Centro de Matemática. 16 de agosto de 2005

Examen de Cálculo II

Ejercicio 1. Se consideran las funciones f, g: ℝ^{2} → ℝ definidas mediante

f(x, y) = (y − x^{2})^{2}, g(x, y) = f(x, y) + y^{2}.

(a) Hallar, en caso de que existan, los extremos relativos y absolutos de g en todo ℝ^{2}.

(b) Probar que existen extremos absolutos de f en el dominio

S = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : g(x, y) ≤ 1}.

(c) Hallar los extremos absolutos de la parte anterior.

(d) Se considera el conjunto

S^{+} = {(x, y) ∈ S: x ≥ 0}.

Demostrar que

∫∫_{S} |x|^{3}f(x, y)dxdy = 2 ∫∫_{S^{+}} x^{3}f(x, y)dxdy.

Ejercicio 2. Consideremos una función f: [a, b] → ℝ continua, con 0 < a < b y f(x) ≥ 0. Sean V_{ox} y V_{oy} los volúmenes de revolución generados por el conjunto a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x) obtenidos al girar alrededor de los ejes Ox y Oy respectivamente.

(a) Partiendo de la definición de volúmen de un cuerpo sólido V como V = ∫∫∫_{V} 1dxdydz demostrar

(i) V_{ox} = π ∫_{a}^{b} f^{2}(x)dx.

(ii) V_{oy} = 2π ∫_{a}^{b} xf(x)dx.

(b) Calcular la integral triple de la función g(x, y, z) = z en el dominio

\begin{cases}x^{2} + \frac{y^{2}}{4} + \frac{z^{2}}{9} ≤ 1, \\ x^{2} + \frac{y^{2}}{4} ≤ \frac{z^{2}}{9} . \end{cases}

Ejercicio 3. Decimos que una función f: ℝ^{n} → ℝ^{m} es propia cuando es continua y la preimagen de todo conjunto compacto es compacta (f^{−1}(K) es compacto en ℝ^{n} cuando K es compacto en ℝ^{m}). Decimos además que f es cerrada cuando la imagen de todo conjunto cerrado es cerrada (f(C) es cerrado en ℝ^{m} cuando C es cerrado en ℝ^{n}). Análogamente decimos que f es abierta cuando la imagen de todo conjunto abierto es abierta (f(U) es abierto en ℝ^{m} cuando U es abierto en ℝ^{n}).

(a) Probar que toda función propia es cerrada.

(b) Probar que si f: ℝ^{n} → ℝ^{n} de clase C^{1} es tal que df_{x} es invertible para todo x ∈ ℝ^{n}, entonces f es abierta.

(c) Probar que toda f: ℝ^{n} → ℝ^{n} propia y en las hipótesis de (b) es sobreyectiva. Si además es inyectiva, probar que su inversa es diferenciable.