existe $1\geq a_x>0$ de forma tal que $ \{x\}\times [0,a_x) = S\cap \{x\} \times [0,1]$ o $ \{x\}\times [0,a_x] = S\cap \{x\} \times [0,1]$. Decimos que una banda es \emph{atractora} (resp. \emph{repulsora}) si se verifica que $\hat f (\overline S) \en S$ (resp. $\hat f^{-1} (\overline S) \en S$). Se puede ver que la continuidad de $\hat f$ implica una cierta continuidad en $S$, es decir, $S$ es como la ``parte de abajo'' de un gr\'afico de una funci\'on continua de $\hat K$ en $[0,1]$ (es decir, si $x_n \to x$ entonces $a_{x_n}\to a_x$). \begin{teo}\label{recurrenteobanda} Sea $(\hat K, \hat f)$ un modelo central abstracto con base transitiva por cadenas. Entonces, o bien hay un segmento recurrente por cadenas, o bien hay bandas atractoras en entornos arbitrariamente peque\~nos de $\hat K \times \{0\}$ o bandas repulsoras en entornos arbitrariamente peque\~nos de $\hat K \times \{0\}$. \end{teo} Vale la pena aclarar que las \'ultimas dos opciones no son excluyentes (puede haber una din\'amica tipo ``$\dot x = x^2 \sin (\frac 1 x)$'', vale la pena ver ejemplos de que puede pasar en un dibujito que hay en la introducci\'on de \cite{C3}). \begin{obs}\label{achicaroagrandarconjunto} Si un modelo tiene un segmento recurrente por cadenas, entonces todo modelo que lo contenga tambi\'en lo tendr\'a. Analogamente, la restricci\'on de un modelo con bandas atractoras (o respulsoras) a un subconjunto tambi\'en las tendr\'a. \end{obs} \dem{} Consideremos el conjunto $S^u_\eps=pW^u_\eps(\hat K \times \{0\}) = \{x \in \tilde K \ : \ \exists z \in \hat K \times \{0\} \ ; \ z\dashv_\eps x \}$ y el conjunto $S^s_\eps=pW^s_\eps(\hat K \times \{0\}) = \{x \in \tilde K \ : \ \exists z \in \hat K \times \{0\} \ ; \ x\dashv_\eps z \}$. Primero que nada, vamos a probar que el conjunto $S^u_\eps$ es una banda atractora. Una vez que hayamos probado eso, estudiaremos los conjuntos $pW^u= \bigcap_{\eps>0} S^u_\eps$ y $pW^s$ analogamente. Si alguno de estos verifica que es exactamente la secci\'on nula entonces tendremos bandas atractoras o repulsoras que son entornos arbitrariamente peque\~nos de la secci\'on nula, en caso contrario, basta encontrar alg\'un punto $x\in \hat K$ tal que tenga un intervalo en $pW^s\cap pW^u$ lo que implicar\'a que es un segmento recurrente por cadenas. Es f\'acil ver que si $x\in S^u_\eps$ entonces $\hat f(x)$ tambi\'en pues agregamos $\hat f(x)$ a la $\eps-$pseudo \'orbita que une un punto $z \in \hat K \times \{0\}$ con $x$ y obtenemos tambi\'en una $\eps-$pseudo \'orbita. Al mismo tiempo, si $x\in \overline{S^u_\eps}$ tomamos un punto $y\in S^u_\eps$ tal que $d(x,y)<\delta$ con $\delta$ elegido de forma tal que $d(f(x),f(y))<\eps$. Esto implica que $\hat f(x) \in S^u_\eps$ y obtuvimos $\hat f(\overline{S^u_\eps})\en S^u_\eps$. Falta entonces ver que $S^u_\eps$ es efectivamente una banda (ya probamos que es atractora). Primero, es trivial ver que $S^u_\eps$ contiene el $\eps$ entorno de $\hat K \times \{0\}$. Ahora, veamos que si un punto de la forma $(x,\alpha) \in S^u_\eps$ entonces se tiene que $\{x\}\times [0,\alpha]\en S^u_\eps$. Esto lo probaremos por inducci\'on. Sea $(z,t)\in