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\author[R. Potrie]{Rafael Potrie}
\address{CMAT, Facultad de Ciencias, Universidad de la Rep\'ublica, Uruguay}
\email{rpotrie@cmat.edu.uy}

\title{Prueba elemental del Teorema de Invariancia de la Dimension}
%\author{Donnie Darko}
%\thanks{rpotrie@cmat.edu.uy; Primera versi\'on, sin corregir. 05-2009.}


\begin{document}

\maketitle


\begin{abstract}
La idea es dar una prueba ``elemental" del Teorema de invariancia de la dimension que afirma que si $U\en \R^n$ es un abierto homeomorfo a un abierto $V\en \R^m$ entonces $n=m$. Por elemental nos referimos a que se puede entender sabiendo C\'alculo Diferencial en varias variables (preferiblemente tambi\'en topolog\'ia, aunque creo que se puede sin ella y en lo posible tambi\'en c\'alculo en superficies o variedades, alcanza la esfera)\footnote{Alcanza con haber terminado primero de la Licenciatura en Uruguay y haber cursado un par de meses de Topolog\'ia y C\'alculo 3.}. Obvio que cuanto mas se sepa mejor, y la idea es dar una prueba medianamente directa y incluir en los ap\'endices pruebas a los resultados utilizados.
\end{abstract}

\tableofcontents
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\section{Introducci\'on}

Usualmente en los cursos b\'asicos, generalmente luego de definir el diferencial de una funci\'on diferenciable, se ve como corolario que $\R^n$ y $\R^m$ no son difeomorfos si $n\neq m$. Lo mismo se puede ver para abiertos de estos espacios. Esto se debe a que si se tiene un difeomorfismo entre estos espacios, entonces el diferencial tiene que ser un isomorfismo y por lo tanto basta probar el resultado para transformaciones lineales lo cual es bastante trivial.

Tambi\'en usualmente, se nos dice que demostrar el teorema an\'alogo para homeomorfismos es ``mucho'' m\'as dif\'icil. Sin duda la frase tiene algo de raz\'on, ya que no contamos para mostrar este teorema con el apoyo de el \'algebra lineal, pero creo que muchas veces se exagera en ello, espero con esta nota eliminar en otros el posible ``miedo'' a este teorema (miedo que me aquej\'o durante mucho tiempo a mi!).

El enunciado del teorema es entonces el siguiente:

\begin{teo} Sea $U$ abierto de $\R^n$ y $V$ abierto de $\R^m$ tal que $U$ y $V$ son homeomorfos\footnote{Solo por maniatico que soy, dudo que alguien que no entienda esta palabra lea la nota, pero va, dos espacios son \emph{homeomorfos} si existe una funci\'on continua, biyectiva y con inversa continua de uno al otro, a dichas funciones les llamamos \emph{homeomorfismos}.}. Entonces, $n=m$.
\end{teo}

Vamos a probar el teorema a fondo en el caso que $U$ y $V$ son $\R^n$ y $\R^m$ respectivamente. Daremos despues unas indicaciones de como se prueba el caso general, pero las ideas estan en el caso que veremos.

Por lo pronto, yo conozco dos ataques escencialmente diferentes a la prueba de este teorema. Ambos tienen un factor comun, su prueba consiste en encontrar un invariante topologico (algo que se preserva por homeomorfismos) que sea diferente para abiertos de $\R^n$ y $\R^m$ si $n\neq m$. Uno de estos invariantes es la dimensi\'on topol\'ogica el otro, tiene que ver con propiedades algebraicas que se preservan por homotopias (cosa que definiremos m\'as adelante). La prueba que eleg\'i escribir tiene que ver con el segundo enfoque, pero no es la que yo m\'as conozco (que utiliza un invariante llamado \emph{homolog\'ia}), esta se basar\'a en lo que se llama \emph{tipo de homotop\'ia}.

Me parece interesante mencionar una prueba de un resultado intermedio entre el diferenciable y el meramente continuo que es el caso Lipchitz (si el lector no sabe que es, siga a la siguiente secci\'on, lo que sigue no ser\'a utilizado) en el cual la dimensi\'on de Hausdorff es un invariante que permite distinguir $\R^n$ de $\R^m$ en esta categor\'ia. Agradezco a Pablito Lessa por esta observaci\'on que considero muy interesante.


