\documentclass[a4paper,12pt]{amsart} %Tamaños \linespread{1.28} \oddsidemargin=-0.8cm \evensidemargin=-0.8cm \topmargin=-.5cm \textwidth=17.6cm \textheight=25.5cm \parskip 0.5cm %\parindent 0pt %\usepackage[left=1in,top=1in,right=1in,bottom=1in,nohead]{geometry} \usepackage{amssymb,amscd,amsthm,mathrsfs} \usepackage[varg]{pxfonts} %Otras fuentes de letra %\usepackage[all]{xy} %commutative diagrams %\usepackage{epsfig,graphicx,psfrag,mathrsfs} %figuras %\usepackage[dvips]{color} $figuras %\usepackage[spanish]{babel} \usepackage[ansinew]{inputenc} \usepackage[centertags]{amsmath} %Letras \newcommand{\N}{\mbox{$\mathbb{N}$}} \newcommand{\Z}{\mbox{$\mathbb{Z}$}} \newcommand{\C}{\mbox{$\mathcal{C}$}} \newcommand{\R}{\mbox{$\mathbb{R}$}} \newcommand{\Res}{\mbox{$\mathcal{R}$}} \newcommand{\T}{\mbox{$\mathbb{T}$}} \newcommand{\U}{\mathcal{U}} \def\AA{{\mathbb A}} \def\BB{{\mathbb B}} \def\CC{{\mathbb C}} \def\DD{{\mathbb D}} \def\D{{\mathbb D}} \def\EE{{\mathbb E}} \def\FF{{\mathbb F}} \def\GG{{\mathbb G}} \def\HH{{\mathbb H}} \def\II{{\mathbb I}} \def\JJ{{\mathbb J}} \def\KK{{\mathbb K}} \def\LL{{\mathbb L}} \def\MM{{\mathbb M}} \def\NN{{\mathbb N}} \def\OO{{\mathbb O}} \def\PP{{\mathbb P}} \def\QQ{{\mathbb Q}} \def\RR{{\mathbb R}} \def\SS{{\mathbb S}} \def\TT{{\mathbb T}} \def\UU{{\mathbb U}} \def\VV{{\mathbb V}} \def\WW{{\mathbb W}} \def\XX{{\mathbb X}} \def\YY{{\mathbb Y}} \def\ZZ{{\mathbb Z}} \def\cA{\mathcal{A}} \def\cG{\mathcal{G}} \def\cM{\mathcal{M}} \def\cS{\mathcal{S}} \def\cB{\mathcal{B}} \def\cH{\mathcal{H}} \def\cN{\mathcal{N}} \def\cT{\mathcal{T}} \def\cC{\mathcal{C}} \def\cI{\mathcal{I}} \def\cO{\mathcal{O}} \def\cU{\mathcal{U}} \def\cD{\mathcal{D}} \def\cJ{\mathcal{J}} \def\cP{\mathcal{P}} \def\cV{\mathcal{V}} \def\cE{\mathcal{E}} \def\cK{\mathcal{K}} \def\cQ{\mathcal{Q}} \def\cW{\mathcal{W}} \def\cF{\mathcal{F}} \def\cL{\mathcal{L}} \def\cR{\mathcal{R}} \def\cX{\mathcal{X}} \def\cY{\mathcal{Y}} \def\cZ{\mathcal{Z}} %Teoremas \newtheorem*{teo*}{Theorem} \newtheorem*{mainteo}{Main Theorem} \newtheorem*{teoA}{Theorem A} \newtheorem*{teoB}{Theorem B} \newtheorem{teo}{Th\'eor\`eme}[section] \newtheorem{conj}{Conjecture} \newtheorem{quest}{Question} \newtheorem{cor}{Corolaire}[section] \newtheorem*{step1}{Step 1} \newtheorem*{step2}{Step 2} \newtheorem*{step3}{Step 3} \newtheorem*{step4}{Step 4} \newtheorem*{step5}{Step 5} %\newtheorem{af}[teo]{Afirmaci\"{\i}?`½n} \newtheorem{lema}{Lemma}[section] \newtheorem{prop}{Proposition}[section] \newtheorem{propied}{Property} \newcommand{\bi}{\begin{itemize}} \newcommand{\ei}{\end{itemize}} \newcommand{\itm}[1]{\item [(#1)]} \theoremstyle{definition} \newtheorem{defi}{Definition} \theoremstyle{remark} \newtheorem{obs}[]{Remark} \newtheorem{ej}[]{Example} %Pruebas y fin de pruebas \newcommand{\esbozo}{\vspace{.05in}{\sc\noindent Sketch }} \newcommand{\demo}[1]{\vspace{.05in}{\sc\noindent Proof #1.}} \newcommand{\dem}{\vspace{.05in}{\sc\noindent Id\'ee.}} \newcommand{\lqqd}{\par\hfill {$\Box$} \vspace*{.05in}} \newcommand{\finobs}{\par\hfill{$\diamondsuit$} \vspace*{.05in}} % Algunos comandos \newcommand{\cla}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\eps}{\varepsilon} \newcommand{\f}{\varphi} \newcommand{\sig}{\Sigma} \newcommand{\en}{\subset} \newcommand{\trans}{\mbox{$\,{ \top} \;\!\!\!\!\!\!\raisebox{-.3ex}{$\cap$}\,$}} \DeclareMathOperator{\Diff}{Diff} \DeclareMathOperator{\Tang}{Tang} \DeclareMathOperator{\diametro}{diam} \newcommand{\diff}[1]{\Diff^{#1}(M)} % MARGENES y otras cosas para el formato \newcommand{\marg}[1]{\marginpar{\tiny{#1}}} %Este hace un margen \newcommand{\margR}[1]{\marginpar{\flushright{\tiny{#1}}}} %Este es por si sale del lado izquierdo \author[R. Potrie]{Rafael Potrie} \address{CMAT, Facultad de Ciencias, Universidad de la Rep\'ublica, Uruguay}\curraddr{LAGA; Institute Galilee, Universite Paris 13, Villetaneuse, France} \urladdr{www.cmat.edu.uy/$\sim$rpotrie} \email{rpotrie@cmat.edu.uy} \title[Structure des quasi-attracteurs et existence des attracteurs]{Structure des quasi-attracteurs et existence des attracteurs pour les dynamiques $C^1$-g\'en\'eriques} \thanks{Notes pour un expose dans le Groupe de Travail de Theorie Ergodique d'Orsay.} \date{21 juin 2010} \begin{document} \maketitle \begin{abstract} L´idée de l´exposé c´est de vous présenter quelques résultats sur l´existence des attracteurs et la structure des quasi-attracteurs. Je vais essayer de vous presenter quelques idées clés qui sont utilisés dans cette théorie et montrer comment sont utilises dans les resultats que je vais presenter. %\marginpar{This note will appear in the margin.} %\bigskip %\noindent %{\bf Keywords:} %\medskip %\noindent {\bf MSC 2000:} 37C05, 37C20, 37C25, 37C29, 37D30. \end{abstract} %\section{Introduction} \section{Contexte} Soit $M$ un vari\'et\'e differentiable et $\Diff^r(M)$ l'espace des diff\'eomorphismes de classe $C^r$ de $M$ muni de la topologie $C^r$. Le but de la \emph{dynamique g\'en\'erique} est de ``comprendre'' la dynamique d'une ``grande partie'' de $\Diff^r(M)$ par rapport \`a son topologie. \'Etant un espace de Baire, les ensembles residueles ($G_\delta$-dense) ont une importance particulier dans cette \'etude. Cette texte n'a pas comme but de \^etre un survey des resultats et les resultats qu'on va presenter sont un selection subjectif qui nous permetr\'a arriver aux resultats que je veux presenter. Pour un survey r\'ecent sur le sujet, il faut lire \cite{CHab}. On va a discuter quelques problems aussi, mais pour obtenir une vision plus globale du sujet, il est recomendable de voir aussi \cite{CHab} et \cite{B}. Les r\'ef\'erences donn\'es ici ne sont pas exhaustifs, en general, je vais citer les derniers r\'esultats sur le sujet et les resultats qui les pr\'ec\'endent peuvent \^etre trouv\'es dans les r\'ef\'erences que j'ai d\'ej\`a inclus ici. On va a utiliser la phrase ``$f$ est une diffeomorphisme $C^r$-g\'en\'erique'' (qui est un peu vague) pour dire qu'il existe un ensemble residuelle $\cR \en \Diff^r$ telle que $f$ appartient a $\cR$. Pour simplifier l'exposition, je vais me concentrer surtout dans la dynamique $C^1$-g\'en\'erique qui est o\'u on a une compr\'ehension plus forte (et parfois, je ne vais pas mentioner les resultats qui sont valables en topologie $C^r$). Bien s\^ur que les notions de ``comprendre'' et de ``grande partie'' ne sont elles pas bien d\'efinis. Dans cette texte nous allons utiliser le terme ``grand partie'' pour un sous-ensemble r\'esiduele. Il n'est pas claire que cette notion de ``grande partie'' est le meilleur, par contre, son \'etude a conduit \`a des r\'esultats et comprehension dans d'autres notions (ensembles prevalents, ouvert et denses, m\^eme dans des autres topologies, etc). Definir ``comprendre'' la dynamique est encore plus difficile. Nous serons contents si on peut decomposer la dynamique en pieces basiques et etudier la dynamique de ces pieces. Un outil important pour les deux objectifs est de comprendre la structure des pi\`eces basiques, particuli\`erment, de comprendre la dynamique de l'application