Centro de Matemática. 23 de diciembre de 2004

Examen de Introducción a la Probabilidad y Estadística

Ejercicio 1. La probabilidad de que un helicóptero cumpla una misión exitosamente es 3/4. Se estiman necesarios 6 helicópteros para una tarea global, por lo que se envían 8, dado que 8 × (3/4) = 6.

(a) Calcular la probabilidad de que la misión se cumpla con éxito, es decir, por lo menos 6 helicópteros cumplan la misión.

(b) Determinar la cantidad aproximada de helicópteros necesaria para que la tarea global se cumpla exitosamente con una probabilidad mayor que 0,99.

Ejercicio 2. A dos ventanillas desocupadas llegan dos personas, A y B. Sus tiempos de atención son independientes y tienen distribución exponencial, con esperanza igual a una hora.

(a) Calcular las distribuciones del tiempo de atención de la primera persona que sale, y el de la segunda.

(b) Inmediatamente despés de llegar A y B llega C, que tiene la misma distribución de tiempo de atención. Calcular la probabilidad de que C no sea el último en retirarse.

Ejercicio 3. Se considera una sucesion de variables aleatorias equidistribuidas, con valor esperado cero y cuarto momento finito. Esta sucesion se dice m-dependiente si cada termino de la misma solo presenta dependencia con los m − 1 términos vecinos (los m − 1 anteriores y los m − 1 posteriores).

(a) Demostrar que se verifica la ley débil de los grandes números, es decir, que el promedio converge a cero en probabilidad cuando n tiende a infinito.

(b) Probar que el promedio de los datos que estan en los lugares 1, m + 1, 2m + 1, 3m + 1,…,dm + 1, tiende a cero casi seguramente si d → ∞.

(c) Probar que se verifica la ley fuerte de los grandes números cuando m = 2.

(d) Probar que una sucesión m-dependiente con cuarto momento verifica la ley fuerte de los grandes números.