Centro de Matemática. 6 de febrero de 2006

Examen de Introducción a la Probabilidad y Estadística

Ejercicio 1.

(a) En un tablero de ajedrez se colocan al azar dos torres, una negra y una blanca. ¿Cuál es la probabilidad de que no se ataquen?^{1}.

(b) Dos personas llegan a un mismo punto de encuentro en momentos independientes y elegidos al azar en un intervalo [0, T]. Cada persona decide esperar a la otra un intervalo de tiempo Δ < T. Calcular la probabilidad de que se encuentren.

Ejercicio 2.

(a) Sean X, Y variables aleatorias independientes con idéntica densidad dada por

p(x) = \frac{a}{e^{−x} + e^{x}} , x ∈ ℝ.

Determinar el valor de a, y calcular E(X + Y) y E(XY).

(b) Sean X_{1}, X_{2}, X_{3} variables aleatorias independientes con distribución uniforme en el intervalo [0, 1]. Sea N el primer índice tal que la suma ∑_{n=1}^{N} X_{n} > 1. Calcular P(N = 2) y P(N = 3).

Ejercicio 3. Se considera una variable aleatoria X acotada, es decir, tal que existe K positivo con P(|X| ≤ K) = 1.

(a) Demostrar que E e^{λX} es finito para todo λ real.

(b) Demostrar que para todo λ > 0 se verifica la desigualdad

P(X ≥ a) ≤ \frac{E e^{λX}}{e^{λa}} .

(c) Sean ahora X_{1}, …, X_{n} variables aleatorias independientes, acotadas, con la misma distribución. Encontrar una cota de la forma anterior para la suma S_{n} = X_{1} + ⋯ + X_{n} en función de E e^{λX_{1}}.

(d) Supongamos además de los supuestos de (c) que X_{1} tiene distribución de Bernoulli con parámetro p ∈ (0, 1), es decir P(X_{1} = 1) = p, P(X_{1} = 0) = 1 − p. Demostrar que

P (\frac{S_{n}}{n} ≥ a) ≤ e^{−nH(a)}

donde

H(a) = a log (\frac{a}{p}) + (1 − a) log (\frac{1 − a}{1 − p}).

(Sugerencia: utilizar (d) y minimizar al variar λ.)

1Consultar sobre las reglas del ajedrez si es necesario.