\section{La demostraci\'on m\'odulo algunos resultados}

\subsection{Estrategia de la prueba}

Primero pensemos en un caso m\'as f\'acil: Supongamos que hay un homeomorfismo $h:\R \to \R^n$.

Sea $\hat h= h|_{\R-\{0\}} : \R-\{0\} \to \R^n-\{h(0)\}$, que tambi\'en ser\'a un homeomorfismo evidentemente. El problema aqu\'i es que si tenemos un homeomorfismo entre dos espacios y uno de ellos no es conexo, el otro tampoco puede serlo, y no es dificil de ver que si $n>1$ al quitarle un punto a $\R^n$ no rompemos su conexidad. Esto prueba que $n=1$.

La estrategia no va a ser diferente a esto. Vamos a considerar un homeomorfismo $h: \R^n \to \R^m$ y considerar el homeomorfismo $\hat h= h|_{\R^n-\{0\}} : \R^n-\{0\} \to \R^m-\{h(0)\}$. En este caso la conexi\'on no nos dir\'a nada, pero vamos a buscar otro invariante que nos permita ver que $n=m$.

Para alg\'un lector es posible que en el caso $n=2$ la conexi\'on simple le permita hacer la misma prueba que hicimos en este caso. Al sacar un punto a $\R^2$ este deja de ser simplemente conexo pero esto no pasa si $n>2$. Pero dudo que alguien que no sepa la prueba del teorema que vamos a demostrar pueda llenar todos los detalles necesarios en la demostraci\'on de este caso (que escencialmente incluye todas las ideas). Nosotros lo haremos en estas notas.

La idea es la siguiente, si le sacamos el $0$ a $\R^n$, y ponemos una esfera de dimensi\'on $n-1$ alrededor de este punto (por ejemplo, la esfera $S^{n-1}=\{x\in \R^n \ : \ \|x\|=1\}$) entonces no la vamos a poder deformar\footnote{Estas cosas las vamos a presentar formalmente.} a un punto en este espacio. Cosa que si podremos hacer si consideramos una esfera de dimensi\'on menor. En el caso $n=1$ esto se ve claro, una esfera de dimensi\'on $0$ es tomar dos puntos, uno de cada lado del cero, en $\R-\{0\}$ no podemos mover los puntos a un mismo punto (pues estan en componentes conexas diferentes) pero en dimensi\'on mayor basta tomar una curva que los una y mover uno hacia al otro hasta colapsarlos.

Ya hablamos de la estrategia y de la idea. Ahora voy a comentar brevemente las t\'ecnicas que vamos a utilizar. Primero vamos a tener que presentar la homotop\'ia, que es la manera de formalizar las ``deformaciones''. Despu\'es veremos que podemos demostrar sin mucha dificultad los teoremas para mapas diferenciables y por \'ultimo veremos como aproximar mapas continuos por mapas diferenciables.

Vale la pena observar que el hecho de que los mapas diferenciables aproximan a los continuos no alcanza para probar el teorema con un argumento del estilo: ``Si tengo un homeomorfismo entre $\R^n$ y $\R^m$, lo aproximo por un difeomorfismo y aplico el teorema en este caso y por lo tanto $n=m$'' lo cual resulta muy tentador. El problema es que aproximar funciones continuas por diferenciables no es muy dificil, pero no es para nada claro que una funcion diferenciable que aproxime un homeomorfismo tenga que ser un difeomorfismo!!.

Me interesa hacer una aclaraci\'on. Por un lado, estamos intentando probar un teorema que resulta muy intuitivo, ya sea por la imagen mental que tenemos de los espacios $\R^n$ asi por el resultado an\'alogo para difeomorfismos. Esto a mi gusto amerita ser muy cuidadoso en las cosas que uno se ``cree'' y es por eso que quiero dar una prueba completa.

\subsection{Homotop\'ia}

Dadas dos funciones continuas $f,g: X \to Y$ (si se desea se puede suponer que $X$ e $Y$ son subespacios de algun $\R^k$), decimos que son \emph{homot\'opicas} (y lo denotamos como $f\sim g$) si existe una funci\'on continua $H: X\times [0,1] \to Y$ de forma tal que $H(x,0)= f(x)$ $\forall x\in X$ y $H(x,1)=g(x)$ $\forall x \in X$.

