Centro de Matemática 8 de diciembre de 2004 Examen de Cálculo II

Ejercicio 1. Se considera el conjunto M de los puntos de ℝ^{3} que verifican:

\begin{cases}3x^{2} + y^{2} + 6z^{2} = 1 \\ −y + z = 0 \end{cases}

(a) Determinar los puntos críticos de f, la función distancia al origen, condicionados al conjunto M.

(b) Demostrar que M es un conjunto compacto.

(c) Estudiar extremos absolutos de f condicionados a M.

Ejercicio 2. Se considera la función f: ℝ^{2} → ℝ dada por

f(x, y) = \begin{cases}\frac{2xy(y−x)}{x^{2}+y^{2}} & si y < x \\ y − x & si y ≥ x \end{cases}

(a) Probar que f es contina en ℝ^{2}.

(b) Investigar la existencia de derivadas direccionales en los puntos de la forma (a, a), con a real.

(c) Calcular

∫∫_{D} f(x, y)dxdy,

donde el dominio de integración verfica

D = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : y ≤ x, x^{2} + y^{2} ≤ 1}.

Ejercicio 3.

(a) Demostrar que la ecuación de la elipse x^{2} + 3y^{2} = 12, en el punto (3, 1) define una función y(x). Calcular el polinomio de Taylor de orden 3 de y(x) en x = 3.

(b) Se considera el conjunto de los triángulos isósceles inscriptos en la elipse de (a), con vértice fijo en (0, −2) y base paralela al eje Ox. Determinar los triángulos de área máxima y mínima. Justificar la existencia de extremos absolutos.

(c) Determinar el volumen del cuerpo exterior al cono e interior al elipsoide que se obtienen al girar el triángulo de área máxima y la elipse de la parte anterior alrededor del eje Oy.