tangente. \subsection{D\'ecomposition de la dynamique} %Le th\'eor\`eme de Conley (voir \cite{Rob} chapitre 10) dit que $\forall f : M \to M$ homeomorphisme, il existe $\varphi:M\to \RR$ une \emph{fonction de Lyapunov}. Rappelle nous qu'un point $x$ est \emph{r\'ecurrent par cha\^ines} si pour tout $\eps>0$ il existe un $\eps-$pseudo-orbite $x=x_0, \ldots , x_n =x$ (i.e. $d(x_{i+1},f(x_i))<\eps$) avec $n\geq 1$. On peut d\'efinir dans $CR(f)$ (l'ensemble r\'ecurrent par cha\^ines) un relation d'equivalence don\'ee par le fait qu'on a, $\forall \eps>0$, des $\eps$-pseudo-orbites d'un point a l'autre et reciproquement, ca nous done les \emph{classes de r\'ecurrence par cha\^ines}. % Une fonction de Lyapunov v\'erifie les proprietes suivantes, %\begin{itemize} %\item[-] $\varphi$ est constant le long des classes de r\'ecurrence par cha\^ines. %\item[-] Si $R_1 \neq R_2$ sont deux classes de r\'ecurrence par cha\^ines alors $\varphi(R_1)\neq \varphi(R_2)$. %\item[-] Si $x\notin CR(f)$ alors $\varphi(f(x))< \varphi(x)$. %\end{itemize} L'advantage d'etudier les classes de r\'ecurrence par cha\^ines est que nous avons une bonne connaissance de comment elles sont li\'ees entre eux (le Th\'eor\`eme de Conley, voir \cite{Rob} chapitre 10). Par contre, nous n'avons pas une bonne comprehension de la dynamique \`a son interieur. Pendant beaucoup de temps, les pieces basiques qu'on a etudie etaient les \emph{classes homoclines} (i.e. $H(p)=\overline{W^s(p)\trans W^u(p)}$) parce qu'on connait mieux son dynamique. En particulier, elles sont des ensembles transitifs, et elles ont des bonnes propi\'et\'es de specification par raport \`a ses points p\'eriodiques. Pour les dynamiques $C^1$-g\'en\'eriques le resultat suivant qui est une pierre angulaire\footnote{Je ne vais pas discuter sur les techniques et id\'ees impliqu\'ees dans cette resultat. Il est un th\'eor\`eme tr\`es dificil, comme tous les th\'eor\`emes de perturbation d'orbites (par example, le closing lemma). Las preuves sont maintenant mieux compris, voir specialement \cite{CHab} pour trouver une vision plus moderne avec des preuves (ou esquisses de preuves) plus simples.} du sujet nous a permit de reunir les deux approches: \begin{teo}[Bonatti-Crovisier \cite{BC}] Pour un diffeomorphisme $C^1$-g\'en\'erique $f$, on a que $CR(f)=\overline{Per(f)}$. En plus, si une classe de r\'ecurrence par cha\^ines $R$ contient un point p\'eriodique $p$, alors $R=H(p)$ la classe homocline de $p$. \end{teo} Une consequence important de leur travail est li\'ee a les \emph{quasi-attracteurs}. On dit qu'un classe de r\'ecurrence par cha\^ines $\Lambda$ est un quasi-attracteur s'il existe des voisinages $U_n$ v\'erifiant $f(\overline {U_n}) \en int(U_n)$ et telle que $\Lambda= \bigcap_n \overline{U_n}$. \begin{teo}[Bonatti-Crovisier \cite{BC}] Pour un diffeomorphisme $C^1$-g\'en\'erique $f$, il existe un ensemble $A\en M$ r\'esiduelle telle que pour tout point $x\in A$, son $\omega$-limite est contenue dans un quasi-attracteur. \end{teo} On dit qu'un quasi-attracteur $\Lambda$ est un \emph{attracteur} si $\Lambda= \bigcap_{n\geq 0} f^n(U_k)$ pour un certain $k$. La definition est equivalent a dire que le quasi-attracteur est isol\'e dans $CR(f)$. \subsection{Structure de la dynamique} Un ensemble compact invariant $\Lambda \en M$ est dit \emph{hyperbolique} s'il admet une d\'ecomposition $T_\Lambda M = E^s \oplus E^u$ qui est $Df-$invariant telle que les vecteurs dans $E^s$ sont uniformement contract\'es par $Df$ autant que les vecteurs dans $E^u$ sont uniformement dilat\'es par $Df$. Cette notion est tr\`es forte si on attend \`a d\'ecrire la plupart des diffeomorphismes. En general, on considere une notion plus faible, apell\'ee \emph{d\'ecomposition domin\'ee} qui est un bonne instrument pour empecher quelques phenomenes patologiques, ou, au moins, qui permet reduire l'\'etude de la dynamique dans $M$ \`a des dynamiques en dimension plus bas (voir en particulier \cite{C2}). On dit qu'un ensemble $\Lambda$ invariant admet une \emph{d\'ecomposition domin\'ee} s'il admet une d\'ecomposition $T_\Lambda M = E\oplus F$ qui est $Df$-invariant dont les vecteurs dans $F$ sont uniformement plus dilat\'es qui ceux apartenant a $E$. Plus specifiquement, on a qu'il existe $N>0$ telle que $$ \|Df^N|_E\| < \frac 1 2 m(Df^N|_{F}) \qquad \text{o\'u} \quad \ m(A)= \|A^{-1}\|^{-1} $$ Pour voir le type de r\'esultat qu'on obtient en utilisant cette notion: \begin{teo}[Bonatti-Diaz-Pujals \cite{BDP}] Soit $H(p)$ une classe homocline d'un diffeomorphisme $C^1$-g\'en\'erique $f$. Alors, on a la dichotomie suivante: \begin{itemize} \item[-] Ou bien $H(p)$ admet une d\'ecmoposition domin\'ee. \item[-] Ou bien $H(p) \en \overline{P\cup S}$ ou $P$ est l'ensemble des puits de $f$ et $S$ est l'ensemble des sources. \end{itemize} \end{teo} Il faut remarquer que les options dans cette dichotomie ne sont pas disjoints. %\subsection{Quelques questions et autres r\'esultats} %\subsubsection{Nombre des classes de recurrence} %Il est connue que pour les dynamiques hyperboliques (i.e. dont le ensemble $CR(f)$ est hyperbolique) il y a un nombre finie des classes de r\'ecurrence par cha\^ines. On peut se demander comme premier question: Est-il toujours le cas? %La response est que NON, en f\^ete, Bonatti et Diaz (\cite{BD}) ont construit des examples avec un nombre infinie des classes homoclines (pour $dim(M)\geq 3$, en dimensi\'on $2$, pour la topologie $C^1$ il est un problem ouvert, connue comme la ``Conjecture de Smale''). En f\^ete, dans \cite{BD2} ils ont construit un ouvert $\cU \en \Diff^1(M)$ dont les dynamiques $C^1$-g\'en\'eriques l\`a ont un nombre non denombrable des classes de recurrence par chaines (en particulier, due a le Th\'eor\`em de Kupka Smale, ayant des classes \emph{ap\'eriodiques}\footnote{Sans points p\'eriodiques.}). %Ca nous posse la question de si est possible d'avoir des dynamiques g\'en\'eriques ayant un nombre infinie denombrable des classes de r\'ecurrence par cha\^ines. %\subsubsection{Existence des attracteurs et description du basin des quasi-attracteurs} %Une question tr\`es natural est de se demander si pour un diffeomorphisme g\'en\'erique il existe un attracteur, cette question a etait posse beaucoup de fois, par example par Thom, et par Milnor (voir \cite{BLY} et \cite{Milnor}). La question admet une reponse affirmative en dimension $2$ (\cite{A}). %Tr\`es r\'ecemment, Bonatti, Li et Yang (\cite{BLY}) ont montre qu'en dimension plus grande, ce n'est pas necesariement le cas. Ils ont construit des ouverts $\cU$ des diffeomorphismes ou les diffeomorphismes g\'en\'eriques l\`a, n'ont pas des attracteurs. %Il n'est pas claire quelles sont les proprietes des quasi-attracteurs qu'ils ont construit. Ils verifient la propiete suivant: Il existe un voisinage $U$ du quasi-attracteur telle que son basin topologique (les points ayant son $\omega-$limite dans le quasi-attracteur) est un residual dans cette voisinage. En particulier, ils sont isol\'ees dans l'ensemble des quasi-attracteurs. On a par example la question suivant: Est ce que son basin topologique