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\newtheorem{eje}{Ejercicio}

\begin{document}
\pagestyle{plain}

{\bf \begin{flushleft} Universidad de la Rep\'{u}blica\\

Facultad de Ciencias  \\


CMAT \end{flushleft}


\begin{flushright} Introducci\'on a la Geometr\'ia Diferencial
\\  2007

\end{flushright}}



\begin{center}
\begin{large}
 {\bf Pr\'{a}ctico  \ 0}
\end{large}

\end{center}

\vspace*{2mm}
\begin{enumerate}

\item (1.14 de [H]\footnote{R.Hartshorne, \emph{Algebraic
Geometry}, Springer Verlag (1977).}) \underline{\emph{Soporte:}}
Sea $\F$ un haz en $X$ espacio topol\'ogico y $s \in \F(U)$.
Definimos el soporte de $s$ como $Sop(s)= \{ p \in U \ : \ s_p
\neq 0\}$ ($s_p$ denota el germen de $s$ en la fibra $\F_p$).
Demostrar que $Sop(s)$ es un cerrado en $U$. Definimos el soporte
de $\F$ como $Sop(\F)= \{ p \in X \ : \ \F_p \neq \{0\} \}$. ?`Es
el soporte de $\F$ necesariamente cerrado?.


\item (1.13 de [H])\underline{\emph{Espacio \'etal\'e de un
prehaz:}} Dado un prehaz $\F$ en $X$ definimos el espacio
topol\'ogico $Spe(\F)$ (el \emph{espacio \'etal\'e} de $\F$) de la
siguiente manera. Como conjunto, $Spe(\F)= \bigcup_{p \in X}
\F_p$. Para darle la topolog\'ia, definiremos un par de mapas.
$\pi : Spe(\F) \to X$ la proyecci\'on est\'a dada por $\pi (s_p)
=p$. Dado $U$ abierto y $s \in \F(U)$ definimos $\overline s : U
\to Spe(\F)$ de forma tal que $\overline s (p) = s_p$. Le damos
entonces a $Spe(\F)$ la topolog\'ia m\'as fuerte que hace a todas
las funciones $\overline s$ (con $U$ abierto y $s \in \F(U)$)
continuas \footnote{Esto es similar a la topolog\'ia cociente.}.


Probar que $\F^{+}$ el haz asociado al prehaz $\F$ puede ser
descripto de la siguiente forma: $\forall U \en X$ abierto,
$\F^{+}(U)$ es el conjunto de las secciones continuas de $Spe(\F)$
sobre $U$ (una secci\'on de $Spe(\F)$ sobre $U$ es una funci\'on
$h: U \to Spe(\F)$ que cumple $\pi \circ h = id_U$). En
particular, el prehaz $\F$ es un haz si y solo si $\forall U$
abierto, $\F(U)$ es igual al conjunto de secciones continuas de
$Spe(F)$ sobre $U$.

\item
\begin{itemize}
\item[a)] Sea $f: X \to Y$ un mapa continuo entre espacios
topol\'ogicos. Dado un prehaz $\F$ en $X$ definimos su
\emph{im\'agen directa} $f_{\ast}\F$ como un prehaz en $Y$ dado
por $(f_{\ast}\F)(V)= \F(f^{-1}(V))$ $\forall V$ abierto en $Y$.
Probar que esto define efectivamente un prehaz y probar que si
$\F$ es un haz, $f_{\ast}\F$ tambi\'en lo es.

\item[b)] Dado un haz $\G$ en $Y$ definimos su \emph{im\'agen
inversa} $f^{-1} \G$ como el haz asociado al prehaz $\F$ dado por
$\F(U)= \lim_{V\supseteq f(U)} \G(V)$ donde $U$ es un abierto
cualquiera de $X$ y el l\'imite se considera en todos los abiertos
$V$ de $Y$ que contienen a $f(U)$. Probar que el prehaz est\'a
bien definido y estudiar el caso en que $f$ sea un homeomorfismo.
\end{itemize}

\item (1.17 de [H])\underline{\emph{Haz rascacielos:}} Sea $X$ un
espacio topol\'ogico, $p \in X$ y sea $A$ un grupo abeliano.
Definimos un haz $i_p(A)$ en $X$ dado por

\[i_p(A)(U)=\left\{\begin{array}{cll}
  A & si & p \in U \\
  \{0\} & si & p \notin U \\
\end{array}\right.
\]

Hallar $(i_p(A))_q$ $\forall q \in X$. ?`Para qu\'e $q \in X$ se
cumple que $(i_p(A))_q \neq \{0\}$?. Probar que podr\'iamos haber
definido este haz como $i_{\ast}(A)$ (la im\'agen directa de $A$
por el mapa $i$) donde $A$ es el haz constante en $\overline{
\{p\}}$ y $i:\overline{ \{p\}} \to X$ es la inclusi\'on.

\item (1.22 de [H])\underline{\emph{Pegado de haces:}}  Sea $X$ un
espacio topol\'ogico y $\mathcal{U}= \{U_i\}_{i \in I}$ un
cubrimiento abierto de $X$. Supongamos que $\forall i$ existe un
haz $\F_i$ de $U_i$ y que $\forall i,j$ existen isomorfismos
$\varphi_{ij}: \F_i|_{U_i \cap U_j} \to \F_j|_{U_i \cap U_j}$ de
forma tal que $\varphi_{ii}= id$ $\forall i$ y se cumple que
$\forall i,j,k$, $\varphi_{ik}= \varphi_{jk}\circ \varphi_{ij}$ en
$U_i \cap U_j \cap U_k$.