Esta relaci\'on formaliza lo que pensamos por ``deformar continuamente'' una funci\'on en la otra.

No es dif\'icil ver que es una relaci\'on de equivalencia:

\begin{itemize}
\item Para ver que $f\sim f$ consideramos $H(x,t)=f(x)$ $\forall x,t$.
\item Para ver que $f\sim g$ si y solo si $g\sim f$ consideramos $H(x,t)$ dada por $f\sim g$ y construimos $\hat H(x,t)=H(x, 1-t)$ que nos da $g\sim f$. El reciproco es simetrico.
\item Para ver que $f\sim g$ y $g\sim h$ implica $f\sim h$ utilizamos $H(x,t)$ dada por $f\sim g$ y $G(x,t)$ dada por $g\sim h$ para definir $K(x,t)= H(x,2t)$ si $t\in [0,1/2]$ y $K(x,t)=G(x,2t-1)$ si $t \in [1/2,1]$. Es un ejercicio ver que $K$ es continua y nos da $f\sim h$.
\end{itemize}

Decimos que una funci\'on continua $f: X\to Y$ es \emph{homotopica a una constante} si existe una funci\'on constante $g$ (es decir $g(x)=y_0$ para todo $x\in X$) tal que $f\sim g$.

\subsection{Demostraci\'on del Teorema}

Vamos a utilizar los siguientes dos Teoremas que demostraremos m\'as adelante:

\begin{teo}\label{teo1} Si $n<m$ entonces cualquier funci\'on continua $f: S^{n-1} \to \R^m -\{0\}$ es homot\'opica a una constante.
\end{teo}

\begin{teo}\label{teo2} La funci\'on $f: S^{n-1} \to \R^n-\{0\}$ dada por $f(x)=x$ no es homot\'opica a una constante\footnote{Estamos pensando $S^{n-1}$ como subconjunto de $\R^n$ con lo cual esta bien definida la funci\'on $f$.}.
\end{teo}

\dem{del Teorema principal aceptando los teoremas de arriba} Ahora suponemos que tenemos un homeomorfismo $h:\R^n \to \R^m$. Sin p\'erdida de generalidad podemos asumir que $h(0)=0$ (componemos con una translaci\'on por ejemplo). Tenemos entonces definido un homeomorfismo $\hat h: \R^n-\{0\} \to \R^m-\{0\}$.

Supongamos por absurdo que $n<m$ (esto es suficiente pues $h$ es un homeomorfismo entonces basta tomar el inverso para tener esta situaci\'on).

Consideramos el mapa $f : S^{n-1} \to \R^n-\{0\}$ dado por $f(x)=x$ que sabemos no es homotopico a una constante por el Teorema \ref{teo2}. Ahora consideramos el mapa $g=\hat h \circ f : S^{n-1} \to \R^m-\{0\}$ que sabemos es homotopico a una constante por el Teorema \ref{teo1}.

Sea entonces $H: S^{n-1} \times [0,1] \to \R^m-\{0\}$ tal que $H(x,0)=g(x)$ y $H(x,1)=x_0$, la homotopia entre $g$ y una constante. Definimos ahora $G: S^{n-1} \times [0,1] \to \R^n-\{0\}$ como $G(x,t)= \hat{h}^{-1}(H(x,t))$ que es una funcion continua y verifica que $G(x,0)=f(x)$ y $G(x,1)=\hat h^{-1}(x_0)$ lo cual es absurdo pues $f$ no era homotopica a una constante. Esto prueba el teorema a menos de los dos teoremas que aceptamos. \lqqd

\subsection{Demostraci\'on del Teorema \ref{teo1}}

Sea $f: S^{n-1} \to \R^m -\{0\}$ una funci\'on continua. A partir de ella podemos construir una funci\'on $g: S^{n-1} \to S^{m-1}$ definida como $g(x) = \frac{f(x)}{\|f(x)\|}$ que est\'a bien definida y es continua gracias a que $f(x)\neq 0$ para cualquier $x$.

Basta ver que $g$ es homot\'opica a una constante ya que $f\sim g$ por medio de la homotop\'ia $H(x,t)=\frac{f(x)}{(1-t)\|f(x)\|}$ (es trivial verificar que $H$ es continua y realiza $f\sim g$).