a de measure de Lebesgue total dans cette voisinage? (voir \cite{Milnor} pour des discusions relationes). %\subsubsection{Structure des quasi-attracteurs} %Dans les exemples de Bonatti-Diaz, il y a des quasi-attracteurs $\Gamma$ ap\'eriodiques qui n'admetent pas une d\'ecomposition domin\'ee. Ces exemples sont un peu pathologiques parce que son basin topologique est tr\`es petit (plus precisement, son basin topologique coincide avec $\Gamma$). %Qu'est qu'on peut dire pour les quasi-attracteurs qui sont des classes homoclines? Est ce qu'ils admet de d\'ecomposition domin\'ee? \section{Quelques resultats partielles} \subsection{Structure des quasi-attracteurs} Si on se posse la question de si est possible avoir un infinite des classes de r\'ecurrence, il est une bone id\'ee de utiliser le r\'esultat de Bonatti-Diaz-Pujals qu'on a present\'e dans la section precedante. En fait, Bonatti et Diaz ont construit des examples de dynamiques $C^1-$g\'en\'eriques ayant une infinite des classes (\cite{BD}) et m\^eme, ils ont montr\'e que dans certes examples, il y a un nombre non denombrable de classes de r\'ecurrence. Dans ses exemples, il y a des classes qui sont ap\'eriodiques et m\^eme, des quasi-attracteurs qui n'ont pas une d\'ecomposition domin\'ee. On peut se poser la question de si les quasi-attracteurs qui sont des classes homoclines admet ils une d\'ecomposition domin\'ee. J'ai obtenu une reponse partiel a cette question: \begin{teo}[\cite{P1}] Soit $\Lambda=H(p)$ un quasi-attracteur d'un diffeomorphisme $C^1$-g\'en\'erique $f$. Alors, on a la dichotomie suivante: \begin{itemize} \item[-] Ou bien $\Lambda$ admet une d\'ecomposition domin\'ee. \item[-] Ou bien $\forall q\in H(p)$ p\'eriodique, on a que $det(D_qf^{\pi(q)}) > 1+\eps$. \end{itemize} \end{teo} Ici aussi le th\'eoreme ne dit pas que les options sont disjoint. Par contre, on conait pas de examples de quasi-attracteurs sans d\'ecomposition domin\'ee. Il faut remarquer que si $\Lambda$ est un example qui verifie la deuxieme option mais ne satisfie la premier, alors il doit etre accumule par des puits. Comme en dimension $2$ on a un bonne compr\'ehension de la d\'ecomposition domin\'ee (\cite{PS}) on obtient le corolaire suivante: \begin{cor} Soit $\Lambda=H(p)$ un quasi-attracteur d'un diffeomorphisme $C^1$-g\'en\'erique $f$ d'un surface $M^2$. Alors, on a la dichotomie suivante: \begin{itemize} \item[-] Ou bien $\Lambda$ est un attracteur hyperbolique. \item[-] Ou bien $\forall q\in H(p)$ p\'eriodique, on a que $det(D_qf^{\pi(q)}) > 1+\eps$. \end{itemize} \end{cor} \subsection{Existence des attracteurs} La question que j'amerais discuter est sur l'existence des attracteurs pour les dynamiques $C^1-$g\'en\'eriques. En dimensi\'on 2, Araujo a montr\'e (\cite{A}) qu'il y a des attracteurs hyperboliques toujours pour les diffeomorphismes $C^1-$g\'en\'eriques. Cette question a rest\'e ouvert pendant long temps (voir \cite{BLY} et \cite{Milnor}). Finalement, dans un article r\'ec\'ent, Bonatti-Li et Yang ont montr\'e qu'il y a des ouverts de diffeomorphismes avec la propriete que les dynamiques g\'en\'eriques l\`a n'ont pas des attracteurs. J'ai construit des examples similaires \`a ceux qui ont construit Bonatti-Li-Yang, mais dans mon cadre, j'ai reussi \`a faire une \'etude plus complet de la dynamique de ces quasi-attracteurs qui apparaisent. \begin{teo}[\cite{P2}] Il existe $\cU$ ouvert dans $\Diff^r(\TT^3)$ telle que pour tout $f\in \cU$ il existe q'un seul quasi-attracteur $\Lambda$ pour $f$ qui a un ensemble de measure total dans son basin topologique. Pour tout classe de recurrence $R \neq\Lambda$ de $f$, on a que $R$ est contenu dans un disque p\'eriodique de dimension $2$. Pour $f \in \cU$ qui est $C^r$-g\'en\'erique, on a que $f$ n'a pas des attracteurs. \end{teo} La nouveaut\'e est le fait que les classes de r\'ecurrence differents de $\Lambda$ sont contenues dans des disques p\'eriodiques. Ca permet de dire que le basin de $\Lambda$ a une measure total. Aussi, les examples sont dans les hypotheses de \cite{BV} et de \cite{BF} et ca nous permet etudier l'existence de measures SRB pour $\Lambda$ si $f$ est $C^2$ et l'existence des measures d'entropie maximal. Finalement, j'amerais faire une remarque \`a propos de cette example et la question sur le nombre de classes de r\'ecurrence par cha\^ines. Il est possible que cette example nous donne un example avec un nombre infini mais denombrable des classes de r\'ecurrence par cha\^ines. En fait, si la Conjecture de Smale (densite $C^1$ de hyperbolicite pour diffeos des surfaces) est vraie, alors notre example aurait, g\'en\'eriquement, un nombre denombrable des classes de r\'ecurrence par cha\^ines (il est aussi interesant de voir que pour un ensemble $C^2$-dense dans $\cU$ il y a un nombre non denombrable des classes donn\'ees par le ph\'enom\`ene de Newhouse). \section{Quelques id\'ees} \subsection{Structure des quasi-attracteurs} Je vais traiter cette th\'eorem que dans la dimension 2 o\'u il est plus facile (techniquement, mais les id\'ees sont d\'ej\`a l\`a). Avant, j'amerais discuter un tr\`es jolie id\'ee de Ma\~ne qu'on peut metre dans l'enonc\'e suivante. \begin{lema}[Ma\~ne \cite{M}] Soit $H(p)$ une classe homocline d'un diffeomorphisme de surface $f$ telle que $H(p)$ n'admet pas une d\'ecomposition domin\'ee. Alors, pour tout $\cU$ voisinage $C^1$ de $f$ et pour tout $U$ voisinage de $H(p)$ il existe $g\in \cU$ ayant un puit ou un source dans $U$. \end{lema} \dem Le fait que $H(p)$ n'admet une d\'ecomposition domin\'ee, il implique que la m\^eme chose est vrai pour l'ensemble des points p\'eriodiques (\'etant facile d'\'etendre une d\'ecomposition domin\'ee de un ensemble invariant \`a son fermeture). Comme les points p\'eriodiques d'une classe homocline ont des sous-espaces invariantes (il sont tous des points selles) on obtient que pour tout $n>0$ on a un point p\'eriodique $x_n$ telle que $$ \|Df^j|_{E^s(x_n)}\| \geq \frac 1 2 \|Df^j|_{E^u(x_n)}\| \qquad \forall 1 \leq j \leq n $$ Noter que comme les sous-espaces ils sont de dimension $1$, $\|Df|_{E^u}\|=m(Df|_{E^u})$. Cette propriete nous permet de faire des petits angles entre les sousespaces estable et instable par un petit perturbation du differential. Dans autre c\^ot\'e, les petits angles dans les sousespaces estables et instables nous permetent faire encore une autre petite perturbation pour obtenir des valeures propres compexes. Une c\'el\`ebre Lemme de Franks nous dit qu'on peut faire les perturbations qu'on a d\'ecrit de mani\`ere \emph{dynamique}, ca veut dire, que si on trouve une petite pertrubation du cocycle de la deriv\'e au dessus d'un point p\'eriodique, alors, on peut le realizer dans le diffeomorphisme par une petite $C^1$-perturbation (cette est une des plus importants raisons pour lesquele on utilise cette topologie \footnote{L'autre raison est li\'ee a le f\^ete qu'on ne sais pas faire des perturbations comme \cite{BC} en topologie $C^r$ avec $r>1$.