Probar que entonces existe un \'unico haz $\F$ en $X$ y tambi\'en
isomorfismos $\psi_i: \F|_{U_i} \to \F_i$ tal que $\forall i,j$ se
cumple $\psi_j= \varphi_{ij} \circ \psi_i$ en $U_i \cap U_j$.

Decimos que $\F$ se obtuvo \emph{pegando} los haces $\F_i$
mediante los isomorfismos $\varphi_{ij}$.


\item
\begin{itemize}
\item[a)] Sea $A$ un anillo conmutativo. Se dice que $A$ es local
si $A$ tiene un solo ideal maximal que llamaremos $M$. Probar que
son equivalentes:

\begin{itemize}

\item[ i)] $A$ es local.

\item[ii)] Existe un ideal $I$ de modo que $a \in A$ es invertible
si y solo si $a$ no pertenece a $I$.

\end{itemize}

Si $A$ es local el cuerpo $A/M$ se llama cuerpo residual de $A$.

\item[b)] Sea $H$ el haz en $\C$  consistente del haz de las
funciones analiticas en el plano complejo $\C$. Probar que para
todo punto $p$ de $\C$ la fibra $H_p$ es un anillo local con
cuerpo residual $\C$.

\end{itemize}

\item Sea $\C$ el plano complejo y $P_{\C}$ el prehaz siguiente:
si $U$ es un abierto de $\C$,  $P_C(U)=\{f:U \rightarrow C \ \ :
\ f$ tiene una primitiva analitica en $ H_{\C}(U)\}$ se considera
como subprehaz de $H_{\C}$ (el prehaz de funciones holomorfas) que
a su vez es un subprehaz de $Cont_{\C}$ funciones continuas. O sea
todos esos prehaces estan equipados con la restriccion de
funciones.

\begin{itemize}
\item[a)] Probar que $P_{\C}$ es un prehaz pero no un haz.
\item[b)] Probar que $P_{\C}^+$, el haz asociado a $P_{\C}$ es
$H_{\C}$ el haz de funciones holomorfas.

\end{itemize}

\item Sea $(M, \mathcal{D})$ el espacio anillado dado por $M$ una
variedad diferenciable de dimensión $n$ encajada en $\R^k$ ($k>n$)
y $\mathcal{D}$ el espacio de funciones de clase $C^{\infty}$ (es
decir, $\mathcal{D}(U)= \{ f: U \to \R \ : \ f \in C^{\infty}(U)
\}$). Dado $p \in M$ definimos el espacio tangente de $M$ en $p$
como el conjunto de \emph{derivaciones} en la fibra de
$\mathcal{D}$ en $p$, es decir:

\[  T_pM = \{ D: \mathcal{D}_p \to \R  \ \ : \ D(f_p
+ \lambda g_p)= D(f_p + \lambda D(g_p) \ \forall \lambda \in \R, \
f_p,g_p \in \mathcal{D}_p ,
\]
\[ y \ \ D(f_p g_p)=
f(p)D(g_p)+ D(f_p)g(p) \ \forall f_p,g_p \in \mathcal{D}_p \ f,g
\in \mathcal{D}(U) \ con \ f_p= \overline{(U,f)}, g_p=
\overline{(U,g)} \}\]

\begin{itemize}
\item[(a)] Probar que $T_pM$ es un espacio vectorial definiendo
para $D, D' \in T_pM$ y $\lambda \in \R$, $(D+ \lambda D')(f_p) =
D(f_p) + \lambda D'(f_p)$.

\item[(b)] Probar que si $f_p \in \mathcal{D}_p$ es el germen de
una función constante y $D \in T_pM$ entonces $D(f_p)=0$.

\item[(c)] Probar que si $f:\R^n \to \R$ es una función de clase
$C^{\infty}$ que cumple que $f(0)=0$ entonces existen funciones
$h_i: \R^n \to \R$ que verifican que $f(x_1, \ldots, x_n)= \sum_i
x_i h_i(x_1, \ldots, x_n)$ y de forma tal que
$h_i(0)=\frac{\partial f}{\partial x_i} (0)$. (Sugerencia:  $f(x)=
\int_{0}^1 \frac{d}{dt}f(tx) dt$ donde la integral es coordenada a
coordenada.)

\item[(d)] Probar que $dim(T_pM)=n$ (Sugerencia: Trabajar en
$\R^n$ suponiendo $p=0$ y $f(0)=0$ donde $f_p$ es el germen de
$f$. Hallar las derivadas de las funciones $X_i(x_1, \ldots, x_n)=
x_i$ y probar que toda derivación cumple que $D(f_p)= \sum_i
D(X_i) \frac{
\partial f }{\partial x_i}$ usando la parte $(c)$.)

\item[(e)] Probar que si $\gamma: (-\eps, \eps) \to M$ es una
curva $C^{\infty}$ con $\gamma(0)=p$, le podemos asociar una
derivación en $p$ (llamado \emph{vector tangente}) dada por

\[ \gamma'(0)(f)= \left. \frac{d}{dt}\right|_{t=0} f\circ \gamma (t) \qquad
\forall f_p \in \mathcal{D}_p \ y \ f \in \mathcal{D}(U) \ con \
\overline{(U,f)}= f_p
\]


\end{itemize}

\end{enumerate}
\end{document}
