\input{preambulo-practicos.tex}
\begin{center}
{\bf Pr\'actico 6: Integrales m\'ultiples}
\end{center}

\begin{ejercicio} 
Las integrales iteradas que siguen corresponden a integrales dobles de
$f$ sobre ciertos dominios. Croquizar esos dominios y expresarlas como
integrales iteradas en el orden inverso de integraci\'{o}n.
\[ 
\int_{0}^{1}dy \int_{0}^{y}f(x,y)dx \ \ \ \ \ \ \
\int_{1}^{4}dx \int_{\sqrt{x}}^{2}f(x,y)dy \ \ \ \ \ \ \
\int_{0}^{2}dy \int_{y^{2}}^{2y}f(x,y)dx 
\]
\[ 
\int_{1}^{2}dx \int_{2-x}^{\sqrt{2x-x^{2}}}f(x,y)dy \ \ \ \ \ \ \ \ 
\int_{1}^{e}dx \int_{0}^{\log(x)}f(x,y)dy   
\]
\end{ejercicio}
\begin{ejercicio}
Calcular $\iint_{D}f(x,y)dxdy$ en cada uno de los siguientes casos:
\begin{itemize}
\item[(a)] $f(x,y)=2x-y $ \ y \ $D=\{ (x,y) \in \R^{2}\colon 1\leq x \leq 4 ,
    0 \leq y \leq \sqrt{x} \}$.
\item[(b)] $f(x,y)=\sqrt{4x^{2}-y^{2}} $ \ y \ $D=\{ (x,y) \in \R^{2}\colon 0\leq
x \leq 1 ,      0 \leq y \leq \ x \}$.
\item[(c)] $f(x,y)=xy^{2} $ \ y \ $D=\{ (x,y) \in \R^{2}\colon 0\leq y \leq 1 ,
    y \leq x \leq  y+1 \}$.
\item[(d)] $f(x,y)=x^{2}-y^{2} $ \ y \ $D=\{ (x,y) \in \R^{2}\colon 0\leq x \leq
\pi ,      0 \leq y \leq \sen(x) \}$.
\item[(e)] $f(x,y)=xy $ \ y \ $D_{1}=\{ (x,y) \in \R^{2}/ \frac{x^{2}}{a^{2}}+
    \frac{y^{2}}{b^{2}} \leq 1 \}$ ; \ $D=D_1\cap \{  y \geq 0 \}$.
\item[(f)] $f(x,y)=(xy)^{2} $ \ y \ $D$ es la regi\'{o}n acotada del primer
cuadrante comprendida entre las hip\'erbolas: $xy=1$, $xy=2$ y las
rectas $y=x$, $y=4x$.
\end{itemize}
\end{ejercicio}
\begin{ejercicio} 
Calcular  \ $\int  \int_{D} f(x,y)dxdy$ \ en cada uno de los siguientes
casos, haciendo cambios de variable convenientes:
\begin{itemize}
\item[(a)] $f(x,y)=e^{-(x^{2}+y^{2})} $ \ y
    \ $D=\{ (x,y) \in \R^{2}\colon x^{2}+y^{2} \leq r^{2} \}$.
\item[(b)] $f(x,y)=x+y $ \ y \ $D=\{ (x,y) \in \R^{2}\colon 0\leq x  , \ 0 \leq y
\leq \ x , \      x^{2}+y^{2} \leq 1  \}$.
\item[(c)] $f(x,y)=x^{2}+y^{2} $ \ y \ $D=\{ (x,y) \in \R^{2}\colon 0\leq y  ,\
    x^{2}+y^{2} \geq 1 , \ x^{2}+y^{2}-2x \leq 0  \}$.
\item[(d)] $f(x,y)=x^{2}/(x^{2}+y^{2})$ \ y \ $D$ es el tri\'{a}ngulo de
lados $y=x$, $y=-x$, $x=1$ (se sugiere pasar a polares).