}). \lqqd \begin{teo}[Ma\~ne \cite{M}] Soit $H(p)$ une classe homocline isol\'ee (elle a une voisinage disjoint des autres classes de r\'ecurrence par cha\^ines) pour un diffeomorphisme $C^1$-g\'en\'erique $f$ d'un surface $M^2$. Alors, $H(p)$ admet un d\'ecomposition domin\'ee. \end{teo} En fait, Ma\~ne d\'emontre dans cette cas, que $H(p)$ est hyperbolique, mais l\`a il y a des autres arguments (aussi tr\`es jolies) qu'on ne va pas discuter ici (voir \cite{CHab}). \dem La preuve consiste essentiellemente \`a faire un argument de g\'en\'ericite qui permettra utiliser le lemme pr\'ec\'edent. On consid\'ere $\{U_n\}_{n\in \ZZ}$ une base de la topologie de $M$ et $\{V_n\}_{n\in \ZZ}$ l'ensemble des unions finies d'elements de $\{U_n\}$. Soit $\cO_n$ l'ensemble ouvert des diffeomorphismes telle que $V_n$ intersect robustement en la topologie $C^1$ au moins deux classes de r\'ecurrence par cha\^ines et soit $\cA_n = \cO_n \cup \overline{\cO_n}^c$ qui est, par definition, un ensemble ouvert et dense dans $\Diff^1(M)$. Soit $\cR = \bigcap_{n} \cA_n$ qui est un ensemble $G_\delta$-dense. Soit $f\in \cR$ et $H(p)$ une classe homocline isol\'ee de $f$. Alors, soit $V_n$ telle que $H(p)$ est isol\'ee dans $V_n$ pour $f$. Comme $f\in \cR$, on a que $f\in \overline{\cO_n}^c$. Si $H(p)$ n'admet pas de decomposition domin\'ee, on peut apliquer le dernier Lemme en utilisant $\cU=\overline{\cO_n}^c$ et $U=V_n$ et on arrive a une contradiction. \lqqd Bref, on peut dire que la ``philosophie'' ici (qui est l'id\'ee derri\`ere \cite{BDP}) est que: \\ \emph{Non domination au sein d'un classe homocline permet bifurquer les points periodiques en puits ou sources}.\\ Quelle est donc la difficulte dans notre cadre?: On ne sait pas si notre classe homocline est accumul\'ee par des puits et de sources (en fait, dans l'example qu'on va raconter apr\`es, le quasi-attracteur est accumul\'e par une infinite des sources). Pour traiter ces probl\`emes, nous allons profiter du fait que les quasi-attracteurs sont satures par des vari\'et\'es instables et une nouvelle resultat perturbatif de Gourmelon (\cite{G}) qui am\'eliore le Lemme de Franks et permet de controler les vari\'et\'es invariantes apr\`es la bifurcation. On ne va pas se met dans les d\'etails (le resultat est montre independement dans le cas de dimension 2 dans \cite{P1}) parce qu'on veut ranconter un peu sur les examples sans attracteurs (qui vont utilizer les id\'ees de cette section). \subsection{Construction des exemples sans attracteurs} L'id\'ee de la construction de l'example que j'ai discut\'e avant est de faire un modification d'un diffeomorphisme d'Anosov lineare du tore $\TT^3$. La construction resemble une construction fait par Carvalho \cite{Car} (voir aussi \cite{BV}). Voici la construction: On commence par choisir une diffeomorphisme d'Anosov lineaire $A$ avec des valeures propres stables complexes et un valeur propre plus grande que $1$. On peut aussi demander que ces valores propres ont de module loin de $1$ (par example, les valeures propre stable a une module plus petit que $1/3$ et le valeur propre instable est de module plus grande que $3$). On fixe $2$ point fixes, qu'on appel $q$ et $r$. On va faire des modifications dans des petits voisinage de $q$. On peut faire des modifications de $A$ dans petites boules disjoints de $p$ et $q$ de telle facon que le diffeomporhisme resultant $f$ a les proprietes suivantes (la vrai construction est un peu plus restrictif): \begin{itemize} \item[-] Le point $q$ devient un selle d'indice stable $1$ et l'inverse du valeur propre estable est plus petit que le valeur propre instable le plus petit. \item[-] On garde une d\'ecomposition domin\'ee $E^{cs}\oplus E^u$ tr\`es proche de la decomposition $E^s\oplus E^u$ du Anosov lineaire $A$. \item[-] On ne modifie pas le diffeomorphisme hors d'un voisinage de $q$ qui ne coupe pas une voisinage fixe de $r$. \end{itemize} On va discuter r\'apidement les \'etapes plus importantes de la preuve de que cet exemple n'a pas des attracteurs pour les dynamiques $C^1$-g\'en\'eriques d'un voisinage $\cU$ de $f$ n'ont pas des attracteurs. \subsubsection{Unicit\'e du quasi-attracteur} L'argument est tr\`es facile et il est un consequence d'une id\'ee due a Bonatti-Li-Yang qui a demontr\'e \^etre tr\`es util. Soit $\Lambda$ un quasi-attracteur pour $g \in \cU$ (petit voisinage de $f$). Alors, il existe $U_n$ voisinages de $\Lambda$ telle que $g(U_n) \en U_n$ et $\bigcap_{n>0} U_n=\Lambda$. La condition de que $g(U_n)\en U_n$ a comme consequence que les vari\'et\'es instables de tout point dans $U_n$ est contenue dans $U_n$. Comme le point $r$ n'est pas modifi\'e, il a un vari\'et\'e stable de taille macroscopique, et alors, on a que tout variete instable forte de longeur $L$ coupe la variete stable de $r$. Comme $U_n$ est invariante pour les iteres futurs, on obtient que $r \in \Lambda$. Alors, on a que pour tout $g\in \cU$, l'ensembre $H(r)\en \overline{W^{uu}(r)} \en \Lambda$. Comme les classes de r\'ecurrence par cha\^ines sont disjoints, on a montr\'e qu'il y a qu'un seul quasi-attracteur (et qu'il contient la variete instable de $r$). \subsubsection{Le point $q$ appartient a $\Lambda$} Pour montrer cette propiete, on utilise une jolie id\'ee de \cite{BV} et le fait que, \'etant $C^0$ proche de l'Anosov lineaire, on a que $\forall g\in \cU$, le diffeomorphisme $g$ est semiconjugue \`a $A$. L'argument de \cite{BV} nous dit le chose suivante: Consider, une disque plong\'ee $D$ telle que il est toujours tangent \`a (une cone contenant) $E^{cs}$. Si on it\'ere le disque au passee, et pour certain iter\'e pass\'ee il contient un disque de rayon macroscopique don\'ee, alors on conlude que $D$ intersecte le variete instable forte de tout point (en particulier, il intersecte $\Lambda$). Comme \`a l'ext\'erieur des petites boules de $p$ et $q$, le differentielle de $g$ est uniformement contractant, on obtient que si un iter\'e pass\'ee de $D$ a un diam\`etre suffisament grande, alors, en prenant plus des iter\'ees pass\'ees on obtient le disque qu'on voulait. Maintenant, prend un voisinage $U$ de $q$ quelconque, et $D$ un disque centre stable tangent \`a une cone centre stable. On va montrer (utilisant l'argument l\`a haut) qu'il existe une iter\'ee pass\'ee de $D$ qui contient un disque de rayon macroscopique (et en consequence, comme $U$ est arbitraire, $q \in \overline \Lambda = \Lambda$). On utilise la semi-conjugaison $h:\TT^3 \to \TT^3$ (qui est $C^0$-proche a l'identite) qui fait $A\circ h = h \circ g$ pour montrer \begin{lema} Soit $C$ un ensemble connexe par arcs telle que $h(C)$ contient au moins $2$ points. Alors, il existe $n\in \ZZ$ telle que $g^n(C)$ a une diam\`etre grand. \end{lema} \dem La preuve est tr\`es simple. Il faut voir que en iterant par $A$ un ensemble connexe qui n'est pas un point, le diam\`etre grandit exponentielement (soit pour le pass\'ee ou le future) jusqu'a arriver a une taille suffisament grande. Comme la semi-conjugaison $h$ est pr\`es de l'identite, on conclude. \lqqd Finalement, en utilisant l'argument de \cite{BV}, on conlut que $q$ appartient a $\Lambda$. \subsubsection{Les diff\'eomorphismes $C^1$-g\'en\'eriques dans $\cU$ n'ont pas des attracteurs} On va utiliser ici les arguments de la section pr\'ecedante. Le r\'esultat de Bonatti et Crovisier \cite{BC} nous dit que la classe homocline de $q$ coincide (pour les diffeomorphismes $C^1$-g\'en\'eriques) avec le seul quasi-attracteur. Une argument de specification (voir \cite{BDP}) nous dit que l'ensemble des points periodiques d'indice stable $1$ et avec determinant centre-stable plus grande que $1$ sont dense dans $\Lambda$. Aussi, on sait que $\Lambda$ n'admet pas de sous d\'ecomposition domin\'ee du fibr\'ee $E^{cs}$. Alors, l'argument de la section precedante nous permet de montrer que on peut creer par des petites perturbations des nouvelles sources pr\`es de $\Lambda$. Un argument de Baire nous permet alors concluire que pour les diffeomorphismes $C^1$-g\'en\'eriques, l'ensemble $\Lambda$ est accumul\'ee par des sources et pourtant, il ne peut pas \^etre une classe de r\'ecurrence par cha\^ines isol\'ee et en consequence, un attracteur. \lqqd Pour montrer que les classes de r\'ecurrence par cha\^ines qui ne sont pas le quasi-attracteur sont contenues dans des disques centre estables p\'eriodiques il faut utiliser des arguments pareils \`a ceux qu'on a utiliser pour montrer que $q\in \Lambda$, mais il faut faire plus de travail technique, en particulier etudier la structure des fibres de la semiconjugation avec l'anosov a l'aide des resultats de \cite{HPS}. Pour plus de details voir \cite{P2}. \begin{thebibliography}{2} % AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA %\bibitem[Ab]{abdenur} F. Abdenur, Generic robustness of spectral decompositions, \emph{Ann. Scient. \'Ec. Norm. Sup.} {\bf 36} (2003) 213--224. %\bibitem[ABC]{ABC} F. Abdenur, C.Bonatti and S. Crovisier, Nonuniform hyperbolicity for $C^1$-generic diffeomorphisms, \emph{Preprint} ArXiv math/0809.3309 (2008). %\bibitem[ABCD]{ABCD} F.Abdenur , C. Bonatti, S. Crovisier and L.Diaz, Generic diffeomorphisms on compact surfaces. \emph{ Fund. Math.} {\bf 187} (2005), 127--159. %\bibitem[ABCDW]{ABCDW} F.Abdenur, C. Bonatti, S. Crovisier, L.Diaz and L.Wen, Periodic points and homoclinic classes. \emph{Ergodic Theory Dynam. Systems} {\bf 27} (2007), 1-22. %\bibitem[ABD]{ABD} F. Abdenur, C. Bonatti and L.Diaz, Nonwandering sets with non empy interior, \emph{Nonlinearity} {\bf 17} (2004), 175--191. %\bibitem[AS]{AS} R. Abraham and S. Smale, Non genericity of $\Omega$-stability, \emph{Global analysis I} Proc. Symp. Pure Math AMS {\bf 14} (1970) 5--8. %\bibitem[AY]{AYorke} K. Alligood and J. Yorke, Accesible saddles on fractal basin boundaries, \emph{Ergodic Theory Dynam. Systems} {\bf 12} (1992) 377--400. %\bibitem[ABV]{ABV}J. Alves, C. Bonatti, M. Viana, SRB measures for partially hyperbolic systems whose central direction is mostly expanding, {\it Invent. Math.}, {\bf 140}(2000), 351--398. \bibitem[A]{A} A. Araujo, \emph{Exist\^encia de atratores hiperb\'olicos para difeomorfismos de superf\'icie}, Thesis IMPA (1987) %\bibitem[AK]{Anosov Katok} D.~V.~Anosov, A.~B.~Katok. New examples in smooth ergodic theory. Ergodic diffeomorphisms.\textit{Trans.\ Moscow Math.\ Soc.\ }23 (1970), 1-35. % \bibitem[AM]{Arbieto Matheus} A.~Arbieto, C.~Matheus. A pasting lemma and some applications for conservative systems.\textit{Ergod.\ Th.\ Dynam.\ Sys.\ }27 (2007), no. 5, 1399--1417. %\bibitem[ABC]{ABC} M.-C. ARNAUD, C. BONATTI and S. CROVISIER,\textit{Dynamiques symplectiques g\'en\'eriques},Ergod. Th. \& Dynam. Sys. \textbf{25} (2005), 1401--1436. % \bibitem[A]{Avila} A.~Avila. On the regularization of conservative maps. Preprint Acta Math. %\bibitem[AB]{AvBoc} A. Avila and J. Bochi, \emph{A generic $C^1$ map has no absolutely continuous invariant probability measure}, Nonlinearity \textbf{19}, 2717-2725, (2006). %BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB %\bibitem[Boc]{Boc} J. Bochi, {\em Genericity of zero Lyapunov exponents,\/} Ergod. Th. \& Dynam. Sys., {\bf 22}, 1667--1696, (2002). %\bibitem[BV]{BV} J. Bochi et M. Viana, {\em Uniform (projective) hyperbolicity or no hyperbolicity: a dichotomy for generic conservative maps,\/} Ann. Inst. H. Poincar\'e Anal. Non Lin\'eaire {\bf 19}, 113--123, (2002). %\bibitem[Boc2]{Boc2} J. Bochi, \emph{$C^1$-generic symplectic diffeomorphisms: partial hyperbolicity and zero center Lyapunov exponents}, preprint PUC-RJ (2008). ArXiv: 0801.2960. %\bibitem[BocV]{BocV} J. Bochi and M. Viana, \emph{The Lyapunov exponents of generic volume-preserving and symplectic diffeomorphisms}, Ann. of Math. \textbf{161}, 1423-1485, (2005). %\bibitem[BG]{BG} {J.~Bochi, N.~Gourmelon.} Some characterizations of domination. Preprint arXiv: 0808.3811. \bibitem[B]{B} C. Bonatti, Towards a global view of dynamical systems, for the $C^1$-topology, \emph{Preprint} Prepublications IMB \emph{589} (2010). %\bibitem[B]{Bon} C. Bonatti, \emph{Clases isol\'ees des diffeomorphismes $C^1$ generiques }, Mini course notes available at http://dnh.wikidot.com/resume-bonatti (2009) \bibitem[BC]{BC} C. Bonatti and S. Crovisier, R\'ecurrence et G\'en\'ericit\'e, \emph{Inventiones Math.} {\bf 158} (2004), 33--104. %\bibitem[BD]{BD} C. Bonatti y L.J. D{\'\i}az, Persistence of transitive diffeomorphisms, \emph{Annals of Math.},{\bf 143} (1996), 357-396. %\bibitem[BD2]{BDrobustcycles} C. Bonatti and L. J. Diaz, Robust heterodimensional cycles, \emph{J. Inst. Math. Jussieu} (2009) \bibitem[BD]{BD} Ch. Bonatti et L.J. D\'\i az, {\em Connexions h\'et\'eroclines et g\'en\'ericit\'e d'une infinit\'e de puits ou de sources,\/} Ann. Sci. \'Ecole Norm. Sup., {\bf 32}, 135--150, (1999). \bibitem[BD2]{BD2} C. Bonatti and L.Diaz, On maximal transitive sets of generic diffeomorphisms, \emph{Publ. Math. IHES} {\bf 96} (2002), 171--197 %\bibitem[BD2]{BD} C. Bonatti and L. Diaz, Abundance of $C^1$-robust homoclinic tangencies, \emph{Preprint} ArXiv 0909.4062 (2009) \bibitem[BDP]{BDP} C.Bonatti, L.Diaz and E. Pujals, A $C^1$ generic dichotomy for diffeomorphisms: weak forms of hyperbolicity or infinitely many sinks or sources, \emph{Annals of Math} {\bf 158} (2003), 355--418. %\bibitem[BDPR]{bonatti-diaz-pujals-rocha} C. BONATTI, L. D\'IAZ, E. PUJALS and J. ROCHA,\textit{Robustly transitive sets and heterodimensional cycles,} Geometric methods in dynamics I. Ast\'erisque \textbf{286} (2003), 187--222. \bibitem[BLY]{BLY} C.Bonatti, M.Li and D.Yang, On the existence of attractors, \emph{Preprint} ArXiv 0904.4393 (2009) %\bibitem[BDV]{BDV} C. Bonatti, L. Diaz and M.Viana, \emph{Dynamics Beyond Uniform Hyperbolicity. A global gemoetric and probabilistic perspective}, Encyclopaedia of Mathematical Sciences {\bf 102}. Mathematical Physics III. Springer-Verlag (2005). %\bibitem[BGV]{BGV} C. Bonatti, N.Gourmelon and T. Vivier, Perturbations of the derivative along periodic orbits, \emph{Ergodic Theory and Dyn. Syst} {\bf 26} (2006), 1307--1337. %\bibitem[BGY]{BGY} C. Bonatti, S.Gan and D. Yang, On the hyperbolicity of homoclinic classes, \emph{Disc. and Cont. Dyn. Syst. A} {\bf 25} (2009) 1143--1162. %\bibitem[BGW]{bonatti-gan-wen} C. BONATTI, S. GAN and L. WEN, \textit{On the existence of non-trivial homoclinic classes,} preprint (2005). %\bibitem[BMVW]{BMVW} C.