Centro de Matemática. 7 de febrero de 2002 Exámen de Introducción a la probabilidad y estadísitica

Ejercicio 1. Sea {X_{n}} una sucesión de variables aleatorias tales que Xn ≥ 0 y X_{n} ≤ X_{n+1} para todo n natural.

a) Demostrar que si X_{n} →^{P} X entonces X_{n} → X c.s.

b) Demostrar que si para todo H > 0 tenemos P(X_{n} > H) → 1 (es decir, X_{n} →^{P} ∞) entonces P(X_{n} → ∞) = 1.

c) Sean {Y_{n}} variables aleatorias independientes con distribución exponencial de parámetro α > 0. Sea

M_{n} = max(Y_{1}, …, Y_{n}), m_{n} = min(Y_{1}, …, Y_{n}).

(i) Estudiar la convergencia casi segura (y en probabilidad) de {M_{n}}. (ii) Estudiar la convergencia casi segura (y en probabilidad) de {m_{n}}.

d) Estudiar la convergencia en media de {m_{n}}. Ejercicio 2. Se considera la función real de dos variables dada por

f(x, y) = \{ \begin{matrix}ke^{−x}/x, & si − x ≤ y ≤ x, x > 0, \\ 0 & en otro caso. \end{matrix}

a) Dibujar el conjunto de R^{2} en donde f es positiva y hallar k para que f(x, y) sea la densidad de un vector aleatorio (X, Y).

b) Hallar la función de distribución de la variable aleatoria X.

c) Calcular la probabilidad condicional

P(1Y | ≤ a | X ≤ a).

d) Hallar E(XY).

e) Calcular P(Y ≤ X^{2}). Ejercicio 3. Sea X_{1}, X_{2} … una sucesión de variables aleatorias independientes con distribución común de Bernoulli dada por P(X_{1} = 1) = p, P(X_{1} = −1) = q, p + q = 1, 0 < p < 1.

a) Demostrar que S_{0}, S_{1}, … es una cadena de Markov, determinar su distribución inicial y su matriz de transición.

b) Aplicando la desigualdad de Chebishev, demostrar que

\frac{S_{n}}{n} →^{P} 0.

c) Sea α(j) = P(∃n: S_{n} = j) donde j es un natural. Condicionando según el valor que tome S_{1} demostrar la fórmula

α(j) = pα(j − 1) + qα(j + 1).

d) Hallar r para que α(j) = r^{j} sea solución de la ecuación anterior (se obtienen dos valores).

e) Observando que α(0) = 1, y asumiendo que p < q calcular α(j). (Asumir α(j) → 0 si j → ∞).