Centro de Matemática. 21 de mayo de 2003

Examen de Cálculo II

Ejercicio 1. Sea la función f: ℝ^{3} → ℝ dada por f(x, y, z) = x + y + 2z, y el conjunto S de los puntos de ℝ^{3} que verifican las condiciones

\begin{cases}3x^{2} + y^{2} = 12, \\ x + y + z = 2 \end{cases}

(a) Determinar los puntos críticos de f condicionados a S

(b) Demostrar que S es un conjunto compacto.

(c) Estudiar extremos absolutos de f en S

Ejercicio 2. Sean a, b dos números reales positivos, y consideramos el conjunto

D = \{(x, y) ∈ ℝ^{2} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} ≤ 1\}

Sea (r_{n})_{n∈ℕ} una sucesión inyectiva de números reales tales que su imagen {r_{n}} = ℚ ∩ (0, 1]. Para cada n natural, E_{n} es la elipse de ecuación \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = r_{n}, y sea E = ⋃_{n∈ℕ} E_{n} la unión de todas las elipses.

(a) Probar que \overline{E} = D.

(b) Demostrar que si n ≠ m los conjuntos E_{n} y E_{m} son disjuntos, y en consecuencia, que dado p ∈ E, existe un único n(p) tal que p ∈ E_{n(p)}.

(c) Sea t_{p} la recta tangente a la elipse E_{n(p)} en un punto p ∈ E. Se define f: E ∩ {x > 0} → ℝ como la distancia desde el origen hasta la intersección de t_{p} con el eje Ox, es decir f(p) = ∥t_{p} ∩ Ox∥. Probar que existe una única función g: D ∩ {x > 0} → ℝ que es continua, y tal que coincide con f en E ∩ {x > 0}

Ejercicio 3. Dada una curva c: [0, 1] → ℝ, definimos su longitud mediante

L(c) = ∫_{0}^{1} ∥c′(t)∥dt.

(a) Demostrar que si c′′(t) = 0 ∀t ∈ [0, 1] entonces L(c) = ∥c(1) − c(0)∥.

(b) Decimos que f: ℝ^{3} → ℝ^{3} es una isometría local si el diferencial d_{p}f es una isometría para cada p ∈ ℝ^{3}, es decir, si ∥d_{p}f(v)∥ = ∥v∥ para todo p y todo v en ℝ^{3}. Demostrar que si f es una isometria local, entonces ∥f(x) − f(y)∥ = ∥x − y∥, para todo x, y de ℝ^{3}.

(c) Probar que si f: ℝ^{3} → ℝ^{3} es una isometría, es decir, si ∥f(x) − f(y)∥ = ∥x − y∥, para todo x, y de ℝ^{3}, y además f(0) = 0, entonces f es una transformación lineal.

(d) Concluir que si f es una isometría local, existen un punto p ∈ ℝ^{3} y una tranformación lineal T: ℝ^{3} → ℝ^{3} tales que f(x) = p + T (x).