\item[(e)] $f(x,y)=(x-y)^{2}\sen^{2}(x+y) $ \ y \ $D$ es el cuadrado de
v\'ertices      $(0,\pi )$, $(2\pi , \pi )$, $(\pi ,2\pi )$.
\item[(f)] $f(x,y)=x^{2}/(x^{2}+y^{2}) $ y $D=\{ (x,y) \in \R^{2}\ /
\       0 \leq x \leq 1  , \ x^{2} \leq y \leq 2-x^{2}  \} $.
Se sugiere hacer el cambio de variable $x=\sqrt {v-u}$ , $y=v+u$.
\end{itemize}
\end{ejercicio}
\begin{ejercicio} 
Calcular la integral $\iint_{D} xdxdy$ \ siendo $D$ el paralelogramo de v\'ertices $(-2/3,-1/3)$,
$(2/3,1/3)$, $(4/3,-1/3)$ y $(0,-1)$ de las siguientes formas:
\begin{itemize} 
\item[(a)] En coordenadas cartesianas.
\item[(b)] Haciendo un cambio de variables lineal que transforme $D$ en el cuadrado de 
v\'ertices: $(0,0), (1,0), (1,1), (0,1)$.
\end{itemize}
\end{ejercicio}
\begin{ejercicio} 
Sea $U=\{(u,v)\in \R^{2}\colon u>0\}$ y $h\colon U\rightarrow h(U)$ dada por $h(u,v)=(u+v,v-u^{2})$.
\begin{itemize}
\item[(a)] 
Probar que $h$ es un cambio de coordenadas (se hallar\'{a} expl\'{\i}citamente $h^{-1}$).
\item[(b)] 
Hallar $J_{h}$ y $det(J_{h})$ en un punto gen\'erico. 
Hallar $det(J_{h^{-1}})$ en $(2,0)$, observando que $h(1,1)=(2,0)$.
\item[(c)] 
Sea $T$ el tri\'{a}ngulo de lados $u=0$, $v=0$, $u+v=2$. 
Calcular el \'area de $S=h(T)$.
\end{itemize}
\end{ejercicio}
\begin{ejercicio} 
Demostrar la siguiente igualdad:
\[
\iint_{D} f(xy)\ dxdy=\log(2)\int_{1}^{2}f(u)\ du,  
\]
siendo $D$ la regi\'{o}n del primer cuadrante limitada por las hip\'erbolas $xy=1$, $xy=2$ y las rectas $y=x$, $y=4x$.
\end{ejercicio}
\begin{ejercicio}
Calcular la integral
\[
\iiint_D\sqrt{1+(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}dxdydz,
\]
donde $D=\{(x,y,z)\colon x^2+y^2+z^2\leq R^2\}$.
\end{ejercicio}
\begin{ejercicio}(Examen 12/12/2003)
(a) Calcular 
\[
\iiint_A(x^2+y+z^2)^3dxdydz,
\]
donde 
\[
A=\{(x,y,z)\in\R^3\colon x^2+z^2\leq 1,\ 0\leq y\leq 1\}.
\]
\vskip1mm\noindent
(b)  Calcular 
\[
\iiint_B(x^2+y^2)dxdydz,
\]
donde 
\[
D=\{(x,y,z)\in\R^3\colon x^2+y^2+z^2\leq r^2,\ x\geq 0\}.
\]
\end{ejercicio}
\begin{ejercicio} 
Calcular $ \iiint_{D}f\ dxdydz$ en los siguientes casos:
\begin{itemize}
\item[(a)] $f(x,y,z)={(x+y+z+1)^{-2}},$
$D=\{(x,y,z)\in \R^{3}\colon x\geq 0, y\geq 0, z\geq 0, x+y+z \leq 1  \}$.
%\item[(b)] $f(x,y,z)=x$ \ y \ $D$ es el dominio acotado limitado por: $z=0$ ,
%$y=0$,      $y=x$, $x+y=2$, $x+y+z=6$.
