Centro de Matemática. 7 de diciembre de 2001 Exámen de Introducción a la probabilidad y estadísitica

Ejercicio 1. Sea X una variable aleatoria con distribución exponencial de parámetro α > 0.

a) Hallar la densidad y la distribución de la variable aleatoria Z = e^{X} − 1.

b) Discutir para que valores de p ≥ 0 real es finito E|Z|^{p}.

c) Hallar la distribución de la variable aleatoria min(Z_{1}, Z_{2}), donde Z_{1} y Z_{2} son variables aleatorias independientes con la distribución de Z.

d) Demostrar la fórmula, para u ≥ 0, v ≥ 0,

P(Z ≥ uv + u + v) = P(Z ≥ u)P(Z ≥ v).

Ejercicio 2. Sea X, X_{1}, X_{2}, … una sucesión de variables aleatorias definidas en (Ω, A, P), con EX^{2} < ∞, E(X_{k})^{2} < ∞.

a) Para una sucesión de sucesos A_{1}, A_{2}, … demostrar

P(∩_{k}A_{k}) = 1 ⟺ P(A_{k}) = 1 para todo k ≥ 1.

b) Usando a) demostrar que

P(lim_{n} X_{n} = X) = 1 ⟺ P( ∩_{n≥1} ∪_{m≥n}|X_{m} − X| < \frac{1}{k} ) = 1.

c) Probar que si ∑_{m=1}^{∞} E|X_{m} − X|^{2} < ∞ entonces P(lim_{n} X_{n} = X) = 1.

d) Aplicación: Sea EX_{n} = μ, |cov(X_{k}, X_{l})| ≤ \frac{1}{k^{2}l^{2}} (k, l = 1, 2, …). Demostrar que

X̄_{n} = \frac{X_{1} + … + X_{n}}{n} → μ c.s.

Ejercicio 3. a) Calcular la probabilidad de obtener un boleto capicúa. Sugerencia: utilizar un argumento de simetría para contar los casos favorables.

b) Calcular la probabilidad de que un número natural k elejido al azar, que cumple 0 ≤ k ≤ 10^{n} −1 sea capicúa.

c) Se elige al azar un número entre 0 y 999. Calcular la probabilidad de que la suma de sus tres cifras sea 3. Sugerencias: (1) Sea f(x) = 1 + x + … + x^{9}. Observar que los coeficientes a_{k} de

f(x)^{3} = ∑_{k=0}^{27} a_{k}x_{k}

están relacionados con la cantidad de casos favorables. (2) Enumerar los casos posibles.

d) Escribir una fórmula para calcular la probabilidad de obtener un boleto que sume 21 (utilizar la sugerencia (1)).