Centro de Matemática. 5 de marzo de 2002 Exámen de Introducción a la probabilidad y estadística

Ejercicio 1. Sea X una variable aleatoria con distribución de Poisson de parámetro λ > 0, es decir, P(Z = n) = e^{−λ}λ^{n}/n! (n = 0, 1, …).

(a) Calcular EZ, EZ^{2}, varZ.

(b) Calcular R(t) = Ee^{tZ} (t real).

(c) Asumiendo que R′(t) = EZe^{tZ}, R′′(t) = EZ^{2}e^{tZ}, calcular EZ y EZ^{2} usando (b).

(d) Demostrar que P(Z sea impar) < P(Z sea par) (el cero se considera par). Ejercicio 2. Sean X, Y, Z tres variables aleatorias independientes, e idénticamente distribuídas.

(a) Demostrar que P(X < Y < Z) = P(Y < X < Z).

(b) Calcular P(X < Y < Z).

(c) Calcular P(min(X, Y) < Z).

(d) Sean X_{1}, …, X_{n} variables aleatorias independientes, e idénticamente distribuídas. Hallar P(X_{1} < ⋯ < X_{n}).

(e) Sea n = 2k en (d). Calcular P(X_{1} < X_{3} < ⋯ < X_{2k−1}, X_{2} > X_{4} > ⋯ > X_{2k}). Ejercicio 3. Sea X_{0}, X_{1}, … una sucesión de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuídas, con EX_{1} = 0, varX_{1} = σ^{2} ∈ (0, ∞).

(a) Sea Y_{k} = (X_{k−1} + X_{k} + X_{k+1})/3 (k = 1, 2, …). ¿Es aplicable la ley débil de los grandes números a {Y_{k}}?

(b) Supongamos que X_{1} ≥ 0, y sea Z_{n} = \sqrt{X_{1} ⋯ X_{n}} = ( ∏_{k=1}^{n} X_{k})^{1/n}.

(i) Si X_{1} tiene distribución uniforme en [1, 2], demostrar que Z_{n}→^{P}a, con a que se determinará. (ii) Si P(X_{1} = 0) > 0, demostrar que Z_{n}→^{P}0. (Sugerencia: demostrar P(Z_{n} > 0) → 0). (iii) ¿Hay convergencia casi segura en (i) y (ii)?