~Bonatti, C.~Matheus, M.~Viana, A.~Wilkinson. Abundance of stable ergodicity. \textit{Comment.\ Math.\ Helv.\ }79 (2004), 753--757. \bibitem[BV]{BV} C. Bonatti and M.Viana, SRB measures for partially hyperbolic diffeomorphisms whose central direction is mostly contracting. \emph{Israel J. of Math} {\bf 115} (2000), 157--193. %\bibitem[BW]{BW} C. Bonatti and A. Wilkinson, Robustly transitive in dimension 3 (???). \emph{Topology} (200-). \bibitem[BF]{BF} J. Buzzi and T. Fisher, \emph{in preparation}. See http://jbuzzi.files.wordpress.com/2009/09/pku-2009-08-21.pdf %\bibitem[Bo]{Bo} R. Bowen, {\em Equilibrium states and the ergodic theory of Axiom A diffeomorphisms,\/} Lect. Notes in Mathematics, {\bf 470}, Springer-Verlag (1975). %\bibitem[Bow]{Bow} R. Bowen, \emph{Periodic points and measures for Axiom A diffeomorphisms}, Trans. Amer. Math. Soc. \textbf{154}, 377-397, (1971). %\bibitem[BP]{brin-pesin} M. BRIN and Y. PESIN, \textit{Partially hyperbolic dynamical systems,} Math. USSR Izvestija \textbf{8} (1974), 177--218. %\bibitem[Br]{Brin} M. Brin, Topological transitivity of a certain class of dynamical systems, and flows of frames on manifolds of negative curvature. (Russian) \emph{Funkcional. Anal. i Prilo\v zen} {\bf 9} (1975), 9--19. % \bibitem[BuDP]{Burns Dolgo Pesin} {K.~Burns, D.~Dolgopyat, Y.~Pesin.} Partial hyperbolicity, Lyapunov exponents, and stable ergodicity.\textit{J.\ Stat.\ Phys.\ }109 (2002), 927--942. % \bibitem[BDPP]{BDPP} {K.~Burns, D.~Dolgopyat, Y.~Pesin, M.~Pollicott.} Stable ergodicity for partially hyperbolic attractors with negative central exponents. \textit{J.\ Mod.\ Dyn.\ }2 (2008), 63--81. % \bibitem[BW]{Burns Wilk} {K.~Burns, A.~Wilkinson.} On the ergodicity of partially hyperbolic systems. To appear in \textit{Annals of Math.} %CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC %\bibitem[CM]{CM} C. M. Carballo y C. A. Morales, Homoclinic classes and finitude of attractors for vector fields on $n$-manifolds. \emph{Bull. London Math. Soc.} {\bf 35} (2003), 85--91. %\bibitem[CMP]{CMP} C. M. Carballo , C. A. Morales and M. J. Pacifico, Homoclinic classes for generic $C\sp 1$ vector fields, \emph{Ergodic Theory Dynam. Systems} {\bf 23} (2003), 403--415. \bibitem[Car]{Car} M. Carvalho, Sinai-Ruelle-Bowen measures for N-dimensional derived from Anosov diffeomorphisms, \emph{Ergodic Theory and Dynamical Systems}{\bf 13} (1993) 21--44. %\bibitem[Co]{conley} C. CONLEY, \textit{Isolated invariant sets and Morse index}, CBMS Regional Conference Series in Mathematics {\bf 38}, AMS Providence (1978). %\bibitem[C1]{Cpartial} S. Crovisier, Partial hyperbolicity far from homoclinic bifurcations, \emph{Preprint} Arxiv math/0809.4965 (2008) \bibitem[C]{CHab} S. Crovisier, Perturbation de la dynamique de difféomorphismes en topologie $C^1$, \emph{Preprint} arXiv:0912.2896 (2009) %\bibitem[C]{C} S. Crovisier, Periodic orbits and chain transitive sets of $C^1$ diffeomorphisms, \emph{Publ. Math. IHES} {\bf 104} (2006), 87--141. %\bibitem[CP]{CP} S. Crovisier and E. Pujals, Essential hyperbolicity versus homoclinic bifurcations, \emph{in preparation}. \bibitem[C2]{C2} S. Crovisier, Birth of homoclinic intersections: a model for the central dynamics of partially hyperbolic systems. \emph{Preprint} ArXiv math/0605387 (2006) \`a appara\^itre dans \emph{Annals of Math.} % DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD %\bibitem[D]{D} A.Dold, \emph{Lectures on Algebraic Topology}, Springer-Verlag (1980) %\bibitem[D1]{D1} L. J. Diaz Robust nonhyperbolic dynamics at heterodimensional cycles. {\em Ergodic Theory and Dynamical Systems}, {\bf 15} (1995), 291--315. %\bibitem[D2]{D2} L.J.Diaz Persistence of cycles and nonhyperbolic dynamics at heteroclinic bifurcations. {\em Nonlinearity}, {\bf 8} (1995), 693--715. %\bibitem[DPU]{DPU} L. J. Diaz, E. R. Pujals, R. Ures, Partial hyperbolicity and robust transitivity, {\em Acta Mathematica}, {\bf 183} (1999), 1--43. %\bibitem[DR]{DR} L.J. D\'\i az and J. Rocha, {\em Partially hyperbolic and transitive dynamics generated by heteroclinic %cycles,\/} Ergodic Th. and Dyn. Syst., {\bf 25}, 25-76, (2001). %\bibitem[DS]{DS} L.J. D\'\i az and B. Santoro, {\em Collision, explosion and collapse of homoclinic classes,\/} in %preparation and Master thesis PUC-Rio (2001). % \bibitem[DP]{Dolgo Pesin} {D.~Dolgopyat, Y.~Pesin.} Every compact manifold carries a completely hyperbolic diffeomorphism. \textit{Ergod.\ Th.\ Dynam.\ Sys.\ }22 (2002), 409--435. % \bibitem[DW]{DW} D. Dolgopyat y A. Wilkinson, Stable accessibility is $C\sp 1$ dense. \emph{Geometric methods in dynamics. II}. \emph{Ast\'erisque} No. 287 (2003), xvii, 33--60. %\bibitem[D]{demelo} W. DE MELO, \textit{Structural stability of diffeomorphisms on two-manifolds}, %Invent. Math. \textbf{21} (1973), 233--246. %EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE %FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF %\bibitem[Fi]{Fisher} T. Fisher, Hyperbolic sets with nonempty interior. \emph{Discrete Contin. Dyn. Syst.} {\bf 15} (2006), 433--446. %\bibitem[F1]{FranksAnosov} J. Franks, Anosov diffeomorphisms, \emph{Proc. Sympos. Pure Math.}, vol. 14 (1970), 61--93. %\bibitem[F2]{frankslema} J. Franks, Necessary conditions for stability of diffeomorphisms, \emph{Transactions of the A.M.S.} {\bf 158} (1971), 301-308 . %\bibitem[FR]{FR} J. Franks and C. Robinson, A Quasi-Anosov Diffeomorphism that is not Anosov. \emph{Trans. Am. Math.Soc.}, {\bf 233} (1976), 267--278, %\bibitem[Fu]{Fu} H. Furstenberg, {\em Strict ergodicity and transformations of the torus,\/} Amer. J. of Math., {\bf 83}, %573-601, (1961). %GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGg %\bibitem[G]{G} S. Gan, \emph{Horseshoe and entropy for $C^1$ surface diffeomorphisms}, Nonlinearity \textbf{15}, 841-848, (2002). %\bibitem[GW]{ganwen} G. GAN and L. WEN, {\em Heteroclinic cycles and homoclinic closures for generic %diffeomorphisms,\/} %J. Dynam. Differential Equations \textbf{15} (2003), 451--471. %\bibitem[Gou1]{GourmelonAdaptada} N. Gourmelon, Addapted metrics for dominated splitting, \emph{Ergod. Th. and Dyn. Sys.} {\bf 27} (2007), 1839-1849. % \bibitem[Gou2]{Gou2} N. Gourmelon, Generation of homoclinic tangencies by $C^1$ perturbations. \emph{Prepublications of the Institute Math. de Bourgogne} 502 (2007). To appear at Discrete and Continuous Dynamical Systems. \bibitem[G]{G} N. Gourmelon, A Franks' lemma that preserves invariant manifolds, \emph{Preprint IMPA} D051 (2008). %HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH %\bibitem[H]{hartman}P. Hartman, Ordinary differential equations, \emph{Wiley}, New York (1964). %\bibitem[Hay]{Hay} S. Hayashi, Connecting invariant manifolds and the solution of the $C^1$-stability and $\Omega$-stability for flows.,\emph{ Ann. of math.}, {\bf 145}, (1999) {81}-{137},. %\bibitem[Hat]{Hat} A. Hatcher, \emph{Algebraic Topology},Cambridge University Press, (2002) %\bibitem[HeHi]{HeHi} G. Hector and U. Hirsch, \emph{Introduction to the Geometry of Foliations, Part B}, Aspects of Math. (1983) \bibitem[HPS]{HPS} M. Hirsch, C. Pugh and M. Shub, Invariant Manifolds, \emph{Springer Lecture Notes in Math.