Facultad de Ciencias. Centro de Matemática.

2 de agosto de 2002

Examen de Introducción a la Probabilidad y Estadística

Ejercicio 1.

(a) Se tiran un dado cargado y uno equilibrado. Calcular la probabilidad de obtener una suma de puntos igual a 7.

(b) Un avión bimotor puede volar con un solo motor, y un cuadrimotor con 2. La probabilidad de que un motor falle durante una travesía es p. ¿Cuales aviones son mas seguros? (Discutir según p).

(c) En un tablero de ajedrez con casillas de lado a se tira una moneda de radio r (2r < a). Calcular la probabilidad de que: (i) la moneda caiga en el interior de una casilla; (ii) la moneda corte un único lado.

(d) Se elige ahora al azar una esfera de radio r dentro de un cubo de lado 4r, en un espacio de dimensión n. (i) Calcular la probabilidad p(n) de que la esfera no corte el cubo. (ii) Determinar la cantidad N(n) de esferas que es necesario elegir, para que la probabilidad de que por lo menos una esfera no corte el cubo sea asintóticamente 1/2.

Ejercicio 2. Sea X una variable aleatoria con distribución de Bernoulli con parámetro p ∈ (0, 1), es decir, P (X = 1) = p, P (X = 0) = 1 − p. Sean Y, Z variables aleatorias con distribución uniforme en el intervalo [0, 1], y tales que X, Y, Z son variables aleatorias independientes. Se considera

W = \begin{cases}min(Y, Z), & si X = 0, \\ max(Y, Z), & si X = 1. \end{cases}

(a) Hallar la función de distribución y la densidad de W (en función del parámetro p).

(b) Hallar el valor de p de forma que E(W) = 4/9.

(c) Hallar el valor de p de tal forma que la variable aleatoria W tenga distribución uniforme en el intervalo [0, 1].

(d) Calcular P (X = 1 | W ≤ 1/2), para el valor de p calculado en la parte (b).

Ejercicio 3. Sea X_{1}, X_{2}, … una sucesión de variables aleatorias independientes, tales que P (X_{n} = 1) = p_{n}, P (X_{n} = 0) = 1 − p_{n} = q_{n}, para n = 1, 2, . . .. Sea S_{n} = X_{1} + ⋯ + X_{n}.

(a) Hallar una sucesión de constantes a_{1}, a_{2}, …, de forma que S_{n}/n−a_{n} → 0 en probabilidad.

(b) Establecer si la convergencia de la parte anterior es casi segura.

(c) Establecer si la convergencia anterior tiene lugar en media cuadrática, es decir, si E(S_{n}/n − a_{n})^{2} → 0 si n → ∞.

(d) Demostrar que es aplicable el teorema central del límite para la sucesión {X_{n}}, bajo la condición ∑_{k=1}^{n} p_{k}q_{k} → ∞ (n → ∞).