S^u_\eps$ y sea $((z_0,t_0), \ldots, (z_k,t_k))$ una $\eps-$pseudo \'orbita que une $(z_0,t_0)\in \hat K \times \{0\}$ con $(z,t)=(z_k,t_k)$. Sea $I_j= \{z_j\}\times [0,t_j]$. Claramente $I_0 \en S^u_\eps$ y es claro que si $I_j \en S^u_\eps$ entonces $I_{j+1}$ esta contenida en un $\eps-$entorno de $\hat f (I_j)$ (pues $(z_{j+1},t_{j+1})$ esta a menos de $\eps$ de $\hat f ((z_j,t_j))$) y por lo tanto, como $\hat f (I_j)$ es un intervalo que contiene al cero de $\{\hat f_1(z_j)\} \times [0,1]$, su $\eps$-entorno tambi\'en lo ser\'a. Esto concluye la prueba de que necesariamente es un intervalo. Esto se puede hacer analogamente para $S^s_\eps$. Consideramos $pW^u = \bigcap_{\eps>0} S^u_\eps$ y $pW^s=\bigcap_{\eps>0} S^s_\eps$. Tenemos las siguientes propiedades: Si $pW^u= \hat K \times \{0\}$ entonces hay bandas arbitrariamente peque\~nas que son atractoras pues dado un entorno de $\hat K \ times \{0\}$ tendremos $\eps$ suficientemente chico de forma tal que $S^u_\eps$ esta contenido en ese entorno y es una banda atractora por lo antes probado. Analogamente, si $pW^s=\hat K \times \{0\}$ hay bandas repulsoras arbitrariamente peque\~nas. Hay que ver entonces que si $pW^u \neq \hat K \times \{0\}$ y $pW^s \neq \hat K \times \{0\}$ entonces hay un segmento recurrente por cadenas. Por ser intersecciones de bandas, los conjuntos $pW^u$ y $pW^s$ intersectan los conjuntos de la forma $\{x\}\times [0,1]$ en intervalos (posiblemente triviales) que contienen al $0$. Basta ver ahora que si ninguno de los dos conjuntos se reduce a la secci\'on nula, entonces hay un segmento recurrente por cadenas. Para eso utilizaremos la recurrencia por cadenas de la base. Si se cumple que $pW^u$ y $pW^s$ contienen el conjunto $\hat K \times [0,\eta]$ con $\eta>0$ tenemos que todos los puntos tienen segmentos recurrentes por cadenas. Podemos suponer entonces que existe un punto para el cual $\{x\}\times [0,\eta] \en pW^u$ (con $\eta>0$) y un punto para el cual $pW^u \cap \{y\} \times [0,1] = \{y\}\times \{0\}$. Intuitivamente esto tiene que implicar que hay algun segmento recurrente por cadenas ya que por un lado a ese segmento se llega por cadenas desde $\hat K \times \{0\}$ y por otro lado cuando se va por cadenas hasta la fibra de $y$ se tiene que poder llegar por cadenas hasta ahi pues ahi se achica mucho. Fijamos $\eps_0>0$. Sea $\eps<0$ de forma tal que $S^u_\eps$ no contiene a $\{y\}\times [0,\eps_0]$, la idea es que desde $\{x\}\times [0,\eta]$ llegamos a $\{y\}\times [0,\eps_0]$ por $\eps$-pseudo \'orbitas, pero entonces estamos llegando a $(y,0)$ por $\eps_0$-pseudo \'orbitas. Sea $(x_0, \ldots, x_n)$ una $\eps$-pseudo \'orbita con $x_0=x$ y $x_n=y$. Definimos inductivamente los intervalos $I_k=\{x_k\}\times [0,t_k]$ donde $t_k = \min\{t'_{k-1}, 1\}$ donde $(x'_{k-1}, t'_{k-1})= \hat f ((x_{k-1},t_{k-1}))$ y $t_0=\eta$. Esta claro que $I_k$ esta contenido en un $\eps-$entorno de $\hat f(I_{k-1})$ y se verifica necesariamente, dado que $S^u_\eps$ es una banda atractora que $I_n \en \{y\}\times [0,\eps_0]$. Por lo tanto, si fijamos $k_0$ como el primer valor $k \in \{0, 1,\ldots n-1\}$ tal que $t_j <1$ $\forall