Centro de Matemática. 12 de marzo de 2003 Examen de Cálculo II

Ejercicio 1. (a) Calcular el volumen V (r) de la esfera de centro en el origen y radio r.

(b) Demostrar, que si E(a, b, c) es el volumen del elipsoide

\{(x, y, z): \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} ≤ r^{2}\},

se verifica E(a, b, c) = abcV (r).

(c) Hallar los extremos absolutos de E(a, b, c), condicionados a a + b + c = 3, considerando que a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0.

(d) Hallar la superficie del elipsoide de volumen máxmo hallado, utilizando la fórmula

A = ∫∫ _{D} \sqrt{1 + f_{x}(x, y)^{2} + f_{y}(x, y)^{2}}dxdy,

que da la superficie del gráfico de una función f(x, y) en un dominio D.

Ejercicio 2. Se considera la función de dos variables

f(x, y) = ∫∫ _{{x−1≤u≤x+1, y−1≤v≤y+1}} e^{−(u^{2}+v^{2})}dudv.

(a) Estudiar continuidad y diferenciabilidad de f en ℝ^{2}.

(b) Determinar sus puntos críticos.

(c) Calcular lim_{∥(x,y)∥→∞} f(x, y).

(d) Determinar los extremos absolutos (si existen) de f en ℝ^{2}.

Ejercicio 3. Se define la distancia d(A, B) entre dos conjuntos A y B de ℝ^{2}, mediante

d(A, B) = inf{∥a − b∥: a ∈ A, b ∈ B},

donde ∥x∥ denota la norma euclideana.

(a) i) Demostrar que si A es compacto, B es cerrado, y son disjuntos (A ∩ B = ∅), entonces d(A, B) > 0. ii) Sea A ⊂ U, A compacto, U abierto. Demostrar que existe r > 0 tal que para todo x ∈ A se verifica B(x, r) ⊂ U.

(b) Sea f: ℝ^{2} → ℝ de clase C^{1}, 0 un valor regular de f, y S = f^{−1}(0) la superficie de nivel 0 de f. Si p ∉ S y existe un q ∈ S tal que d({p}, S) = ∥p − q∥ > 0, demostrar que p − q ⊥ T_{q}S.

(c) Sea además g: ℝ^{2} → ℝ de clase C^{1}, 0 valor regular de g, y V = g^{−1}(0). Supongamos que existen dos puntos p ∈ S y q ∈ V tales que d(S, V) = ∥p − q∥ > 0. Demostrar que T_{p}S = T_{q}V.