Facultad de Ciencias Centro de Matemática

EXAMEN DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 29 de enero de 2003

1. Calcular el volumen del conjunto de puntos interiores al cilindro 2x = x^{2} + y^{2} y a la esfera x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4 y que cumplen z ≥ 0.

2. Sean g(x, y, z) = x^{2} + y^{2} − 25

h(x, y, z) = y − \frac{1}{2}x^{2} + 5

f_{λ}(x, y, z) = φ_{λ}(x, y) + (1 − λ)z^{2}

(a) Hallar los puntos críticos de f_{λ} condicionados a g(x, y, z) = 0 y h(x, y, z) = 0, discutiendo según λ ∈ ℝ. Hallar λ_{0} ∈ ℝ para que f_{λ_{0}} tenga infitos puntos críticos condicionados a g(x, y, z) = 0 y h(x, y, z) = 0.

(b) Clasificarlos según λ. Si φ_{λ}(x, y) = λx + e^{(1−λ)} y, determinar los extremos absolutos condicionados de f_{λ_{0}} , donde λ_{0} es el hallado en la parte anterior.

3. (a) Sea f : ℝ^{3} ) ℝ de calse C^{1} y p ∈ ℝ^{3} tal que \frac{∂f}{∂x_{n}} (p) ≠ 0. Sea

ψ : B_{((p_{1} ,p_{2} ),r)} ⊂ ℝ^{2} ) I ⊂ ℝ

la función implícita de f en un entorno de p. Sean S = f^{−1}(f(p)) y φ : B_{((p_{1} ,p_{2} ),r)} ) (B_{((p_{1} ,p_{2} ),r)} × I) tal que

φ(x_{1}, x_{2}) = (x_{1}, x_{2}, ψ(x_{1}, x_{2})).

Probar que el espacio tangente a p en S, que se anota T_{P}S cumple:

T_{p}S = ⟨| \frac{∂φ}{∂x_{1}} (p_{1}, p_{2}), \frac{∂φ}{∂x_{2}} (p_{1}, p_{2})∥ ⟩ .

Concluir que dim T_{p}S = 2.

(b) Sea f : ℝ^{3} ) ℝ tal que

f(x, y, z) = ∫_{0}^{x^{2} +y^{2}} e^{−t^{2} z} dt.

Hallar los valores de k ∈ ℝ de modo que la ecuación f(x, y, z) = k define localmente z en función de x e y. Probar que para estos valores de k, la superficie f(x, y, z) = k es una superficie de revolución alrededor del eje Oz.

(c) Hallar una base y la dimensión de T_{(1,1,0)} f^{−1}(2).