Centro de Matemática. 2 de agosto de 2004 Examen de Cálculo Diferencial e Integral II

Ejercicio 1. Se considera, para x ≥ 0, y ≥ 0, la función

g(x, y) = \begin{cases}\frac{xy}{xe^{y}+ye^{x}} , & si (x, y) ≠ (0, 0), \\ 0, & si (x, y) = (0, 0). \end{cases}

(a) Calcular los límites

lim_{(x,y)→(0,0)} g(x, y),  lim_{(x,y)→∞} g(x, y).

(b) Probar que g tiene extremos absolutos en su dominio y hallarlos.

(c) Calcular la integral

∫∫∫_{D} \sqrt{1 + (x^{2} + y^{2} + z^{2})^{3/2}}dxdydz,

donde D = {(x, y, z): x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ R^{2}}.

Ejercicio 2. Se considera la función f: ℝ^{2} → ℝ dada por

f(x, y) = xe^{y} + ye^{x},

y los conjuntos C = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : f(x, y) = 0}, y C^{+} = {(x, y) ∈ C: x > 0}.

(a) Probar que para cada x > 0 existe un único y tal que (x, y) ∈ C.

(b) Probar que C^{+} es el gráfico de una función φ: (0, ∞) → ℝ diferenciable. Estudiar el signo de φ′(x) y probar que φ(x) ≤ 0 para todo x > 0.

(c) Probar que existe lim_{x→∞} φ(x) y hallarlo.

(d) Dibujar el conjunto C demostrando que es simétrico respecto de la recta y = x.

Ejercicio 3. Se considera un conjunto A ⊂ ℝ^{2} acotado, y la función f_{A}: ℝ^{2} → ℝ, definida mediante

f_{A}(x, y) = \begin{cases}1 & si (x, y) ∈ A \\ 0 & en otro caso \end{cases}

llamada indicatriz del conjunto A.

(a) Demostrar que si f_{A} es integrable, y se verifica ∫∫ f_{A}(x, y)dxdy = 0, entonces A es un conjunto con medida de Jordan nula.

(b) Determinar el conjunto de los puntos de discontinuidad de la función f_{A}.

(c) Decimos que un conjunto acotado B es medible según Jordan cuando f_{B} es una función integrable, y decimos que el conjunto B tiene medida de Jordan m(B), dada por

m(B) = ∫∫ f_{B}(x, y)dxdy.

Demostrar que si la frontera de B tiene medida de Jordan nula, entonces B es medible según Jordan.