j > k$, se cumple que se puede ir desde $I_{k_0}$ a $y$ por $\eps_0$-pseudo \'orbitas. Con lo cual encontramos un intervalo $I_{k_0} \en S^s_{\eps_0} \cap pW^u$, lo llamaremos $I_{k_0}(\eps_0)$ y se verifica que tiene longitud mayor o igual a $\eta$ (si $k_0=0$ es $\eta$ y si $k_0>0$ es $1$). Tomando un arco l\'imite cuando hacemos $\eps_0 \to 0$ tenemos un arco de longitud mayor o igual a $\eta$ que es recurrente por cadenas (pertenece a $pW^s\cap pW^u$). \lqqd \section{Demostraci\'on del Teorema \ref{teoB}} Ya tenemos las herramientas para concluir el teorema. En principio, hay 2 posibilidades, una es que haya un segmento recurrente por cadenas y otra es que haya un bandas atractoras arbitrariamente peque\~nas (o repulsoras, esto va a ser an\'alogo argumentando para $f^{-1}$). Resulta que hay otro problema, en el caso que el mapa $Df$ preserve una orientaci\'on en $E^c$ tendremos 2 modelos centrales para el difeomorfismo con lo cual, si bien puede haber una banda atractora para uno, puede que haya una banda repulsora para el otro y ahi si el caso no es simetrico a tener atractoras de ambos lados. Con lo cual tenemos $3$ casos diferenciados, los estudiaremos por separado, solo que los \'ultimos dos tiene argumentos similares que sacaremos de factor com\'un. Vamos a trabajar en $\Res_B = \Res_{shadow}\cap \Res_{rec}\cap \mathcal{KS}$. \subsection{Segmento recurrente por cadenas} Este caso es el m\'as simple de todos. Se basa fuertemente en la observaci\'on \ref{recurrencianotrivialimplicaherradura} que dice que si encontramos una clase de recurrencia para un difeomorfismo gen\'erico que tiene un punto peri\'odico y un punto no peri\'odico entonces tenemos un corte homocl\'inico transversal. Sea entonces $f \in \Res_B$ que tiene un conjunto minimal no peri\'odico $K$ parcialmente hiperb\'olico con central de dimensi\'on uno y que adem\'as tiene un segmento central recurrente por cadenas $\gamma$. Como $\gamma$ esta en el conjunto maximal invariante del modelo central, podemos asumir que la \'orbita de $\gamma$ esta contenida en un entorno adaptado de $K$ y por lo tanto que admite la misma descomposici\'on parcialmente hiperb\'olica. Consideremos el conjunto $K_0= K \cup \bigcup_{n\in Z} f^n(\gamma)$ que es transitivo por cadenas y por lo dicho parcialmente hiperb\'olico fuerte. Consideremos el conjunto $W^s_{loc}(\gamma)=\bigcup_{x\in \gamma} W^{ss}_{loc}(x)$ y an\'alogamente el conjunto $W^u_{loc}(\gamma)$. Estos conjuntos seran variedades de dimensi\'on $dim E^s + 1$ y $dim E^u + 1$ respectivamente\footnote{Podemos asumir que tanto $E^s$ como $E^u$ son no triviales pues sino tenemos un segmento recurrente por cadenas atractor o repulsor y por lo tanto, o bien tiene puntos peri\'odicos (y es clase homocl\'inica no trivial) o no es acumulado por estos (que viola la genericidad).