Facultad de Ciencias Centro de Matemática

26 de julio del 2000

Examen de Introducción a la Probabilidad y Estadística

1. Sea ξ_{1}, ξ_{2}, … una sucesión de variables aleatorias independientes, con E(ξ_{n}) = 0 y |ξ_{n}| ≤ C, n = 1, 2, …, donde C es una cierta constante. Sea también η_{1}, η_{2}, … una sucesión de variables aleatorias independientes, tal que

P (η_{n} ≠ 0) ≤ \frac{1}{n^{2}} , n = 1, 2, ….

Probar que si

S_{n} = (ξ_{1} + η_{1}) + (ξ_{2} + η_{2}) + ⋯ + (ξ_{n} + η_{n}), n = 1, 2, …,

entonces, casi seguramente:

\frac{S_{n}}{n} → 0 cuando n → ∞.

2. (a) En esta parte se enuncia un resultado que será utilizado en las partes siguientes. Se recomienda utilizarlo y dejar la demostración para el final. Sea {q_{n}}_{n∈N} una sucesión de números reales, 0 < q_{n} < 1, n = 1, 2, … y

Q_{n} = (1 − q_{1})(1 − q_{2}) … (1 − q_{n}) = ∏_{j=1}^{n}(1 − q_{j}).

Es obvio que {Q_{n}}_{n=1,2,...} es decreciente. Sea Q = lim Q_{n}. Probar que

Q > 0 ⇔ ∑_{n=1}^{∞} q_{n} converge .

(b) Se considera una cadena de Markov estacionaria cuyos estados son {1, 2, …}, los números naturales positivos, y tal que:

\begin{aligned}p_{j,1} & = & q_{j} \\ p_{j,j+1} & = & 1 − q_{j} \end{aligned}

donde los números q_{j} verifican 0 < q_{j} < 1. Es decir que la matriz de Markov es

P = ( \begin{matrix}q_{1} & 1 − q_{1} & 0 & 0 & ⋯ & 0 \\ q_{2} & 0 & 1 − q_{2} & 0 & ⋯ & 0 \\ q_{3} & 0 & 0 & 1 − q_{3} & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \end{matrix} ) .

Mostrar que la cadena es irreducible y aperiódica.

(c) Mostrar que todos los estados son transitorios si y sólo si

∑_{n=1}^{∞} q_{n} < ∞.

(Sugerencia: calcular la probabilidad π_{n} de no volver al estado “1” en n pasos, dado que se parte del estado “1”).

(d) Sea ∑_{n=1}^{∞} q_{n} = +∞. Probar que si definimos

f = q_{1} + q_{2}(1 − q_{1}) + q_{3}(1 − q_{1})(1 − q_{2}) + …

= q_{1} + ∑_{n=2}^{∞} q_{n}(1 − q_{1}) … (1 − q_{n−1})

entonces f = 1. Sugerencia: interpretar el significado probabilístico de f y aplicar (c).

(e) Sea ∑_{n=1}^{∞} q_{n} = ∞. Mostrar que la cadena es ergódica si y sólo si

∑_{n=1}^{∞}(1 − q_{1}) … (1 − q_{n}) < ∞

y, en ese caso, dar una expresión para el tiempo medio de retorno a cada estado.

(f) Mostrar que si

q_{n} = \frac{1}{(n + 1)^{α}} , α > 0,

entonces la cadena es ergódica si y sólo si 0 < α < 1.