Centro de Matemática. 13 de octubre de 2004 Examen de Introducción a la Probabilidad y Estadística

Ejercicio 1. Se eligen al azar y en forma independiente n dígitos del 0 al 9. Sea S_{n} la suma de los dígitos sorteados.

(a) Calcular el valor esperado y la varianza de la suma S_{n} de los dígitos elegidos.

(b) Si n = 100 determinar un intervalo I de posibles valores de la suma tal P (S_{n} ∈ I) ≥ 0, 9.

(c) Calcular el mínimo n tal que la probabilidad de que aparezca por lo menos un 9 entre las n cifras sea mayor que 0, 99.

(d) Para el valor de n hallado en (c) calcular la probabilidad de que haya por lo menos tres nueves en la enúpla.

Ejercicio 2. Se considera una sucesión de variables aleatorias independientes {X_{n}} cada una de las cuales tiene distribución uniforme en [0, n^{1/4}].

(a) Calcular el valor esperado y la varianza de X_{n}.

(b) Verificar que es aplicable la ley débil de los grandes números a esta sucesión, es decir, existen constantes b_{n} tales que

\frac{X_{1} + ⋯ + X_{n}}{n} − b_{n} →^{P} 0.

(c) Verificar que es aplicable el Teorema Central del Límite.

Ejercicio 3. Se considera una cadena de Markov homogénea en el tiempo con 4 estados E_{1}, E_{2}, E_{3}, E_{4} cuya matriz de transición P viene dada por

P = [ \begin{matrix}0 & 1/2 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 0 & 0 & 1/2 \\ b & 1 − b & 0 & 0 \end{matrix} ]

donde 0 < b < 1.

(a) Clasificar los estados.

(b) Calcular lim_{n→∞} P^{n}.

(c) Supongamos que el estado inicial es E_{1}. Sea T_{1} el primer instante de retorno a E_{1}. Calcular E(T_{1}).