Centro de Matemática. 20 de julio de 2001 Examen de Introducción a la probabilidad y estadísitica

Ejercicio 1. Sea X_{1}, X_{2}, … una sucesión de variables aleatorias independientes con igual distribución F (x), que suponemos continua. Se define la variable aleatoria ν, que toma los valores 2, 3, …, mediante

X_{1} < X_{2} ⇒ ν = 2
X_{1} ≥ X_{2}, X_{2} < X_{3} ⇒ ν = 3
X_{1} ≥ X_{2} ≥ X_{3}, X_{3} < X_{4} ⇒ ν = 4
…

es decir ν = n si n es el primer índice tal que X_{n} > X_{n−1}.

a) Probar que P(ν = n) = \frac{n−1}{n!} (n = 2, 3, …). Deducir que ν es una variable aleatoria, es decir, está definida en un conjunto de probabilidad uno.

b) Calcular Eν.

c) Si F (x) es la distribución uniforme en [0, 1], mostrar que

P(X_{1} ≤ x, ν = n) = \frac{x^{n−1}}{(n − 1)!} − \frac{x^{n}}{n!}

y deducir que P(X_{1} ≤ x, ν es par ) = 1 − e^{−x}. Ejercicio 2. Sea {A_{n}}_{n≥1} una sucesión de sucesos en un espacio de probabilidad (Ω, A, P).

a) Sea A = ∩_{n=1}^{∞} ∪_{m=n}^{∞} A_{m}. Explicar que sucesos elementales ω pertenecen a A.

b) Demostrar que A ⊂ ∪_{m=n}^{∞}A_{m}.

c) Demostrar que si ∑_{n=1}^{∞} P(A_{n}) < ∞ entonces P(A) = 0.

d) Sea X, X_{1}, X_{2}, … una sucesión de variables aleatorias tales que ∑_{n=1}^{∞} P(X_{n} ≠ X) < ∞. Demostrar que X_{1}, X_{2}, … converge casi seguramente y hallar su límite. Ejercicio 3. Sea X_{1}, X_{2}, … una sucesión de variables aleatorias independientes con distribución idéntica F (x), que suponemos continua. Definimos para cada x real Y_{n}(x) = 1_{{X_{n}≤x}} y notamos F_{n}(x) = \frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} Y_{k}(x).

a) Hallar EY_{n}(x) y varY_{n}(x).

b) Encontrar el límite en probabilidad de de F_{n}(x). ¿Hay convergencia casi segura? Fundamentar.

c) Demostrar que P(F_{n}(x) → F (x), para todo x racional ) = 1. Sugerencia: Demostrar que si P(A_{n}) = 1 (n = 1, 2, …), entonces P(∩_{n}A_{n}) = 1.

d) Demostrar que P(F_{n}(x) → F (x), para todo x real ) = 1.

e) Demostrar que sup_{x∈R} |F_{n}(x) − F (x)| → 0 casi seguramente.