Facultad de Ciencias. Centro de Matemática.

17 de julio de 2002

Examen de Introducción a la Probabilidad y Estadística

1. Sean X_{1}, … X_{n} variables independientes, con distribución exponencial de parámetros λ_{1}, λ_{2}, …, λ_{n} respectivamente.

(a) Mostrar que Y = min_{1≤i≤n} X_{i} tiene distribución exponencial.

(b) Calcular P(X_{k} < min_{i≠k} X_{i}) y deducir que

P(X_{k} = min_{1≤i≤n} X_{i}) = \frac{λ_{k}}{λ_{1} + ⋯ + λ_{n}}

2. Sean {X_{n} : n ≥ 1} variables aleatorias independientes, igualmente distribuidas, uniformes en [-1,1].

(a) Sea Z_{n} = \frac{1}{n^{1+δ}} ∑_{i=1}^{n} \sqrt{i}X_{i}, δ > 0. Mostrar que Z_{n} converge en probabilidad a cero.

(b) Mostrar que Z_{n} converge a cero casi seguramente.

(c) ¿Qué ocurre con W_{n} = \frac{1}{n log n} ∑_{i=1}^{n} \sqrt{i}X_{i} ?

3. Sea una cadena de Markov con espacio de estados E = {1, 2, 3}, distribución inicial P(X_{0} = i_{0}) = 1 (i_{0} = 1, 2 o 3) y matriz de transición

P = ( \begin{matrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{matrix} )

(a) Calcular P(X_{3} = 2|X_{1} = 1) y hallar la distribución estacionaria.

(b) Para cada i ∈ E construir una partición del intervalo [0,1], {I_{1}(i), I_{2}(i), I_{3}(i)} i = 1, 2, 3, de modo que si definimos φ : E× ℝ → E:

φ(i, u) = ∑_{j=1}^{3} 𝕀_{I_{j}(i)}(u)j

(o sea φ(i, u) = j sii u ∈ I_{j}(i)), y si U es una variable uniforme en [0,1] se cumpla que:

P(φ(i, U) = j) = p_{ij}.

(c) Sea {U_{n} : n ≥ 1} una sucesión de variables aleatorias uniformes en [0,1], independientes. Si definimos X_{0} = i_{0} y

X_{n} = φ(X_{n−1}, U_{n}) para n ≥ 1,

mostrar que {X_{n} : n ≥ 0} es una cadena de Markov homogénea con matriz de transición P, y distribución inicial dada por P(X_{o} = i_{o}) = 1.