}. Aprovechando que $f\in \Res_{shadow}$ sabemos que el conjunto $K_0$ es acumulado en la topolog\'ia de Haussdorff por \'orbitas peri\'odicas (que sea en la topolog\'ia de Haussdorff implica que estas \'orbitas se encuentran en un entorno adaptado de $K_0$ y por lo tanto son parcialmente hiperb\'olicos). Esto implica que existe algun punto peri\'odico $p$ tal que $W^{ss}_{loc}(p)\cap W^u_{loc}(\gamma) \neq \emptyset$ y $W^{uu}_{loc}(p)\cap W^s_{loc}(\gamma) \neq \emptyset$ con lo cual $p$ esta en la misma clase de recurrencia que $\gamma$ y obtuvimos una clase homocl\'inica no trivial, por lo tanto, probando que $f\in \mathcal{I}$. \subsection{Bandas atractoras o repulsoras, argumentos generales} Vamos a asumir que el conjunto $K$ tiene una banda atractora y por lo tanto los fibrados $E^s$ y $E^u$ van a jugar roles diferentes. Lo primero que vamos a probar es que si se tiene una banda atractora, los puntos peri\'odicos que acumulan a $K$ van a tener asociados otros puntos peri\'odicos con variedades estables de dimension $dim E^s+1$ y que tienen un tama\~no uniforme al menos en un semiespacio del punto dentro de $W^{cs}_{loc}$. Sea entonces $K$ el minimal parcialmente hiperb\'olico con central de dimensi\'on uno. Como estamos en $\Res_B$ podemos considerar $K_0= K \cup \bigcup_n \mathcal O_n$ donde $\mathcal O_n$ son orbitas peri\'odicas que acumulan Haussdorff sobre $K$ y posiblemente eliminando algunas podemos suponer que estan todas en un entorno adaptado y por lo tanto $K_0$ es parcialmente hiperb\'olico con central de dimensi\'on uno. Si $K$ tiene bandas atractoras arbitrariamente peque\~nas entonces podemos por continuidad asumir que $K_0$ tiene al menos una banda atractora. Sea $S$ una banda atractora del modelo central $(\hat{K}_0, \hat f)$ de $K_0$, entonces podemos considerar para todo $x\in K_0$ la curva $\sigma_{\hat x}= \pi (S\cap \{\hat x\}\times [0,1])$ (donde $\pi(\hat x)=x$, la dependencia de $\hat x$ es para hacer referencia a la dependencia del modelo central) que va a verificar $f(\sigma_{\hat x}) \en \sigma_{\hat f(\hat x)}$. Si $\Lambda= \bigcap_{n\geq 0} \hat f(S)$ llamamos $\gamma_{\hat x} = \pi (\Lambda\cap \{\hat{x}\}\times [0,1])$ que va a verificar que $f(\gamma_{\hat x})=\gamma_{\hat f(\hat x)}$. Observar que $\pi(\Lambda)$ se puede considerar parcialmente hiperb\'olico pues tomando $S$ peque\~na tenemos que esta contenida en un entorno adaptado de $\hat K_0$. Observar que si $p \in Per(f_{/K_0})$ se cumple que un extremo de $\gamma_{\hat p}$ (con $\pi(\hat p)=p$) se tiene a $p$ y en el otro se tiene otro punto peri\'odico $P_{\hat p}$ que puede eventualmente coincidir con $p$. Si el modelo central preserva orientaci\'on entonces el per\'iodo de $P_{\hat p}$ coincide con el de $p$ y si no lo preserva, eventualmente puede ser el doble\footnote{Podria pasar que tenga per\'iodo par en cuyo caso el per\'iodo de $P_{\hat p}$ igual va a coincidir con el de $p$ pues el retorno preserva orientaci\'on. Esto igual no es importante, lo importante es que los puntos peri\'odicos en $\gamma_{\hat p}$ son finitos pues $f$ es Kupka-Smale.