Centro de Matemática. 11 de agosto de 2003

Examen de Cálculo II

Ejercicio 1. Consideremos la función:

f(x, y) = x^{2} + y^{2} − xy + x + y

(a) Hallar sus puntos estacionarios y clasificarlos.

(b) Hallar los extremos absolutos de f en la región determinada por

\begin{cases}x ≤ 0, \\ y ≤ 0, \\ x + y + 3 ≥ 0. \end{cases}

(c) Calcular ∫∫_{C} f siendo C el disco unidad. Ejercicio 2.

(a) Se considera el círculo C = {(x, y): x^{2} + y^{2} ≤ 1}. Realizar el cambio de variables

x = \frac{u − v}{\sqrt{2}} y = \frac{u + v}{\sqrt{2}}

para demostrar que

I = ∫∫ _{C} \frac{1}{1 − xy} dxdy = 2 ∫∫ _{D} \frac{1}{2 − u^{2} + v^{2}} dudv,

donde D es una región que se determinará.

(b) Expresar I mediante una integral simple. Ejercicio 3. (a) Probar que para todo (x, y) ∈ ℝ^{2} se verifica

• x^{2} + 2xy + 3y^{2} ≤ 4(x^{2} + y^{2}).

• x^{2} + 4xy + 6y^{2} ≥ \frac{1}{4}(x^{2} + y^{2}).

(b) Utilizando (a), probar que si f(x, y) = x^{2} + 4xy + 6y^{2} − log(x^{2} + 2xy + 3y^{2}),

entonces

min_{\sqrt{x^{2}+y^{2}}=ρ} f(x, y) → +∞ si ρ → +∞

(c) Hallar el mínimo absoluto de f en ℝ^{2}.