Centro de Matemática. 12 de diciembre de 2003

Examen de Cálculo II

Ejercicio 1. Se considera el volumen V (x, y, z) del paralelepípedo de lados paralelos a los planos coordenados, con vértices (0, 0, 0) y (x, y, z).

(a) Hallar los extremos absolutos de V (x, y, z) cuando el vértice (x, y, z) pertenece al conjunto

D = \{(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0\}.

(b) Calcular

∫∫∫ _{D} V (x, y, z)dxdydz.

Ejercicio 2.

(a) Demostrar que la ecuación

z^{3} + x^{2} + xy + y^{2} + z = 0

tiene una única solución z para cada punto (x, y) del plano, que define una función que llamamos f(x, y).

(b) Determinar el conjunto D ⊂ ℝ^{2} de los puntos (x, y) para los que existe z tal que se puede aplicar el teorema de la función implícita en (x, y, z), y determinar los puntos críticos de f en el dominio D hallado.

(c) Demostrar que f(x, y) ≤ 0 en D y clasificar los puntos críticos hallados. (Sugerencia: demostrar que x^{2} + xy + y^{2} ≥ 0.)

Ejercicio 3.

(a) Calcular

∫∫∫ _{A}(x^{2} + y + z^{2})^{3}dxdydz,

donde

A = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x^{2} + z^{2} ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.

(b) Calcular

∫∫∫ _{B}(x^{2} + y^{2})dxdydz,

donde

D = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ r^{2}, x ≥ 0}.