Centro de Matemática. 30 de julio de 2004 Examen de Introducción a la Probabilidad y Estadística

Ejercicio 1. Una rana se mueve aleatoriamente en un plano, dando saltos independientes de largo a. Si empieza desde el origen, designamos por (X_{n}, Y_{n}) la posición de la rana luego de n saltos, donde

X_{n} = ∑_{k=1}^{n} a cos ϕ_{k}, Y_{n} = ∑_{k=1}^{n} a sen ϕ_{k}.

Los ángulos ϕ_{k} son variables aleatorias independientes, con distribución uniforme en el intervalo [0, 2π].

(a) Calcular E X_{n}, E Y_{n}, var X_{n}, var Y_{n}.

(b) Demostrar que X_{1} e Y_{1} son no correlacionadas (su correlación es nula) y sin embargo no son independientes.

(c) Calcular, aproximando mediante el teorema central del límite, la probabilidad

P(X_{n} > a\sqrt{n}).

Ejercicio 2. Se supone que la probabilidad p_{n} de que una familia tenga n hijos es de la forma:

p_{n} = (1 − p)p^{n}, n = 0, 1, 2, ….

Se supone además que si una familia tiene n hijos, todas las distribuciones posibles de sexos son igualmente probables.

(a) Calcular la probabilidad de que una familia tenga k hijos varones.

(b) Calcular la probabilidad de que una familia tenga por lo menos k hijos varones. Sugerencia: Utilizar la fórmula

(1 − x)^{−k−1} = ∑_{n=k}^{∞} C_{k}^{n}x^{n−k}.

Ejercicio 3. Se considera una sucesión Y_{1}, Y_{2}, … de variables aleatorias independientes, que verifican

E Y_{n} = 0, var Y_{n} = 1.

Se considera otra sucesión de variables aleatorias definidas mediante:

X_{1} = Y_{1}, X_{n+1} = \frac{1}{2}X_{n} + Y_{n+1} (n = 1, 2, …).

(a) Calcular E X_{n} y var X_{n}.

(b) Demostrar que

\frac{X_{n}}{n} →^{P} 0.

(c) Demostrar que

\frac{X_{1} + X_{2} + ⋯ + X_{n}}{n} →^{P} 0.