\documentclass[a4paper,11pt]{amsart} %Tamaños \linespread{1.1} \oddsidemargin=-0cm \evensidemargin=-0cm \topmargin=-1cm \textwidth=16cm \textheight=25cm \usepackage{amssymb,amscd,amsthm,mathrsfs} \usepackage{epsfig,graphicx,psfrag,mathrsfs} \usepackage[varg]{pxfonts} %Otras fuentes de letra \usepackage[dvips]{color} \usepackage[spanish]{babel} \usepackage[ansinew]{inputenc} \usepackage[centertags]{amsmath} %Letras \newcommand{\N}{\mbox{$\mathbb{N}$}} \newcommand{\Z}{\mbox{$\mathbb{Z}$}} \newcommand{\C}{\mbox{$\mathcal{C}$}} \newcommand{\R}{\mbox{$\mathbb{R}$}} \newcommand{\Res}{\mbox{$\mathcal{R}$}} \newcommand{\T}{\mbox{$\mathbb{T}$}} \newcommand{\U}{\mathcal{U}} \def\AA{{\mathbb A}} \def\BB{{\mathbb B}} \def\CC{{\mathbb C}} \def\DD{{\mathbb D}} \def\EE{{\mathbb E}} \def\FF{{\mathbb F}} \def\GG{{\mathbb G}} \def\HH{{\mathbb H}} \def\II{{\mathbb I}} \def\JJ{{\mathbb J}} \def\KK{{\mathbb K}} \def\LL{{\mathbb L}} \def\MM{{\mathbb M}} \def\NN{{\mathbb N}} \def\OO{{\mathbb O}} \def\PP{{\mathbb P}} \def\QQ{{\mathbb Q}} \def\RR{{\mathbb R}} \def\SS{{\mathbb S}} \def\TT{{\mathbb T}} \def\UU{{\mathbb U}} \def\VV{{\mathbb V}} \def\WW{{\mathbb W}} \def\XX{{\mathbb X}} \def\YY{{\mathbb Y}} \def\ZZ{{\mathbb Z}} \def\cA{\mathcal{A}} \def\cG{\mathcal{G}} \def\cM{\mathcal{M}} \def\cS{\mathcal{S}} \def\cB{\mathcal{B}} \def\cH{\mathcal{H}} \def\cN{\mathcal{N}} \def\cT{\mathcal{T}} \def\cC{\mathcal{C}} \def\cI{\mathcal{I}} \def\cO{\mathcal{O}} \def\cU{\mathcal{U}} \def\cD{\mathcal{D}} \def\cJ{\mathcal{J}} \def\cP{\mathcal{P}} \def\cV{\mathcal{V}} \def\cE{\mathcal{E}} \def\cK{\mathcal{K}} \def\cQ{\mathcal{Q}} \def\cW{\mathcal{W}} \def\cF{\mathcal{F}} \def\cL{\mathcal{L}} \def\cR{\mathcal{R}} \def\cX{\mathcal{X}} \def\cY{\mathcal{Y}} \def\cZ{\mathcal{Z}} %Teoremas \newtheorem*{teo*}{Teorema} \newtheorem*{mainteo}{Teorema principal} \newtheorem*{teoA}{Teorema A} \newtheorem*{teoB}{Teorema B} \newtheorem{teo}{Teorema}[section] \newtheorem{conj}{Conjetura} \newtheorem{quest}{Pregunta} \newtheorem{agreg}{Agregado} \newtheorem{afirm}{Afirmaci\'on} \newtheorem{cor}{Corolario}[section] %\newtheorem{af}[teo]{Afirmaci\"{\i}?`½n} \newtheorem{lema}{Lema}[section] \newtheorem{prop}{Proposici\'on}[section] \newtheorem{propied}{Propiedad} \newcommand{\bi}{\begin{itemize}} \newcommand{\ei}{\end{itemize}} \newcommand{\itm}[1]{\item [(#1)]} \theoremstyle{definition} \newtheorem{defi}{Definici\'on} \theoremstyle{remark} \newtheorem{obs}[]{Observaci\'on} \newtheorem{ej}[]{Ejemplo} %Pruebas y fin de pruebas \newcommand{\esbozo}{\vspace{.05in}{\sc\noindent Esbozo }} \newcommand{\demo}[1]{\vspace{.05in}{\sc\noindent Demostraci\'on #1.}} \newcommand{\dem}{\vspace{.05in}{\sc\noindent Demostraci\'on.}} \newcommand{\lqqd}{\par\hfill {$\Box$} \vspace*{.05in}} \newcommand{\finobs}{\par\hfill{$\diamondsuit$} \vspace*{.05in}} % Algunos comandos \newcommand{\cla}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\eps}{\varepsilon} \newcommand{\f}{\varphi} \newcommand{\sig}{\Sigma} \newcommand{\en}{\subset} \newcommand{\trans}{\mbox{$\,{ \top} \;\!\!\!\!\!\!\raisebox{-.3ex}{$\cap$}\,$}} \DeclareMathOperator{\Diff}{Diff} \DeclareMathOperator{\Tang}{Tang} \DeclareMathOperator{\diametro}{diam} \newcommand{\diff}[1]{\Diff^{#1}(M)} \author[R. Potrie]{Rafael Potrie} \address{CMAT, Facultad de Ciencias, Universidad de la Rep\'ublica, Uruguay} \email{rpotrie@cmat.edu.uy} \title{Closing Lemma Ergodico} \thanks{Notas informales. 