}, {\bf 583} (1977). %\bibitem[HT]{HoT} V. Horita and A. Tahzibi, \emph{Partial hyperbolicity for symplectic diffeomorphisms}, Ann. Inst. Henri Poincar\'e. Anal. Non Lin. \textbf{23}, 641-661, (2006). %\bibitem[Hu]{Hu} M. Hurley, {\em Attractors: persistence, and density of their basins,\/} Trans. Amer. Math. Soc., {\bf 269}, 271--247, (1982). %\bibitem[HiWa]{HiWa} W. Hsiang and C.T.C. Wall, On homotopy tori II., \emph{Bull. London Math. Soc.}, {\bf 1} (1969), 341--342. %\bibitem[HW]{HW} W. Hurewicz and H. Wallman, \emph{Dimension Theory (Princeton Math. Series 4)}, Princeton University Press (1948). % IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII % JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ %KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK %\bibitem[K]{katoksurface} A. Katok, Bernoulli diffeomorphisms on surfaces, \emph{Ann. of Math.} {\bf 110} (1979), 529--547. %\bibitem[Ka]{katok} A. KATOK, \textit{Lyapunov exponents, entropy and periodic orbits for diffeomorphisms,} Inst. Hautes \'Etudes Sci. Publ. Math. \textbf{51} (1980), 137--173. %\bibitem[KH]{KH} A. Katok and B. Hasselblatt, \emph{Introduction to the modern theory of dynamical systems}, Cambridge University Press (1995). %\bibitem[Kup]{KupkaKupkaSmale} I. Kupka, Contribution \`a la th\'eorie des champs g\'en\'eriques. \emph{Contributions to Differential Equations} {\bf 2} (1963) 457--484. %LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL %\bibitem[L1]{L1} J. Lewowicz, Persistence in expansive systems.,\emph{Ergodic Theory and Dynamical Systems}, {\bf 3} (1983),567--578. %\bibitem[L2]{L2} J. Lewowicz, Expansive Homemorphisms of Surfaces, \emph{Bol. Soc. Bras. de Mat.}, {\bf 20} (1989), 113--133, %\bibitem[L]{liao} S. LIAO, \textit{On the stability conjecture,} Chinese Ann. Math. \textbf{1} (1980), 9--30. % MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM %\bibitem[M1]{contributions} R. Ma\~ne, Contributions to the stability conjecture, \emph{Topology} {\bf 17} (1978), 383--396. \bibitem[M]{M} R. Ma\~ne, An ergodic closing lemma, \emph{Annals of Math} {\bf 116} (1982), 503--540. %\bibitem[M3]{teoriaergodica} R. Ma{\~n}e, Teoria Erg{\'o}dica,\emph{Projeto Euclides, CNPq IMPA} (1983). %\bibitem[M4]{stabilityconjecture} R. Ma{\~n}e, A proof of the $C^1$ stability conjecture, \emph{ Publ. Math. IHES},{\bf 66} (1987), 161-210. %\bibitem[M$_2$]{M3} R. Ma\~n\'e \emph{Oseledec's theorem from the generic viewpoint,} Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Warsaw, 1983) vols. \textbf{1-2}, 1269-1276, (1984). % \bibitem[M$_3$]{M4} R. Ma\~n\'e, \emph{Ergodic Theory and Differentiable Dynamics}, Springer-Verlag, (1987). %\bibitem[Ma]{Mather} J. Mather, Topological proofs of some purely topological consequences of Caratheodory's theory of prime ends.Th. M. Rassias and G.M. Rassias eds, \emph{Selected studies} North-Holland (1982) 225--250 \bibitem[Mil]{Milnor} J. Milnor, On the concept of attractor, \emph{Comm. Math. Physics} {\bf 99} (1985) no.2 177--195. %\bibitem[Mi]{Mi} J. Milnor, On the concept of attractor, {\it Commum. Math. Phys.}, {\bf 99} (1985), 177--195. %\bibitem[Mil]{milnor}J. Milnor, Topology from the differentiable viewpoint, \emph{The University press of Virginia} (1965). %\bibitem[MV]{MV} L. Mora, M. Viana, Abundance of strange attractors, {\em Acta Math.}, {\bf 171} (1993), 1--71. %\bibitem[MP]{MP} C. Morales and M.J. Pacifico, Lyapunov stability of $\omega$-limit sets, \emph{Discrete and continuous dynamical systems} {\bf 8} (2002) 671--674. %NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN %\bibitem[N]{N} S. Newhouse, On codimension one Anosov diffeomorphisms, \emph{Amer. Jour. of Math.}, {\bf 92} (1970),761--770. % \bibitem[New]{NewhouseHyperbolic} S. Newhouse, Hyperbolic Limit Sets, \emph{Transactions of the A.M.S} {\bf 167} (1972), 125--150. %\bibitem[N$_{1}$]{newhouse-thesis} S. NEWHOUSE, \textit{Nondensity of axiom ${\rm A}({\rm a})$ on $S\sp{2}$,}Global analysis I, Proc. Symp. Pure Math. AMS \textbf{14} (1970), 191--202. %\bibitem[N$_2$]{newhouse-puits} S. NEWHOUSE, \textit{Diffeomorphisms with infinitely many sinks}, %Topology \textbf{13} (1974), 9--18. %\bibitem[N$_2$]{N2} S. Newhouse, {\em Quasi-elliptic periodic points in conservative dynamical systems,\/} Amer. J. Math., {\bf 99}, 1061--1087, (1977). %\bibitem[N$_3$]{newhouse-tangences} S. NEWHOUSE, \textit{The abundance of wild hyperbolic sets and nonsmooth stable sets for diffeomorphisms}, %Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. \textbf{50} (1979), 101--151. %\bibitem[N$_{2}$]{newhouse-homocline} S. NEWHOUSE, \textit{Lectures on dynamical systems,} Dynamical systems, CIME. Lect., Bressanone 1978, Progress in Mathematics \textbf{8}, Birk\"auser (1980), 1--114. %\bibitem[N]{NewhouseConos} S. Newhouse; Cone fields, domination and hyperbolicity, \emph{Modern Dynamics and its Applications} M.Brin,B. Hasselblat and Y. Pesin editors. \emph{Cambridge Press} (2003) 419--432 % OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO %\bibitem[O]{O}V.I. Oseledec, A multiplicative ergodic theorem, Lyapunov characteristic numbers for dynamical systems, {\it Trudy Moskov.Mat. Ob\v s\v c.}, {\bf19}(1968), 119¨C210. %\bibitem[OU]{OU} J. C. Oxtoby et S. M. Ulam, {\em Measure-preserving homeomorphisms and metrical transitivity,\/} Ann. of Math., {\bf 42}, 874--920, (1941). % PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP %\bibitem[PPV]{ppv} M.J. Pacifico, E. Pujals y J. Vieitez, Robustly expansive homoclinic classes, \emph{Ergodic Theory and Dyn. Syst.} {\bf 25} (2005), 271-300. %\bibitem[PaSm]{palissmale} J. Palis y S.Smale, Structural Stability Theorems \emph{Global Analysis, Proc. Symp. in Pure Math. A.M.S} vol. 14 (1970), 223--231. %\bibitem[PT]{PT} J. Palis and F. Takens, \emph{Hyperbolicity and sensitive chaotic dynamics at homoclinic bifurcations}, Cambridge studies in advanced mathematics, {\bf 35}, Cambridge University Press (1993). %\bibitem[Pa$_{1}$]{palis-morse-smale} J. PALIS, \textit{On Morse-Smale dynamical systems,} topology \textbf{8} (1969), 385--405. %\bibitem[P]{palis} J. PALIS, \textit{On the $C\sp 1$ $\Omega$-stability conjecture}, Publ. Math. %Inst. Hautes \'Etudes Sci. \textbf{66} (1988), 211--215. %\bibitem[Pa]{Pa} J. Palis, {\em A note on $\Om$-stability,\/} Global Analysis, Proc. Sympos. Pure Math., {\bf 14}, A.M.S. Providence R. I., (1970). %\bibitem[PP]{PP} J. Palis et C. Pugh, {\em Fifty problems in dynamical systems,\/} Lect. Notes in Math., {\bf 468}, Springer-Verlag, 345--353, (1975). %\bibitem[PV]{PV} J. Palis and M. Viana, High dimensional diffeomorphisms displaying infinitely many periodic attractors, \emph{Annals of Math} {\bf 140} (1994) 207--250. %\bibitem[Pe]{Pe} Ya. Pesin, \emph{Characteristic Lyapunov exponents and smooth ergodic theory,} Russian Mathematical Surveys \textbf{324}, 55-114, (1977). %\bibitem[Pl]{pliss} V. Pliss, On a conjecture of Smale, \textit{Differencialnye Uravnenija} \textbf{8} (1972), 268--282. %\bibitem[Pl]{Pl} R. V. Plykin, Hyperbolic attractors of diffeomorphisms, {\it Usp. Math. Nauk}, {\bf 35} (1980), no. 3, 94--104. [English Transl.: Russ. Math. Survey, {\bf 35} (1980), no. 3, 109--121.] %\bibitem[Ply]{Plykin} R.V. Plykin. Sources and currents of A-diffeomorphisms of surfaces. \emph{Math. USSR Sbornik} {\bf 94} (1974) 243--264. %\bibitem[PotS]{PotS} R. Potrie and M. Sambarino, Codimension one generic homoclinic classes with interior, \emph{Preprint} Arxiv math/0806.3036 (2008) To apear in \emph{Bull. Braz. Math. Soc. N.S.