Introducción a la probabilidad y estadística (2001) Práctico 11

1. Sea {X_{n}} una sucesión de variables aleatorias independientes con distribución exponencial con parámetro λ. (a) Probar que α_{n} = min{X_{1}, … X_{n}} tiende en probabilidad a cero. (b) Probar que α_{n} converge casi seguramente a cero.

2. Sea {X_{n}} una sucesión de variables aleatorias independientes con distribución uniforme en [0, a]. Se desconoce el valor de a, y se desea “estimar” por medio de una variable aleatoria. (a) Probar que β_{n} = max{X_{1}, … X_{n}} tiende en probabilidad a a. (b) Probar que β_{n} = max{X_{1}, … X_{n}} tiende casi seguramente a a. (c) ¿qué se puede decir de la sucesión E(β_{n})?

3. Método de Monte Carlo. Sea f : [0, T] → R una función no negativa, continua, acotada por una constante a. Se desea estimar I = ∫_{0}^{1} f(x)dx. Consideramos una sucesión de vectores aleatorios independientes (X_{k}, Y_{k}) en R^{2}, con distribución uniforme en [0, T]×[0, a]. Sea la sucesión Z_{k} = 1_{\{Y_{k}≤f(X_{k})\}} (k = 1, 2, …), y definimos Î_{N} = \frac{aT}{N} ∑_{k=1}^{N} Z_{k}.

(a) Probar que Î_{N} converge casi seguramente a I cuando N → ∞. (b) Hallar el valor esperado de I_{N} y su varianza. (c) Se busca acotar el error |Î_{N} − I|. Dado δ > 0, indicar cómo elegir N para que [var(Î_{N} − I)]^{1/2} < δ. (d) Hallar un estimador para el caso de integrales múltiples. Hallar la varianza, y comparar el orden de esta con el de la varianza del estimador hallado para el caso de integrales simples.

4. Un ordenador genera números binarios aleatorios de modo que, en cada posición, los números 0 y 1 son elegidos con probabilidades iguales, e independientemente de los de las demás posiciones. Se calcula el promedio ν_{n} de las longitudes de las primeras n rachas, por ejemplo, si la sucesión comienza de la forma: 0000110111110…, la variable ν_{4} tomará el valor (4+2+1+5)/4. ¿cómo se comporta ν_{n} cuando n tiende a infinito?

5. Sea {X_{n}} una sucesion de variables aleatorias independientes dos a dos, tales que P(X_{n} = 2^{n}) = P(X_{n} = −2^{n}) = 2^{−2n−1}, P(X_{n} = 0) = 1 − 2^{−2n} para cada n. ¿Es aplicable la ley débil de los grandes números a esta sucesión?

6. Sea {X_{n}} una sucesion de variables aleatorias independientes dos a dos, tales que P(X_{n} = n^{\frac{1}{4}} ) = P(X_{n} = −n^{\frac{1}{4}} ) = P(X_{n} = 0) = 1/3 para cada n. Demostrar, que para esta sucesión es aplicable la ley débil de los grandes números.

7. Sea {X_{n}} una sucesion de variables aleatorias independientes, tales que P(X_{n} = n^{γ}) = P(X_{n} = −n^{γ}) = \frac{1}{2} para cada n, donde γ < \frac{1}{2}. ¿Es aplicable la ley débil de los grandes números a esta sucesión?

8. Al disparar a un blanco, el tiro cae en 10 con probabilidad 0.3, en el 9 con probabilidad 0.3, en 8 con probabilidad 0.2, en el 7 con probabilidad 0.1, en el 6 con probabilidad 0.1. Utilizando el teorema central del límite, estimar la probabilidad de que, al realizar 100 disparos los tiros acumulen más de 90 puntos.

9. Se tira un dado 500 veces. Hallar un valor aproximado de la probabilidad de que la suma de los resultados obtenidos sea mayor de 1800.

10. (a) Si X tiene distribución de Poisson con parámtero λ, probar que \frac{X}{\sqrt{λ}} −\sqrt{λ} →^{d} N, si λ → ∞, donde N tiene distribución normal estandar. (b) Calcular P (X > 20) para λ = 90.

11. Demostrar que lim_{n→∞} e^{−n} ∑_{k=0}^{n} \frac{n^{k}}{k!} = \frac{1}{2}. (Sugerencia: aplicar el teorema central del límite para variables de Poisson adecuadas.)

12. (Exámen 18/8/98). Se considera una sucesión de vectores bidimensionales Z_{1}, Z_{2}, … independientes y con distribución uniforme en el disco de radio 1 y centro (0, 0). Sea M_{n} el máximo de los módulos de los primeros n vectores, es decir M_{n} = max{∥Z_{1}∥, …, ∥Z_{n}∥}, y A_{n} el área de la corona de centro en el origen entre los radios M_{n} y 1. (a) Mostrar que A_{n} tiende a cero casi seguramente. (b) Hallar α para que n^{α}A_{n} converja en distribución a una variable aleatoria no degenerada, y calcular la distribución de dicha variable.