1ero de Diciembre de 2009. Faltan Referencias abundantes.} \begin{document} \maketitle \begin{abstract} La idea es presentar una prueba del Ergodic Closing Lemma debida a Sylvain Crovisier (\cite{habilitationSylvain}). Es una prueba mucho m\'as simple que la original y tiene como \'unico prerequisito el Lema de Pugh de conexi\'on (que es prerequisito de todo lema de conexi\'on). La diferencia con \cite{habilitationSylvain} es el idioma. \end{abstract} \section{Introducci\'on} Vamos a probar el siguiente Teorema (Lema) debido a Ma\~ne que tiene diversas aplicaciones a la din\'amica gen\'erica. \begin{teo}\label{ErgodicClosingGenerico} Existe un conjunto residual $\cR \en \Diff^1(M)$ de forma tal que si $f\in \Res$ y $\mu$ es una medida erg\'odica para $f$, entonces $\mu$ es limite d\'ebil de medidas soportadas en orbitas peri\'odicas. \end{teo} Solo para dar un sabor de las aplicaciones de este Teorema, voy a dar un breve esbozo del siguiente Teorema debido a Ma\~ne que contiene, en grandes razgos, las ideas m\'as importantes del estudio actual de la din\'amica gen\'erica. \begin{teo} Existe un conjunto residual $\Res\en \Diff^1(M)$ donde $M$ es una superficie tal que si $f\in \Res$ entonces ocurre una de las siguientes dos posibilidades: \begin{itemize} \item[(i)] $f$ es Axioma A. \item[(ii)] $f$ posee infinitos pozos y/o fuentes. \end{itemize} \end{teo} Como consecuencias, este Teorema implica que si se toma un difeomorfismo gen\'erico de una superficie que es transitivo, entonces, es un difeomorfismo de Anosov en $\T^2$. Tambi\'en, muestra que para un difeomorfismo gen\'erico de superficies hay o bien atractores o bien repulsores hiperb\'olicos. \esbozo La funci\'on $\Psi: \Diff^1(M) \to \N \cup \infty$ que asocia a cada $f\in \Diff^1(M)$ la cantidad de pozos m\'as la cantidad de fuentes de $f$ es semicontinua inferiormente (los pozos y las fuentes son hiperb\'olicos, entonces, si se tiene $k$ pozos, un perturbado peque\~no tambi\'en lo tendr\'a). Entonces, existe un conjunto residual $\Res_1$ donde la funci\'on es localmente constante. Consideramos $\cT$ el conjunto de difeomorfismos en $\Res_1$ donde $\Psi(f)<\infty$. Basta probar que en $\tilde \cT =\cT \cap \Res \cap \Res_{Pugh} $ los difeomorfismos son Axioma A donde $\Res$ es el residual dado por el Teorema \ref{ErgodicClosingGenerico} y $\Res_{Pugh}$ es el conjunto residual donde los puntos peri\'odicos son densos en el conjunto no errante (esto es residual y se deduce del Closing Lemma que probaremos en el Ap\'endice 2). Tenemos entonces que si $f \in \tilde \cT$ entonces $\Omega(f) = \cP \cup \cF \cup \overline{Per_1(f)}$ donde $\cP$ son los finitos pozos de $f$, $\cF$ las finitas fuentes, y $Per_1(f)$ el conjunto de puntos peri\'odicos que no son pozos ni fuentes (como la cantidad de pozos y fuentes es constante en un entorno de $f$, podemos suponer que los puntos en $Per_1(f)$ son sillas hiperb\'olicas). La prueba ahora tiene dos etapas. La primera es ver que la descomposici\'on en estable-inestable de $Per_1(f)$ se extiende a su clausura. Para ello, hay que ver que si no fuese as\'i, mediante una peque\~na perturbaci\'on en la derivada de los puntos peri\'odicos (que se puede hacer din\'amicamente y ser\'a peque\~na por un