Centro de Matemática. 5 de febrero de 2004

Examen de Cálculo II

Ejercicio 1. Se considera una función F: ℝ^{3} → ℝ que verifica F (1, 2, 3) = 5. Se sabe que el plano tangente a la superficie de nivel F (x, y, z) = 5 en el punto (1, 2, 3) tiene ecuación x − y + 2z = 5.

(a) Enunciar las condiciones necesarias para que exista una función de dos variables z = f(x, y) en un entorno de (1, 2) tal que F (x, y, z) = 5 si y sólo si z = f(x, y). Calcular el gradiente de f en el punto (1, 2).

(b) Calcular la derivada direcciónal de f en el punto (1, 2) con respecto de los vectores (1, 1) y (1, −1).

(c) Hallar a, b, c reales para que F (x, y, z) = ax^{2} + by^{2} + cz^{2} verifique las condiciones de la parte (a).

Ejercicio 2. Consideremos el rectángulo

R(x, y) = {(s, t) ∈ ℝ^{2} : 0 ≤ s ≤ x, 0 ≤ t ≤ y}.

(a) Calcular

F (x, y) = ∫∫ _{R(x,y)}(s + t)dsdt.

(b) Determinar los puntos críticos de F (x, y) en todo el plano y clasificarlos.

(c) Determinar los extremos absolutos de F (x, y) en el dominio de los puntos que verifican x ≥ 0, x^{2} + y^{2} ≤ 3.

Ejercicio 3. Se considera el conjunto

E_{r} = \{(x, y) ∈ ℝ^{2} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} ≤ r^{2}\}.

(a) Calcular las integrales

N(r) = ∫∫ _{E_{r}}(xy)^{2}dxdy, D(r) = ∫∫ _{E_{r}}(x + 1)^{2}dxdy,

y el límite

lim_{r→0} \frac{N(r)}{D(r)}.

(b) Demostrar, que si f es una función de dos variables continua en el origen, entonces se verifica

lim_{r→0} \frac{∫∫_{E_{r}} f(x, y)dxdy}{área(E_{r})} = f(0, 0).

(c) Demostrar, que si f, g son dos funciones de dos variables continuas en el origen, y tales que g(0, 0) ≠ 0 entonces

lim_{r→0} \frac{∫∫_{E_{r}} f(x, y)dxdy}{∫∫_{E_{r}} g(x, y)dxdy} → \frac{f(0, 0)}{g(0, 0)},

y calcular con este resultado el límite de la parte (a).