Observamos que si $g$ no es sobreyectiva alcanza para probar el Teorema, para eso utilizaremos el siguiente Lema muy sencillo que nos ser\'a \'util, en el enunciado agregaremos una observaci\'on que reci\'en utilizaremos en la prueba del Teorema \ref{teo2}:

\begin{lema}\label{homotopia} Sean $a,b: X \to S^k$ funciones continuas. Si $a(x)\neq -b(x)$ para todo $x\in X$, entonces $a\sim b$. Adem\'as, si $a,b$ son diferenciables, la homotopia se puede considerar diferenciable.
\end{lema}

\dem{} Consideramos la homotopia 

$$ H(x,t)= \frac{ta(x) - (1-t)b(x)}{\|ta(x) - (1-t)b(x) \|} $$

\noindent que es una homotopia que nos lleva de $a$ a $b$ y es tan regular como la menos regular entre $a$ y $b$ (observar que el denominador no se anula por hipotesis).

\lqqd

A partir de este lema, observamos que si $g$ no es sobreyectiva, entonces, siendo $x_0$ un punto que no pertenece a su im\'agen, tenemos que la funci\'on constante $a(x)=-x_0$ verifica el lema y $g\sim a$.

La prueba finaliza observando que podemos conseguir $h$ homot\'opica a $g$ que no sea sobreyectiva\footnote{Esto puede parecer evidente a priori, ya que la dimensi\'on de $S^{n-1}$ es menor a la de $S^{m-1}$. Sin embargo, hay funciones continuas de $S^{n-1}$ en $S^{m-1}$ que son sobreyectivas!. De $S^1$ a $S^2$ se puede hacer un ejemplo no muy dificil conociendo la curva de Peano.}. Esto se puede hacer sin mucha dificultad a mano. Sin embargo vamos a utilizar el siguiente lema de aproximaci\'on, tambi\'en ``elemental'', que probaremos en la siguiente secci\'on y tambi\'en nos servir\'a para probar el Teorema \ref{teo2}.

\begin{lema}\label{aproximacion} Sea $a: M \to \R^m$ una funci\'on continua donde $M$ es una variedad compacta. Entonces, dado $\eps>0$ existe una funci\'on de clase $C^1$, $b$, tal que $\|b(x)-a(x)\|<\eps$ para todo $x\in U$.
\end{lema}

Utilizando metodos clasicos del tipo particiones de la unidad se puede hacer que este lema valga tambi\'en para funciones que van a variedades\footnote{Basta que valga para funciones a la esfera para nuestros propositos. En este caso se puede adaptar de la siguiente manera, si tenemos un mapa de $M$ en $S^n \en \R^{n+1}$ y la aproximamos por una funci\'on $C^r$ cercana, podemos luego proyectarla en la esfera sin perder diferenciabilidad y obtener lo deseado.}, y por lo tanto tenemos que existe $\hat g:  S^{n-1} \to S^{m-1}$ de clase $C^1$ tal que $\|g(x)-\hat g(x)\|<\eps$. Habiendo elegido $\eps$ peque\~no, estamos en las hipotesis del lema \ref{homotopia} y por lo tanto $g\sim \hat g$. Es f\'acil ver que una funci\'on de clase $C^1$ no puede ser sobreyectiva de $S^{n-1}$ a $S^{m-1}$ siendo $n<m$ con lo cual $\hat g$ es homot\'opica a una constante y terminamos la prueba.

Por las dudas dejamos este lema elemental para la seccion de prerequisitos\footnote{El lector familiarizado con la dimensi\'on de Hausdorff podr\'a f\'acilmente deducir este lema ya que una funci\'on $C^1$ no puede aumentar la dimensi\'on de Hausdorff.}:

\begin{lema}\label{sobreyectividad} Una funci\'on $C^1$ de $S^{n-1}$ en $S^{m-1}$ con $n<m$ no puede ser sobreyectiva.
\end{lema}