c\'elebre Lemma de Franks que es muy sencillo) permite generar peque\~nos \'angulos entre el espacio estable e inestable de los puntos peri\'odicos. Al ser los \'angulos peque\~nos, otra peque\~na perturbaci\'on de la derivada permite crear un pozo o una fuente, lo cual es una contradicci\'on. La segunda etapa es utilizar el Teorema \ref{ErgodicClosingGenerico}. Llamemos $E\oplus F$ a la descomposici\'on en $\overline{Per_1(f)}$. Supongamos que $E$ no es uniformemente contraido. Esto implica que para todo $N>1$ se cumple que existe $x_N \in \overline{Per_1(f)}$ tal que $$ \| D_{x_N}f^j_{/E} \| \geq \frac 1 2 \qquad \forall 0\leq j \leq N $$ Tomando un punto l\'imite $y$, obtenemos un punto tal que $\|D_yf^n_{/E}\| \geq \frac 1 2$. Sea $\mu_n = \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} \delta_{f^i(y)}$ y sea $\mu$ un l\'imite d\'ebil de dichas medidas. Claramente $\mu$ es una medida invariante. Sabemos que $\int \log |Df_{/E}| d\mu_n = \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} \log |D_{f^i(y)}f_{/E}| \to c \geq 0$, con lo cual $\int \log |Df_{/E}| d\mu \geq 0$. Usando el Teorema de Krein Milman, o el de descomposici\'on erg\'odica, podemos asumir que $\mu$ es erg\'odica. Por tanto, como $f\in \Res$, tenemos orbitas peri\'odicas cuyo valor propio estable tiende a $1$, componiendo con una peque\~na homotecia, es f\'acil entonces construir nuevas fuentes y llegar a un absurdo. Un argumento an\'alogo nos da que $F$ es uniformemente expandido y prueba que $f$ es Axioma A. \lqqd \section{Lema de Pugh} En la topolog\'ia $C^0$, se verifica lo siguiente: Sea $f$ un homeomorfismo y $\U$ un entorno de $f$ en la topolog\'ia $C^0$. Entonces, existe $\eps>0$ de forma tal que si $U$ es un abierto conexo de diametro $<\eps$ se cumple que para cualquier $x,y\in U$ existe $g\in \U$ tal que $g(x)=f(y)$ y se verifica que $g=f$ en $U^c$. En general, para perturbar en la topolog\'ia $C^1$, es necesario dar un espacio alrededor de la perturbaci\'on. M\'as precisamente: \begin{lema}[Perturbaci\'on elemental]\label{pertelem} Sea $f\in \Diff^1(M)$ y $\U$ un entorno $C^1$ de $f$. Existe entonces $\theta>0$ tal que si $x,y \in B(z,r)$ con $r$ suficientemente peque\~no, entonces existe $g\in \U$ que envia $x$ en $f(y)$ y tal que $f=g$ fuera de $B(z, \theta r)$. \end{lema} Adem\'as de requerir un espacio, esta perturbaci\'on requiere una cierta geometr\'ia que no era necesaria en el caso $C^0$. Esto se debe, obviamente, a que ahora hay que cuidar el tama\~no de la derivada al moverse y es necesario para ello dar un ``espacio'' para perturbar. La particularidad de la topolog\'ia $C^1$ es que $\theta$ no depende de $r$ (siendo este peque\~no), en regularidad m\'as alta ($C^r$ con $r>1$) tenemos un resultado an\'alogo pero $\theta$ depende de $r$ y verifica que $\theta\to \infty$ cuando $r\to 0$. \demo{de la Perturbaci\'on elemental:} Como $r$ es peque\~no, podemos trabajar en $\R^d$. Suponemos tambi\'en que $x=-(r/2, 0)$ y $y= (r/2,0)$ en coordenadas $\R \times \R^{d-1}$. Sin perdida de generalidad podemos suponer que $f$ es la identidad (de hecho, en caso contrario, precompondriamos con un mapa $C^1$ cerca de la identidad que mande $x$ en $y$). Consideramos el campo constante $X_0$ en $\R^d=\R \times \R^{d-1}$ dado por $X_0(x)=(r,0)$ y consideramos el mapa $\varphi: \R^d \to \R$ tal que $0\leq \varphi(x) \leq 1$ y que verifica: $$ \varphi(x)= 1 \ \ \forall x\in B(0,r) \quad ; \quad \varphi(x)=0 \ \ \forall x \notin B(0,\theta r) \quad ; \quad \|\nabla \varphi\| < \frac{2}{(\theta -1)r} \ \forall x \in \R^d $$ Sea $h: \R^d \to \R^d$ dado por el tiempo $1$ de integrar el flujo del campo $X(x)=\varphi(x) X_0$. Es f\'acil ver que $$ \| h(x)-x \| \leq r $$ Al mismo tiempo $$ \| Dh(x) v - v \| < r \|\varphi(x)\| \|v\| \leq \frac{2 \|v\|}{(\theta-1)} $$ Por ende, podemos conseguir perturbaciones con soporte como el deseado. Ahora, veremos que no se pueden conseguir perturbaciones (cualitativamente) mejores. Supongamos que $h(x)=y$ y que $h=id$ fuera de $B(0,\theta r)$. Entonces, no es dif\'icil ver que $$ \|h - id\|_{C^0} \geq r \ \ y \ \ \|Dh - id\| \geq \frac{1}{(\theta-1)}$$ \lqqd Mismo con la ventaja mencionada en la topolog\'ia $C^1$ ($\theta$ no depende de $r$), existe un problema bastante grande que es que se cumple que $\theta\to \infty$ a medida que se achica $\U$, con lo cual se pierde r\'apidamente el control de la perturbaci\'on. La gran idea de Pugh fue de ``desparramar'' la perturbaci\'on en varios iterados y de esa manera obtener, por decirlo de alguna manera, $\theta$'s arbitrariamente cercanos a $1$ lo que nos deja ``no muy lejos'' del caso $C^0$. Vamos a definir la ``geometr\'ia'' en que trabajaremos que es dentro de todo la m\'as comoda: Los cubos. Su ventaja: los bordes se ``pegan'' muy bien. \begin{defi}[Cubos] Sea $\varphi: V\en M \to \R^d$ una carta de $M$. Llamamos \emph{cubo} de $\varphi$ a todo conjunto $C\en V$ tal que su imagen por $\varphi$ es una translaci\'on del cubo estandar $[-a,a]^d$. La cantidad $a$ es el \emph{radio} del cubo y su \emph{centro} es el vector de la translaci\'on efectuada. Dado un cubo $C\en V$, definimos $(1+\eps)C$ al cubo con el mismo centro y radio multiplicado por $(1+\eps)$. \end{defi} \begin{lema}[Lema de Pugh]\label{LemaPugh} Sea $\U$ entorno de $f$ en $\Diff^1(M)$ y $\eps>0$. Entonces, existe $N\geq 1$ y una familia de cartas $\varphi_i:V_i\to M$ con $\bigcup_i V_i =M$ que verifican lo siguiente: Para todo cubo $(1+\eps)C$ de $\varphi_i$ disjunto de sus $N-1$ primeros iterados y para cualquier par de puntos $x,y \in C$ se cumple que existe $g\in \U$ tal que \begin{itemize} \item[-] $g^N(x) = f^N(y)$. \item[-] $f=g$ en $M\backslash \bigcup_{i=0}^{N-1} f^i((1+\eps)C)$. \end{itemize} \end{lema} La dificultad principal que se presenta es que a medida que $\U$ se achica, el valor $N$ tiende a infinito, pero tenemos la ventaja (que no comparten las regularidades mayores) de que fijado $\U$, el valor de $N$ no depende del tama\~no de los cubos (en regularidad mayor, a medida que los cubos se achican, el valor de $N$ crece). El resultado (que probaremos en el apendice) da en realidad un enunciado m\'as fuerte (que se usa por ejemplo para el Connecting Lemma) ya que la prueba consiste en realmente ir perturbando de a ``poquito'' llevando un punto al otro. Ni vale la pena leer el agregado si interesa solo el ergodic closing lemma. \begin{agreg} Si ademas de fijar $\U$ y $\eps$ se fija $\eta>0$, se consigue $N$ y las cartas como arriba tal que el difeomorfismo $g$ que se construye verifica tambi\'en: \begin{itemize} \item[-] El punto $g^k(x) \in f^k((1+\eps/2)C)$ para todo $0\leq k 0$ existe $g\in \U$ y $\tau\geq 1$ tal que $g^\tau(x)=x$ y se cumple que $$ d(f^k(x), g^k(x))\leq \delta \qquad 0\leq k \leq \tau$$ \end{teo} \dem Basta mostrar que para $\delta>0$ fijo, casi todo punto verifica la propiedad de arriba (despu\'es, intersectando numerables conjuntos de medida total se concluye). Fijemos entonces $\U$ un entorno de $f$ y $\mu$ una medida de probabilidad invariante. Para cualquier $\eps>0$, el Lema de Pugh nos da un valor de $N>0$. Podemos suponer que casi todo punto respecto de $\mu$ no es peri\'odico (para los peri\'odicos el Teorema funciona). Consideremos $L\geq 1$ tal que $(3/2)^L> 2^{d+1}$ donde $d$ es la dimensi\'on de $M$. Elegimos tambi\'en $\eps>0$ de forma tal que $(1+\eps)^L< 3/2$. Consideremos $\varphi:V\to \R^d$ tal que $\varphi(V)=C_0=(-1,1)^d$ tal que $\{f^i(V)\}_{|i|\leq N}$ son dos a dos disjuntos y de diametro menor que $\delta$. En $C_0$ consideramos el conjunto $X\en C_0$ tal que $\varphi^{-1}(X) \en V$ son los puntos que satisfacen el Teorema. Si $\nu = \varphi^* (\mu)$ (es decir, $\nu(A)= \mu(\varphi^{-1}(A))$) tenemos que mostrar que $\nu(X)=\nu(C_0)$. Para $x\in X$ se cumple que existe $g\in U$ para el cual $\varphi^{-1}(x)$ es un punto peri\'odico que $\delta$-acompa\~na a la \'orbita de $\varphi^{-1}(x)$ por $f$ durante el per\'iodo. Si $C\en C_0$ es un cubo, decimos que es un \emph{buen cubo} si se cumple que $(1+\eps)C\en C_0$ y se verifica que $\nu(C)>\frac{2}{3} \nu((1+\eps)C)$. \begin{afirm}\label{propbuencubo} Si $C$ es un buen cubo, entonces $\nu(X\cap C)> \frac 1 2 \nu(C)$. \end{afirm} \dem Sea $\tilde f: C \to (1+\eps)C$ dado por $\tilde f(x) = f^k(x)$ siempre que $f^k(x)\in (1+\eps)C$ mientras que $f^i(x)\notin (1+\eps)C$ para $1\leq i \frac 1 2 \nu(C)$. Al mismo tiempo, los puntos en $\tilde f (C) \cap C$ son los puntos que se pueden cerrar usando el Lema de Pugh, con lo cual es f\'acil ver que $\tilde f( C) \cap C \en X$. \finobs La clave de los buenos cubos, es que ``hay muchos'' \begin{afirm}\label{buenoscubos} Para todo cubo $C$ tal que $2C\en C_0$, existe un cubo $C'$ tal que: \begin{itemize} \item[(a)] $(1+\eps)C'\en 2C$ (en particular $(1+\eps)C'\en C_0$). \item[(b)] $\nu(X\cap C') \geq \nu(C')$. \item[(c)] $\nu(C') \geq 2^{-d} \nu(C)$. \end{itemize} \end{afirm} \dem Primero podemos suponer que $\nu(C)>0$ sino tomando $C'=C$ estamos. Supongamos que no es el caso, vamos entonces a construir una sucesi\'on de cubos $\{C_n\}_{n\geq 1}$ que verifican que $C_1=C$, $2C_n \en 2C_{n-1}$ y $\nu(C_n)\geq \nu(C_{n-1})$ para todo $n\geq 1$. Esto claramente da un absurdo ya que la medida de los cubos $C_n$ crecer\'ia exponencialmente al tiempo que esta acotada por $\nu(2C)$ por estar $C_n \en 2C$ para todo $n$. Dado $C_n$, construimos $C_{n+1}$ de la siguiente manera: Dividimos $C_n$ en $2^d$ cubos iguales (embaldozamos). Uno de ellos, al cual notamos como $C'_n$ tiene medida mayor o igual a $2^{-d}\nu(C_n) \geq 2^{-d}\nu(C)$. Como este cubo verifica las propiedades $(a)$ y $(c)$ de la afirmaci\'on, y estamos argumentando por absurdo, tenemos que no puede ser un buen cubo (sino la Afirmaci\'on \ref{propbuencubo} nos dar\'ia que se cumple tambi\'en $(b)$). Tomar cubos m\'as grandes seguir\'a verificando la propiedad $(c)$, con lo cual podemos multiplicar por $(1+\eps)$ el cubo $C'_n$ manteniendo ambas propiedades. De hecho, lo podemos hacer $L$ veces, ya que $2(1+\eps)^L C'_n \en 4C'_n \en 2C_n$. Como $C'_n$ no es un buen cubo, tenemos que $\nu(C'_n\cap X) < 1/2 \nu(C'_n)$, eso implica que $\nu((1+\eps)C'_n)\geq 3/2 \nu(C'_n)$. Por recurrencia, obtenemos que $$\nu((1+\eps)^L C_n' \geq (3/2)^L \nu(C'_n) \geq (3/2)^L 2^{-d} \nu(C_n) \geq 2\nu(C_n)$$ Con lo cual, llamando $C_{n+1} = (1+\eps)^L C_n'$ obtenemos lo deseado. \finobs Supongamos ahora que $\nu (C_0 \backslash X) >0$. Consideremos $\cP^l$ la partici\'on de $C_0$ en $2^{dl}$ cubos iguales cuyos interiores son disjuntos y que cubren $C_0$ (el embaldozado usual). Para $l$ grande, consideramos el conjunto $$ \cC = \{ C\in \cP^l \ : \ 2C \en C_0 \ y \ C\cap X \neq \emptyset \}$$ Sea $\hat Y = \bigcup_{C\in \cC} 2C$ y sea $Y=\bigcup_{C\in \cC} C$. Como $\nu$ es una medida regular, tenemos que dado $\gamma>0$ existe un compacto $K \en C_0\backslash X$ asi como un abierto $A \supset C_0\backslash X$ que verifican que $\nu(A\backslash K)<\delta$. Por lo tanto, tendremos que $\nu(\hat Y \cap X) \to 0$ a medida que $l\to \infty$. Al mismo tiempo, como $Y$ cubre practicamente todo $C_0\backslash X$ a medida que $l\to \infty$, tenemos que $\nu(Y\backslash X) \to \nu(C_0\backslash X)$ cuando $l\to \infty$. De esta manera, obtenemos que con $l$ suficientemente grande, se cumple $$ \nu(\hat Y \cap X) < 2^{-(2d +1)} \nu(Y\backslash X) $$ Como cada cubo $C\in \cC$ tiene a lo sumo $2^d$ cubos adyacentes, podemos partir $\cC$ en $2^d$ familias de cubos $\cC_1, \ldots, \cC_{2^d}$ de forma tal que si $C_1,C_2 \in \cC_i$ para algun $i$, entonces $2C_1$ tiene interior disjunto de $2C_2$. Si definimos $\hat Y_i$ y $Y_i$ como arriba con las nuevas familias, tenemos que para alguna de ellas se cumplir\'a que $$ \nu(\hat Y_i \cap X) < 2^{-(d +1)} \nu(Y_i\backslash X) $$ Pero a cada cubo $C\in \cC_i$ le podemos aplicar la Afirmaci\'on \ref{buenoscubos} con lo cual obtenemos cubos $C'\en 2C$ de forma tal que son 2 a 2 disjuntos. En particular, si consideramos $Y'$ su union, tendremos $Y'\en \hat Y_i$. Por las propiedades $(b)$ y $(c)$ de la Afirmaci\'on \ref{buenoscubos} se cumplir\'a $$ \nu(\hat Y_i \cap X) \geq \nu(Y'\cap X) \geq \frac 1 2 \nu(Y') \geq 2^{-(d+1)} \nu(Y) $$ Lo cual contradice la elecci\'on de los cubos y concluye la prueba. \lqqd Estamos en condiciones de probar el Teorema \ref{ErgodicClosingGenerico}. \demo{ del Teorema \ref{ErgodicClosingGenerico}} Sea $\mu$ una medida de probabilidad en $M$, $\Phi$ un conjunto finito de funciones continuas de $M$ en $\R$ y $n,N$ dos n\'umeros naturales. Consideramos el conjunto abierto $\U(\mu, \Phi, N,n) \en \Diff^1(M)$ de forma tal que para $f\in \U(\mu,\Phi,N,n)$ se cumple: \begin{itemize} \item[-] Existe una orbita peri\'odica hiperb\'olica $\cO$ de $f$ de per\'iodo $\pi(\cO)\geq N$. \item[-] Se verifica para $p\in \cO$ y $\varphi \in \Phi$ se verifica que $$ \left| \frac{1}{\pi(\cO)} \sum_{i=0}^{\pi(\cO)-1} \varphi (f^i(p)) - \int \varphi d\mu \right| < 1/n $$ \end{itemize} No es dif\'icil ver que estos conjuntos son abiertos. Como el conjunto de medidas de probabilidad en $M$ con la topolog\'ia d\'ebil y el conjunto de funciones continuas son separables, podemos considerar $\{\mu_k\}$ y $\{\varphi_j\}$ conjuntos densos en dichos espacios. A su vez, definimos $\{\Phi_l\}$ el conjunto de partes finitas de $\{\varphi_j\}$. Definimos los conjuntos $$ \Res_{k,l,N,n} = \U(\mu_k,\Phi_l, N,n) \cup \Diff^1\backslash \overline{\U(\mu_k,\Phi_l, N,n)} $$ Estos conjuntos, por definici\'on, son abiertos y densos. Entonces, el conjunto $\Res = \bigcap_{k,l,N,n} \Res_{k,l,N,n}$ ser\'a un conjunto residual. Sea $f\in \Res$ y sea $\mu$ una medida erg\'odica para $f$. Por el Teorema de Birkhoff, sabemos que para casi todo punto $y$ respecto a $\mu$, y para cualquier $\varphi$ funci\'on continua se verifica que $$ \frac{1}{N} \sum_{i=0}^{N-1} \varphi(f^i(y)) \to \int \varphi d\mu $$ Por tanto, fijado $n>0$, tenemos que con $N$ grande $$ \left| \frac{1}{N} \sum_{i=0}^{N-1} \varphi(f^i(y)) - \int \varphi d\mu \right| < \frac 1 {4n} $$ Utilizaremos el Teorema \ref{ergodicclosing} para probar la siguiente afirmaci\'on. \begin{afirm} Para cualquier $\Phi_l$ y para $\mu_k$ suficientemente cerca de $\mu$, tenemos que $f\in \U(\mu_k,\Phi_l,N,n)$. \end{afirm} \dem Como $\Phi_l$ es un conjunto finito, sabemos que hay una constante uniforme de continuidad. Consideremos $\delta<1/2n$ y $\mu_k$ a distancia menor que $\frac{\delta}{\sup_{\varphi\in \Phi_l} \|\varphi\|}$ de $\mu$. Como elegimos $N$ suficientemente grande, tenemos $$ \left| \frac{1}{N} \sum_{i=0}^{N-1} \varphi(f^i(y)) - \int \varphi d\mu \right| < \frac 1 {4n} $$ Para un $y$ gen\'erico respecto a $\mu$. Al mismo tiempo, el Teorema \ref{ergodicclosing} nos permite saber que podemos perturbar $f$ a un $g$ $C^1$ cerca tal que tiene una \'orbita peri\'odica $\cO$ (que mediante una peque\~na perturbaci\'on podemos suponer hiperb\'olica) que verifica que se mantiene cerca de la \'orbita de $y$ durante todo su per\'iodo, mayor que $N$. De esta manera, tenemos que siendo $p\in \cO$ $$ \left| \frac{1}{\pi(\cO)} \sum_{i=0}^{\pi(\cO)-1} \varphi(g^i(p)) - \int \varphi d\mu_k \right| \leq \left| \frac{1}{\pi(\cO)} \sum_{i=0}^{\pi(\cO)-1} \varphi(g^i(p)) - \frac{1}{\pi(\cO)}\sum_{i=0}^{\pi(\cO)-1}\varphi( f^i(y)) \right| + $$ $$ + \left| \frac{1}{\pi(\cO)}\sum_{i=0}^{\pi(\cO)-1} f^i(y) - \int \varphi d\mu \right| + \left| \int \varphi d\mu -\int \varphi d\mu_k \right| < \frac{1}{4n} + \frac{1}{4n} + \frac{1}{2n}$$ Como quer\'iamos. Observar que la primera cota (que no explicitamos) se obtiene dado que $g$ esta arbitrariamente $C^1$ cerca de $f$ y la \'orbita de $\cO$ por $g$ se mantiene arbitrariamente cerca (en funci\'on de la continuidad uniforme expresada arriba) de la \'orbita de $y$ por $g$. \finobs Ahora estamos en condiciones de concluir la prueba. Basta mostrar que existen \'orbitas peri\'odicas $\cO_n$ de $f$ con per\'iodo $\pi(\cO_n) $ de forma tal que si $p_n \in \cO_n$ $$ \frac{1}{\pi(\cO_n)} \sum_{i=0} \varphi_j(f^i(p_n)) \to \int \varphi_j d\mu $$ Para todo $\varphi_j$ el conjunto denso definido arriba. Fijado $\delta>0$ y $\Phi_l$ un subconjunto de $\{\varphi_j\}$, consideramos $\mu_k$ a distancia menor que $\delta/2$ de $\mu$. Fijamos $n$ tal que $1/n<\delta/2$. Entonces, como $f\in \U(\mu_k,\Phi_l,N,n)$ se cumple que hay una \'orbita peri\'odica $\cO_{\delta,l}$ que verifica que para toda $\varphi \in \Phi_l$ se cumple que si $p\in \cO_{\delta,l}$ $$ \left| \frac{1}{\pi(\cO_{\delta,l})} \sum_{i=0}^{\pi(\cO_{\delta,l})-1} \varphi (f^i(p)) - \int \varphi d\mu \right| \leq \left| \frac{1}{\pi(\cO_{\delta,l})} \sum_{i=0}^{\pi(\cO_{\delta,l})-1} \varphi (f^i(p)) - \int \varphi d\mu_k \right| + \left| \int \varphi d\mu - \int \varphi d\mu_k\right| < \delta $$ Mediante un proceso diagonal, obtenemos \'orbitas peri\'odicas de $f$ con las propiedades buscadas. \lqqd \section{Ap\'endice 1: Esbozo de prueba del Lema de Pugh} La idea es muy simple (vista 40 a\~nos despues de que apareci\'o). Para simplificar, vamos a trabajar con un ``toy model''. Tenemos $f: \R^2 \to \R^2$ dada por $f(u,v) = (u, v+1)$. Fijado $\U$ entorno $C^1$ de $f$ tenemos por el Lema de perturbaci\'on elemental un valor de $\theta$. Sea $r\ll 1$ y consideramos los puntos $x=(-r/2,0)$ e $y=(r/2,0)$. Vamos a ver que considerando $N$ suficientemente grande, podemos conseguir $g\in \U$ de forma tal que $g^N(x)=f^N(y)$. Una cosa que hay que demostrar es que si se hacen perturbaciones peque\~nas con soporte disjuntos no se agranda el tama\~no de la perturbaci\'on. Ahora, consideramos $N$ de forma tal que $\frac{\theta }{N} < \eps$. Precomponiendo con perturbaciones elementales soportadas en $B(x_i, \theta r/N)$ donde $x_i = (r(-\frac 1 2 + \frac{2i+ 1} {2N}), i)$ donde $0\leq i \leq N-1$ que envien el punto $(r(-\frac 1 2 + \frac{i} {N}), i)$ en $(r(-\frac 1 2 + \frac{i+ 1} {N}), i)$; obtenemos una perturbaci\'on peque\~na de $f$ como la deseada. Notese que estas perturbaciones verifican las propiedades deseadas (tambi\'en del agregado al Lema). ?`Cu\'al es la dificultad del caso general? Evidentemente no es un problema dimensional (trabajar en dimension dos simplemente simplifico la notaci\'on), el problema es que en nuestro modelo, el mapa es una translacion, es decir, la derivada es la identidad y por ende la geometr\'ia de la bola donde vamos a perturbar no se ve afectada por la aplicaci\'on de $f$. Esta dificultad es puramente t\'ecnica, y si bien hace la prueba bastante m\'as complicada, la idea de la prueba es la efectuada en este modelo simplificado. \section{Ap\'endice 2: Prueba del Closing Lemma} Aprovechamos a presentar tambi\'en la prueba de Crovisier (en \cite{habilitationSylvain}) del Cl\'asico Closing Lemma de Pugh. \begin{teo}[Closing Lemma] Sea $\U$ un entorno de $f\in \Diff^1(M)$. Entonces, si $x\in \Omega(f)$, entonces existe $g\in \U$ tal que $x$ es peri\'odico. \end{teo} \dem Basta probar que existe $g\in U$ con un punto peri\'odico en un entorno arbitrariamente peque\~no de $x$ (despu\'es, con una peque\~na translaci\'on se hace $x$ peri\'odico). Fijemos $\eps>0$ de forma tal que $(1+\eps)^L < 5/4$ donde $L=2^d+1$. El Lema de Pugh nos da un valor de $N$ para poder realizar perturbaciones. Como podemos suponer que $x$ no es peri\'odico, considerando una carta $\varphi:V\to \R^d$, tenemos cubos $C$ arbitrariamente peque\~nos centrados en $x$ de forma tal que $2C$ es disjunto de sus $N$ primeros iterados. Vamos a ver que podemos crear un punto peri\'odico en $2C$. Como $x$ es no errante, existe $y\in C$ tal que $f^k(y)\in C$ es el primer iterado de $y$ que vuelve a $C$. Podemos asumir que hay un iterado intermedio $f^{k_1}(y)$ con $02^d$, si partimos $(1+\eps)^LC$ en $2^d$ cubos iguales, tendremos que alguno de ellos contendr\'a $2$ puntos por el principio del palomar. Llamamos a este cubo $C_1$ que verifica que $2C_1 \en 2C$ por como elegimos $L$ ($(1+\eps)^L < 5/4$). En $C_1$ entonces, tenemos un punto $z \in \{ y, f(y), \ldots , f^k(y) \}$ tal que su primer retorno a $C_1$ es $f^{k'}(z)$ con $k'