}. Lo mismo pasa con cualquier otro punto peri\'odico en $\gamma_{\hat p}$, en conclusi\'on, dado que $f$ es Kupka-Smale y estos difeomorfismos tienen finitos puntos peri\'odicos de cada per\'iodo, a lo sumo hay finitos puntos peri\'odicos en $\gamma_{\hat p}$. Podemos asumir que el conjunto $W^{cs}_{loc}(p)$ esta partido en dos componentes conexas por $W^{ss}_{loc}(p)$ ya que construimos las curvas centrales cortando las centro estables y centro inestables. Le llamaremos $\hat W^{cs}_{\hat p}$ a la componente conexa de $W^{cs}_loc(p)$ que contiene a $\sigma_{\hat p}$. \begin{lema}\label{tamaniouniformedeunlado} Existe $\eta>0$ tal que para todo punto $\hat p \in \hat K_0$ con $p=\pi(\hat p)$ peri\'odico se cumple: \begin{enumerate} \item La union de las variedades estables locales de los puntos peri\'odicos de $\gamma_{\hat p}$ cubren un $\eta-$entorno de $\sigma_{\hat p}$ en $\hat W^{cs}_p$. \item La variedad estable de $P_{\hat p}$ contiene una media bola $D^{cs}_+(P_{\hat p})$ en $\hat W^{cs}_p$ centrada en $P_{\hat p}$ y limitada por $W^{ss}_{loc}(P_{\hat p})$. $D^{cs}_+(P_{\hat p})$ es disjunta de $\gamma_{\hat p}$. \end{enumerate} \end{lema} \dem{} Tomamos una familia de conos $C^{s}$ alrededor del fibrado $E^s$ que verifique que existe $N$ tal que para todo $v\in C^s$ se cumple que $2\|Df^N v\| \leq \|v\|$. Definimos $\tilde \sigma_{\hat p} = f^{-N}(\sigma_{\hat f^N(\hat p)})$ que por la propiedad atractora de la banda va a cumplir que la clausura de $\sigma_{\hat p}$ estara contenida en $\tilde \sigma_{\hat p}$. Sea $U(\hat p) = B_\delta (\sigma_{\hat p})$ en $\hat W^{cs}_{p}$ y se va a cumplir que para todo $z\in U(\hat p)$ se verifica que $z$ se une con un peque\~no entorno de $\sigma_{\hat p}$ en $\tilde \sigma_{\hat p}$ mediante una curva tangente a $C^s$ contenida en $\hat W^{cs}_p$. Ahora tomamos $\eta$ suficientemente chico\footnote{Claramente $\eta$ se puede considerar independiente del punto peri\'odico. Tiene que ver solamente con la continuidad uniforme de $f$.} para que $\forall z \in B_{\eta}(\sigma_{\hat p})$ se cumpla que $\forall 0\leq k \leq N$ se cumpla $f^k(z) \in U(\hat f^k(\hat p))$. Como eso implica que ahora toda la \'orbita de $z$ esta contenida en los entornos de $\sigma_{\mathcal O(\hat p)}$ tenemos que el omega l\'imite de todo punto en $B_{\eta}(\sigma_{\hat p})$ esta contenido en la \'orbita de $\gamma_{\hat p}$ que como su din\'amica es Morse-Smale permite concluir el Lema (la segunda parte basta intersectar $B_\eta(\sigma_{\hat p})$ con la componente conexa de $\hat W^{cs}_p \backslash W^{ss}_{loc}(P_{\hat p})$ que no contiene a $\gamma_{\hat p}$). \lqqd Con esto podemos concluir que $E^u$ necesariamente es no trivial ya que en caso contrario tendriamos infinitos pozos $P_{\hat p_n}$ ($f$ es Kupka-Smale) con variedad estable de tama\~no uniforme. Probamos entonces: \begin{cor}\label{euunotrivial} El fibrado $E^u$ no es trivial. \end{cor} Ahora estamos en condiciones de concluir la prueba del Teorema \ref{teoB}, como mencionamos vamos a separarla en dos casos, uno en el cual $E^c$ tiene una orientaci\'on preservada por $Df$ y uno en el caso contrario, probando en estos casos que se puede perturbar arbitrariamente poco $f$ para conseguir un corte transversal concluimos el Teorema \ref{teoB}. \subsection{El caso no-orientable} En este caso no va a ser necesario perturbar la $f$, conseguiremos directamente un corte homocl\'inico transversal. Como tenemos para todo punto peri\'odico dos curvitas $\gamma$ como