\subsection{Demostraci\'on del Teorema \ref{teo2}}

Utilizaremos para probar esto el siguiente resultado clasico de Topolog\'ia diferencial. Para probarlo (cosa que haremos en la secci\'on siguiente) se utiliza un concepto llamado grado m\'odulo dos de un mapa diferenciable y posiblemente es lo m\'as avanzado en cuanto a teor\'ia que estamos utilizando en esta prueba. El resultado dice que no existe una homotopia entre la identidad y una constante en la esfera, lamentablemente las tecnicas que utiliza son diferenciables y por lo tanto vamos a tener que utilizar el lema \ref{aproximacion} para poder aplicarlo.

\begin{lema}\label{gradomod2} No existe un mapa $H: S^n \times [0,1] \to S^n$ diferenciable verificando $H(x,0)=x$ y $H(x,1)=x_0$.
\end{lema}

Utilizando esto, veremos que si existe una homotop\'ia entre $f: S^{n-1} \to \R^n-\{0\}$ tal que $f(x)=x$ y una funci\'on constante, esta nos permitir\'a realizar una homotop\'ia diferenciable que contradiga el lema \ref{gradomod2}.

Sea entonces $F: S^{n-1} \times[0,1] \to \R^n-\{0\}$ tal que $F(x,0)=f(x)$ y $F(x,1)=x_0$. Como $F$ nunca se anula, podemos definir la siguiente homotopia, ahora a la esfera mismo, $\hat F : S^{n-1} \times[0,1] \to S^{n-1}$ es tal que $\hat F (x,t)= \frac{F(x,t)}{\|F(x,t)\|}$. Claramente, $\hat F$ es una homotopia entre $f$ y una constante tambi\'en, solo que esta tiene como codominio la esfera solamente.

Aplicando el lema \ref{aproximacion} a $\hat F$ podemos aproximar $\hat F$ por una funcion diferenciable $G: S^{n-1} \times[0,1] \to S^{n-1}$ tal que $\|G(x,t) - \hat F(x,t)\|< \eps$ para todo $(x,t)$.

Utilizamos ahora el lema \ref{homotopia} que nos permite ver tanto que existe una homotopia diferenciable entre $G(\cdot,0)$ y la identidad de la esfera asi como una homotopia diferenciable entre $G(\cdot, 1)$ y la funci\'on constante. La concatenaci\'on de esas tres homotopias ser\'a una homotop\'ia entre la identidad y la constante en la esfera que salvo en los puntos donde las ``pegamos'' ser\'a diferenciable\footnote{Es muy facil probar que concatenar las homotopias queda continuo, pero no necesariamente concatenando homotopias diferenciables queda diferenciable}. De todas maneras, esto se soluciona con el siguiente sencillo lema  (de Topologia diferencial) que dice:

\begin{lema}\label{homotopiadif} La homotopia diferenciable es una relaci\'on de equivalencia entre funciones diferenciables.
\end{lema}

\dem{}Tenemos $H(x,t)$ y $G(x,t)$ dos homotopias diferenciables de forma tal que $H(x,1)=G(x,0)$ $\forall x$. Basta entonces definir el mapa 

\[ L(x,t) =\left \{\begin{array}{cc}
                     H(x,\alpha(t)) & t\in[0,1/2] \\
                     G(x,\beta(t)) & t\in[1/2,1] 
                   \end{array} \right. \]
                   
Donde $\alpha(t)$ es una funci\'on diferenciable tal que $\alpha(0)=0$, $\alpha(1/2)=1$ y $\alpha'(1/2)=0$ y $\beta(t)$ es una funcion diferenciable tal que $\beta(0)=1/2$, $\beta(1)=1$ y $\beta'(1/2)=0$. La existencia de estas funciones se puede ver con argumentos similares a los de la secci\'on \ref{aprox}. De hecho, se pueden considerar $C^\infty$. 

\lqqd                  

Esto concluye el Teorema \ref{teo2}.

\lqqd

\section{Demostraci\'on de los resultados elementales utilizados}

\subsection{Aproximacion de funciones continuas por funciones diferenciables}\label{aprox}

El objetivo de esta secci\'on es probar el Lema \ref{aproximacion}. 

