Centro de Matemática. 6 de agosto de 2001

Exámen de Introducción a la probabilidad y estadísitica

Ejercicio 1. Sea a_{1}, …, a_{n} una serie de n letras. Queremos calcular la probabilidad P (n) de que al reordenarlas al azar ninguna regrese a la posición que ocupaba inicialmente.

a) Determinar la cantidad de casos posibles.

b) Sea Π(n) la cantidad de casos favorables. Hallar Π(1), Π(2) y Π(3) así como P (1), P (2) y P (3).

c) Demostrar la fórmula

Π(n) = (n − 1)[Π(n − 1) + Π(n − 2)].

Sugerencia: Contar las permutaciones favorables que comienzan con a_{k} (k ≠ 1) discutiendo según a_{1} caiga en el lugar k-ésimo o no.

d) Demostrar Π(n) − nΠ(n − 1) = (−1)^{n} (n ≥ 2).

e) Demostrar

P (n) = 1 − \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + … + (−1)^{n} \frac{1}{n!}.

f) Un jugador baraja una grupo de doce cartas españolas, numeradas del as al rey. Las levanta consecutivamente, diciendo uno cuando levanta la primer carta, dos cuando hace lo mismo con la segunda y así sucesivamente. Gana si la carta levantada coincide con la palabra dicha en algún caso (por ejemplo si la cuarta carta levantada es el cuatro). ¿Apostaría que el jugador gana o pierde? Fundamente.

Ejercicio 2. Sea X_{1}, X_{2}, … una sucesión de variables aleatorias independientes dos a dos, y tales que EX_{n} = a_{n}, y varX_{n} = σ_{n} ≤ C para todo n = 1, 2, . . .. Se considera la sucesión Y_{n} = aX_{n−1} + bX_{n} + cX_{n+1} (n ≥ 2).

a) Calcular EY_{n}, varY_{n} y cov(Y_{n}, Y_{n+k}) para n ≥ 2, k ≥ 1.

b) Determinar si es aplicable la ley débil de los grandes números, es decir, si existe una sucesión numérica k_{n} tal que

\frac{Y_{2} + … + Y_{n+1}}{n} − k_{n} →^{P} 0.

c) Supongamos que EX_{n} = α para todo n. Hallar una constante k tal que

\frac{Y_{2} + … + Y_{n+1}}{n} →^{P} k.

Ejercicio 3. Sean T_{1} y T_{2} variables aleatorias independientes con distribución exponencial con parámetros λ_{1} y λ_{2} respectivamente. Sea T = min(X_{1}, X_{2}) y S = máx(S_{1}, S_{2}). X es el índice de la variable que resulta menor, es decir,

X = \{ \begin{matrix}1, & si T_{1} ≤ T_{2}, \\ 2, & si T_{2} < T_{1}, \end{matrix}

a) Hallar la distribución de X y calcular EX.

b) Mostrar que T tiene distribución exponencial de parámetro a determinar. Calcular ET y varT.

c) Hallar la función de distribución de S.

d) Determinar si S y T son independientes.

e) Determinar si X y T son independientes.