en la secci\'on anterior, de hecho, sean $p_+$ y $p_-$ en $\hat K_0$ tal que $\pi(p_+)=\pi(p_-)=p$ (vimos que este era el caso cuando el fibrado $E^c$ no era orientable). Definimos $\Gamma_p = \gamma_{p_+}\cup \gamma_{p_-}$. \begin{lema}\label{lemaboludo} Sean $p,q$ dos puntos peri\'odicos en $K_0$ suficientemente cercanos. Entonces, se cumple que $W^{uu}_{loc}(y)$ corta transversalmente la variedad estable local de algun punto peri\'odico de $\Gamma_p$ para todo $y\in \Gamma_q$. \end{lema} \dem{} Esto es consecuencia directa del Lema \ref{tamaniouniformedeunlado}. Por estar cerca, se cumple que $W^{uu}_{loc}(q)$ corta a $W^{cs}_{loc}(p)$. Ademas, se puede ver que eligiendo razonablemente la banda $S$, los puntos $y\in \Gamma_q$ estan suficientemente cerca de $q$ y por lo tanto tienen la misma propiedad. Como la banda tiene que ser razonablemente prolija se cumple que $\gamma_{q} \en B_{\eta}(\sigma_p)$ si $p$ y $q$ est\'an suficientemente cerca. Por lo tanto, aplicando el Lema \ref{tamaniouniformedeunlado} concluimos la prueba. \lqqd Ahora podemos concluir la prueba utilizando este resultado. Primero, como $K_0$ tiene infinitas \'orbitas peri\'odicas y $f$ es Kupka-Smale obtenemos que estas \'orbitas tiene que tener per\'iodos no acotados. Y como la variedad es compacta, van a haber puntos peri\'odicos $p$ tal que para cierto $n\geq 0$ se va a cumplir que $f^n(p)\neq p$ pero esten cerca como para que valga el Lema \ref{lemaboludo}. Consideramos entonces $\Gamma_p$ y $\Gamma_{f^n(p)}$. Sea $\Upsilon=\{q_i, f^{n}(q_i)\}_{q_i \in Per(f_{/\Gamma_p})}$ el conjunto de puntos peri\'odicos en $\Gamma_p \cup \Gamma_{f^n(p)}$. Decimos que si $r,s \in \Upsilon$ se cumple que $r\geq s$ si se cumple que $W^{u}(r)\trans W^s(s) \neq \emptyset$. Por el $\lambda-$lemma (argumento cl\'asico) la relaci\'on esta es un orden parcial, y como $\Upsilon$ es un conjunto finito ($f$ es Kupka-Smale) se cumple que hay un elemento minimal. Se cumple por el Lema \ref{lemaboludo} que todo punto peri\'odico es mayor que alguno, por lo tanto este punto minimal es mayor que alguno y menor o igual al mismo tiempo. Es decir, si $p\in \Upsilon$ es minimal, existe $q \in \Upsilon$ tal que $p\geq q$ y por la minimalidad $q\geq p$ y por lo tanto estan homocl\'inicamente relacionados y obtuvimos que $f\in I$. \subsection{El caso orientable} La primera observaci\'on tiene que ver con entender porque este caso es diferente al anterior. Lo primero que hay que decir es que ahora hay 2 modelos centrales diferentes (uno de cada lado) y nada nos asegura que tener una banda atractora para uno implique una banda atractora para el otro (de hecho, si ese fuese el caso, la misma prueba que en el caso no orientable camina). El problema que puede aparecer aca es algo que resulta bastante patol\'ogico y ya aparecia en el trabajo \cite{BGW} (la soluci\'on tambi\'en). Como me embola hacer dibujos, va a ser bastante dif\'icil explicar esto!!!. Voy a tratar de motivar cual es la posible patolog\'ia que podr\'ia estar ocurriendo que hace que no necesariamente tengamos que $f\in \In$ y tengamos que probar que $f \in \cla \In$. Uno considera los puntos