} \bibitem[P1]{P1} R. Potrie, Generic bi-Lyapunov stable homoclinic classes, \`a appara\^itre dans \emph{Nonlinearity}. Preprint disponible a arXiv (2009). \bibitem[P2]{P2} R. Potrie, Non existence of attractors and dynamics around wild homoclinic classes, \emph{preprint} arXiv (2010) \bibitem[PS]{PS} E. Pujals and M. Sambarino, Homoclinic tangencies and hyperbolicity for surface diffeomorphisms, \emph{Annals of Math} {\bf 151} (2000) 961--1023. % \bibitem[PS2]{variatonofentropy}E.R. Pujals y M. Sambarino, On homoclinic tangencies, hyperbolicity, creation of homoclinic orbits , and variation of entropy , \emph{Nonlinearity} {\bf 13} (2000), 921-926. %\bibitem[PS3]{dominatedsplitting} E.R. Pujals y M. Sambarino, Homoclinic Bifurcations, Dominated Splitting and Robust Transitivity, \emph{Handbook of Dynamical Systems} Eds: B. Hasselblatt y A.Katok, Vol 1B (2006) Cap{\'\i}tulo 4, p.327-378. %\bibitem[PS4]{minimalfoliations} E.R. Pujals y M. Sambarino, A suficient condition for robustly minimal foliations, \emph{ Ergodic Theory and Dynamical Systems} {\bf 26} (2006) 281-289. %\bibitem[PS5]{onthedinamics}E.R. Pujals y M. Sambarino, On the dynamics of dominated splitting, \emph{Annals of Math.} (2009). %\bibitem[PS2]{PS2} E.R. Pujals and M. Sambarino, Integrability on codimension one dominated splitting, \emph{Bull. Braz. Math. Soc., N.S.} {\bf 38} (2007) 1-19. %\bibitem[Pu]{closing} C. Pugh, The closing lemma, \emph{Amer. J. Math} {\bf 89}, 956-1009, (1967). % \bibitem[Pu2]{pughdensity} C. Pugh, An improved closing lemma and a general density theorem, \emph{Amer. J. Math} {\bf 89}, 1010-1021, (1967). % \bibitem[PR]{PuRo} C. Pugh et C. Robinson, {\em The $C^1$-closing lemma, including Hamiltonians,\/} Ergod. Th. \& Dynam. Sys., {\bf 3}, 261--314, (1983). %\bibitem[Pu$_2$]{Pu2} C. Pugh, \emph{The $C\sp{1+\alpha }$ hypothesis in Pesin theory}, Inst. Hautes \'Etudes Sci. Publ. Math. \textbf{59} (1984), 143--161. %\bibitem[PS1]{Pugh Shub 97} {C.~Pugh, M.~Shub.} Stably ergodic dynamical systems and partial hyperbolicity. \textit{J.\ of Complexity} 13 (1997), 125--179. % \bibitem[PS]{Pugh Shub JEMS} {C.~Pugh, M.~Shub.} Stable ergodicity and julienne quasiconformality. \textit{J.\ Eur.\ Math.\ Soc.\ }2 (2000), 125--179. % \bibitem[PSW]{Pugh Shub Wilk} {C.~Pugh, M.~Shub, A.~Wilkinson.} H\"older foliations. \textit{Duke Math.\ J.\ }86 (1997), 517--546. % QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQq %RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR %\bibitem[R]{R} W. Reddy, Expansive canonical coordinates are hyperbolic, \emph{Topology and its Appl.},{\bf 13} (1982), 327--334. %\bibitem[Rud]{rudin} W. Rudin, Análisis Funcional, \emph{Ed. Reverte} (1979) %\bibitem[R]{robin} J. ROBBIN, \textit{A structural stability theorem}, Ann. of Math. \textbf{94} %(1971), 447--493. %\bibitem[R$_1$]{robinson} C. ROBINSON, \textit{Generic properties of conservative systems}, %Amer. J. Math. \textbf{92} (1970), 562--603 and 897--906. %\bibitem[R$_2$]{robinsonstabilite1} C. ROBINSON, \textit{$C^r$-structural stability implies Kupka-Smale}, %Dynamical systems (Proc. Sympos., Univ. Bahia, Salvador, 1971), 443--449, Academic Press, New York (1973). %\bibitem[R$_3$]{robinsonstabilite2} C. ROBINSON, \textit{Structural stability of $C^1$-diffeomorphisms}, %J. Diff. Equ. \textbf{22} (1976), 28-73. \bibitem[R]{Rob} C. Robinson, \emph{Dynamical Systems, Stability, symbolic dynamics and Chaos} CRS Press (1995). %%\bibitem[R]{Ro} N. Romero, %{\em Persistence of homoclinic tangencies in %higher dimensions,\/} %Erg. Th. Dyn. Syst., {\bf 15}, 735-759, (1995). %\bibitem[R]{Ru} D. Ruelle, \emph{A measure associated with Axiom A attractors,} American Journal of Mathematics \textbf{98}, 619-654, (1976). % SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSss %\bibitem[Sh1]{ejshub} M. Shub, Topologically transitive diffeomorphisms of $\mathbb{T}^4$, \emph{Lecture Notes in Math.}, {\bf 206}, \emph{Springer- Verlag} (1971). %\bibitem[Sh2]{shub}M. Shub, Global Stability of Dynamical Systems, \emph{Springer-Verlag} (1987). %\bibitem[Sm1]{herradura}S. Smale, Diffeomorphisms with many periodic points, \emph{Differential and Combinatorial Topology}, Princeton Univ. Press, (1964), 63-80. %\bibitem[Sm1]{SmaleKupkaSmale}S. Smale, Stable manifolds for differential equations and diffeomorphisms. \emph{Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa} {\bf 17} (1963) 97--116. %\bibitem[S]{smale} S. Smale, Differentiable dynamical systems,\emph{Bull. Amer. Math. Soc.} \textbf{73} (1967), 747--817. %TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT %UUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU %VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVv %\bibitem[V4]{V4} J.L. Vieitez, Lyapunov functions and expansive diffeomorphisms on 3D manifolds. \emph{Ergodic Theory and Dynamical Systems}, {\bf 22} (2002), 601--632. %WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWww %\bibitem[W]{W} P. Walters, Anosov diffeomorphisms are topologically stable, \emph{Topology} {\bf 9} (1970) 71--78. %\bibitem[W1]{W} L. Wen, Homoclinic tangencies and dominated splittings, \emph{Nonlinearity} {\bf 15} (2002), 1445--1469. %\bibitem[W2]{W2} L. Wen, Generic diffeomorphisms far away from homoclinic tangencies and heterodimensional cycles, \emph{Bol. Soc. Bras. Mat.} {\bf 35} (2004). %\bibitem[W2]{wen} L. Wen, The selecting lemma of Liao,\emph{Disc.and Cont. Dyn. Sys.} {\bf 20} (2008) 159-175. %\bibitem[WX]{WeXi} L. Wen et Z. Xia, {\em $C^1$-connecting lemmas,\/} Trans. Amer. Math. Soc., {\bf 352}, 5213--5230, (2000). %XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXx %\bibitem[X]{X} Z. Xia, \emph{Homoclinic points in symplectic and volume-preserving diffeomorphisms}, Comm. Math. Phys. \textbf{177}, 435-449, (1996). %YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY %\bibitem[Y]{Y} J.Yang, Lyapunov stable homoclinic classes, \emph{Preprint IMPA} A565 (2007). %ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ \end{thebibliography} %\begin{tabbing} %Universidad de la Republica, \hspace{1cm}\= Universidad de la %Republica, \kill %R. Potrie\\ %Centro de Matematica, \\ %Facultad de Ciencias,\\ %Igua 4225 esq. Mataojo \\ %Universidad de la Republica, \\ %Montevideo, Uruguay \\ %{\it rpotrie@cmat.edu.uy}, % %\end{tabbing} %TAMANHO DE LETRA %\tiny 5 5 %\scriptsize 7 7 %\footnotesize 8 8 %\small 9 9 %\normalsize 10 10 %\large 12 12 %\Large 14 14.40 %\LARGE 18 17.28 %\huge 20 20.74 %\Huge 24 24.88 \end{document}