Lo primero que hay que ver es que existe una funci\'on $\varphi: \R^+ \cup \{0\} \to [0,1]$ de clase $C^\infty$ verificando las siguientes propiedades:

\begin{itemize} 
\item $\varphi(x) = 1$ para todo $x\in [0,1/2]$.
\item $\varphi(x)>0$ para todo $x\in [0,1)$.
\item $\varphi(x)=0$ para todo $x\geq 1$.
\end{itemize}

Esto es sencillo, consideramos primero la funci\'on $\psi(x)= e^{-\frac{1}{x^2}}$ para $x>0$ y $0$ para $x\leq 0$ que es una funci\'on de clase $C^\infty$. Ahora, consideramos la funci\'on 

\[ \varphi(x) = \frac{ \int_x^1 \psi(t-1/2) \psi(1-t) dt}{\int_{1/2}^1 \psi (t-1/2)\psi(1-t) dt} \]

\noindent que no es dificil verificar cumple las propiedades deseadas.

Ahora, dada una funci\'on $a: M \to \R^n$ continua que queremos $\eps$ aproximar por una funci\'on diferenciable, con $M$ compacta, consideramos por la continuidad uniforme $\delta$ de forma tal que $d(x,y)<2\delta$ implique $\|a(x)-a(y)\|<\eps/2$. 

Consideramos entonces un conjunto finito $x_1,\ldots, x_k \in M$ de forma tal que $\bigcup_{i=1}^k B(x_i,\delta) = M$. Ahora consideramos las funciones $\tilde{\lambda}_i (y) = \varphi(\delta d(y,x_i))$ que extendemos como $0$ fuera de $B(x_i,\delta)$. 

Ahora definimos las funcion $\lambda(y)= \sum_{i=1}^k \tilde \lambda_i(y)$ que es una funci\'on que no se anula en ningun punto de $M$. Llamamos $\lambda_i(y) = \tilde \lambda_i(y) / \lambda(y)$. Se verifica que $\lambda_i(y) \in [0,1]$ $\forall y \in M$ y que $\sum_{i=1}^k \lambda_i(y)=1$ para cualquier $y \in M$. 

La funci\'on $b: M \to \R^n$ definida como $b(y)= \sum_{i=1}^k \lambda_i(y) a(x_i)$ verifica que es de clase $C^\infty$ y adem\'as $\|a(x)-b(x)\|<\eps$ para todo $x\in M$. 

\subsection{No sobreyectividad de mapas diferenciables a variedades de dimensi\'on mayor}

La idea es probar el Lema \ref{sobreyectividad}. Es claro que alcanza con probarlo localmente es decir, probar que un mapa $C^1$ de un abierto de $\R^n$ en $\R^m$ con $n<m$ no puede tener un abierto en su imagen. 

Mientras pienso una prueba que me agrade, dirijo al lector al libro de Milnor "Topology, from the differentiable viewpoint" Capitulo 3. Alli mismo Milnor menciona que el caso que nos interesa es m\'as sencillo de probar, voy a pensar una prueba, pero de mientras dejo la referencia. 


\subsection{No existencia de homotopias entre la identidad y una constante}

En esta secci\'on buscaremos probar el Lema \ref{gradomod2}. Por ahora, tambi\'en mientras busco una prueba mejor, me parece que no hay mejor que referenciar al libro de Milnor. Este resultado esta probado en el cap\'itulo 4 de dicho libro. Espero pronto escribir una prueba en esta secci\'on pues si bien no creo poder mejorar la prueba del libro mencionado (muy recomendable!!) este lema es la escencia de la prueba del Teorema que estamos probando. Esto se debe a que es el unico lugar donde se utiliza un invariante topologico, en este caso, topologico diferencial. 

\section{Extensi\'on a abiertos cualesquiera}
Voy a hacer unos breves comentarios de como extender la prueba al caso general. Simplemente hay que tener un par de peque\~nos cuidados.

Supongamos que tenemos un homeomorfismo $h$ de $U\en \R^n$ en $V \en \R^m$ con $n<m$.

Sean $\eps, \delta$ de forma tal que $B(x,\eps) \en U$ y $B(h(x), \delta)\en V$ y se cumple que  $h(B(x,\eps)) \en B(h(x),\delta)$.

Ahora, aplicamos la misma prueba que arriba cambiando la esfera usual por el borde de la bola $B(x,\eps)$ y asumiendo que $n<m$ llegaremos al mismo absurdo.



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%\begin{thebibliography}{1}
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%\end{thebibliography}


\end{document}