peri\'odicos $P_{\hat p_n}$ que tiene periodos arbitrariamente largos y llega un momento donde los puntos tienen retornos cercanos (i.e. $n>0$ tal que $f^n(P_{\hat p_n})\neq P_{\hat p_n}$ pero estan cerca). Uno podr\'ia pensar entonces que como estos puntos tienen semibolas estables de tama\~no uniforme en la variedad centro estable y estando suficientemente cerca las inestables van a cortar la centro estable deber\'ia ocurrir que alguno de los dos puntos verifique que la inestable corte a la estable del otro. Como estan en la misma \'orbita eso da que $f\in \In$. Esto es bastante razonable, pues por ejemplo si tomamos un peque\~no entorno donde los fibrados $E^s$, $E^c$ y $E^u$ son practicamente triviales. Orientamos $E^c$ y por ejemplo tenemos que las semibolas estables son en la direcci\'on positiva de $E^c$ entonces ser\'ia razonable que el punto peri\'odico que este mas ``arriba'' en la direcci\'on $E^c$ su inestable corte la semibola estable del otro. Sin embargo, es posible que (recordar que en general el fibrado $E^s$ y el $E^u$ no se integran simultaneamente) no exista la nocion de arriba o abajo en relaci\'on a $E^c$, o dicho de otra forma, que exista, pero que ambos puntos esten uno abajo del otro. Si llega a ocurrir que para todos los puntos peri\'odicos, los retornos tienen esta propiedad ``patol\'ogica'' (no es patologico que pase para 1 pto peri\'odico, pero para todos!) diremos que el conjunto $K_0$ tiene \emph{retornos torcidos}. Este es el unico caso que resta estudiar, y lo haremos como fue hecho en \cite{BGW} (seccion 6). De hecho comentaremos la idea nada m\'as (pues es simple, creible y de prueba larga). La idea es que si eso ocurre se puede crear una intersecci\'on homocl\'inica por una peque\~na perturbaci\'on. Esto se basa en realizar unos calculos no muy complejos que tienen que ver con la trivializaci\'on de los fibrados localmente que permiten probar que la distancia entre las variedades estables fuertes e inestables fuertes de los retornos de esos puntos peri\'odicos es muy peque\~na con respecto a la distancia entre los puntos peri\'odicos. Esto permite, mediante una perturbaci\'on local (de un solo paso, no es necesario usar ni el Connecting Lemma de Hayashi, ni nada por el estilo, basta hacer una perturbaci\'on local) conectar la variedad estable fuerte y la inestable fuerte de ambos puntos peri\'odicos (esto lo voy a hacer con cuidado en el pizarr\'on). Esto concluye la prueba del Teorema. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{thebibliography}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %\bibitem[ABCDW]{ABCDW} F.Abdenur , C. Bonatti, S. Crovisier , L.Diaz and L.Wen, Periodic points and homoclinic classes. \emph{Ergodic Theory Dynam. Systems} {\bf 27} (2007), 1-22. \bibitem[ABC]{ABC} F. Abdenur, C. Bonatti and S.Crovisier, Nonuniform hyperbolicity for $C^1$ generic diffeomorphisms \emph{Preprint ArXiv} (2008) DS/ 08093309 \bibitem[BC]{BC} C. Bonatti and S. Crovisier, Recurrence et Generite, \emph{Inventiones Math.} {\bf 158} (2004), 33--104. \bibitem[BDP]{BDP} C.Bonatti, L.Diaz and E. 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