Centro de Matemática. 12 de julio de 2004 Examen de Cálculo II

Ejercicio 1. Se considera la función de dos variables f(x, y) = xye^{−(x^{2}+y^{2})}.

(a) Probar que f(x, y) es una función acotada en el plano ℝ^{2}.

(b) Determinar sus puntos críticos, y hallar los extremos relativos y absolutos en ℝ^{2}.

(c) Hallar extremos absolutos en el dominio {(x, y) ∈ ℝ^{2} : x^{2} + y^{2} ≤ R^{2}}, discutiendo según el valor de R > 0.

Ejercicio 2. Consideremos un dominio

D = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ ax + b},

donde a, b son números positivos.

(a) Calcular el volumen del prisma definido por {(x, y) ∈ D, 0 ≤ z ≤ h},

donde h > 0. Se considera, un punto P de coordenadas (x_{0}, y_{0}, h), con x_{0}, y_{0} arbitrarios, y la pirámide de base D y vértice P.

(b) Calcular el área de la intersección de la pirámide con el plano z = z_{0}, donde 0 ≤ z_{0} ≤ h.

(c) Demostrar que el volumen de la pirámide es 1/3 del volumen del prisma calculado en (a).

Ejercicio 3. Se considera una aplicación

f = (f_{1}, f_{2}, f_{3}): ℝ^{2} → ℝ^{3}

de clase C^{1}, y un punto a = (x_{0}, y_{0}) ∈ ℝ^{2}, con b = f(x_{0}, y_{0}). Se consideran las siguientes proposiciones:

(i) El diferencial df_{a} de f en el punto a es inyectivo.

(ii) Existe una bola B = B(b, ε) de centro en b = f(x_{0}, y_{0}), contenida en ℝ^{3}, y una aplicación φ: B → ℝ^{2}, de clase C^{1}, tal que φ(f(x, y)) = (x, y), para todo (x, y) ∈ f^{−1}(B).

(a) Demostrar que (ii) implica (i).

(b) Asumiendo que el determinante de la matriz

( \begin{matrix}\frac{∂f_{1}}{∂x} & \frac{∂f_{1}}{∂y} \\ \frac{∂f_{2}}{∂x} & \frac{∂f_{2}}{∂y} \end{matrix} )

es no nulo en el punto a demostrar que la aplicación f̃: ℝ^{3} → ℝ^{3} dada por

f̃(x, y, z) = (f_{1}(x, y), f_{2}(x, y), f_{3}(x, y) + z)

es invertible.

(c) En las mismas condiciones que (b), demostrar que (ii) es cierto.

(d) Demostrar que (i) implica (ii).