\item[(b)] $f(x,y,z)=xyz$, \  $D=\{ (x,y,z)\in \R^{3}\colon 0 \leq y , \ 0 \leq x
, \ 0 \leq z , \      x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1 \}$.
\item[(c)] $f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}$ \ y \ $D$ es el dominio acotado comprendido
entre:      $x^{2}+y^{2}=2x$, $z=0$, $z=2$.
%\item[(e)] $f(x,y,z)=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-1}$ \ y \ $D$ comprendido entre:
%$z=0$,      $x=0$, $x=1$, $y=x^{2}$, $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$.
\item[(d)] $f(x,y,z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ \ y \ $D$ comprendido entre: $z=0$,
 $z=1$,      $z^{2}=x^{2}+y^{2}$.
\item[(e)] $f(x,y,z)=z$ \ y \ $D=\{ (x,y,z)\in \R^{3}\ /\
    0 \leq  a \leq x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq b \ \}$.
%\item[(f)] $f(x,y,z)=\big((x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}\big)^{-1/2}$
%  \ y \ $D$ la clausura de bola de centro en el origen y radio $r$.
\end{itemize}
\end{ejercicio}
\begin{ejercicio} Calcular el volumen de $D$:
\begin{itemize}
\item[(a)] $D=\{(x,y,z)\in \R^{3} \colon
     x^{2}/a^{2}+y^{2}/b^{2} \leq z\le 1 \}$.
\item[(b)] $D=\{ (x,y,z)\in \R^{3} \colon  \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leq z \leq 1
\ \}$.
\item[(c)] $D=\{ (x,y,z)\in \R^{3}\colon  x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq r^{2} ,\
    x^{2}+y^{2}-rx\geq 0 , \   x^{2}+y^{2}+rx \geq 0 \ \}$.
\item[(d)] $D$ comprendido entre $z=x^{2}$, $z=4-x^{2}-y^{2}$.
\end{itemize}
\end{ejercicio}
\begin{ejercicio} 
(Examen Marzo 2000)
Hallar el volumen de la intersecci\'on de la bola $x^2+y^2+z^2\le 1$ con el interior del cilindro $2x^2+y^2-2x=0$.
\end{ejercicio}
\begin{ejercicio}(Examen 7/8/2000)
Designemos mediante $(\rho,\varphi)$ las coordenadas polares en el plano $xOy$.
\begin{itemize}
\item[(a)]
Hacer un esquema del conjunto de puntos $(x,y)$ tales que
\begin{equation*}
\begin{cases}
0\le\varphi\le\pi/2,\\
0\le \rho\le 2R\varphi/\pi.
\end{cases}
\end{equation*}
Sea $S_R$ ese conjunto.
\item[(b)]
Calcular el volumen del s\'olido intersecci\'on de la bola
\[
B_R=\{(x,y,z)\colon x^2+y^2+z^2\le R^2\}
\]
y el cilindro de generatrices paralelas a $Oz$ que se proyecta en $S_R$ sobre el plano $xOy$.
\end{itemize}
\end{ejercicio}
\begin{ejercicio}(Examen 10/2/2000)
(a) Probar que si $u\colon\R^n\to\R\ (n\ge 2)$ es una funci\'on radial, es decir, existe una funci\'on 
$f\colon\R\to\R$ tal que $u(x)=f\big(\|x\|)$, el laplaciano de $u$ es
\[
\Delta u=\sum_{i=1}^n u_{x_ix_i}={1\over r^{n-1}}\big(r^{n-1}u_r\big)_r,
\]
donde $r=\|x\|=\big(\sum_{i=1}^nx_i^2\big)^{1/2}$.
\par\noindent\vskip1mm
(b) Hallar las soluciones radiales de la Ecuaci\'on de Laplace
\[
\Delta u=0,
\]
en $\R^n-\{(0,0)\}$.
\par\noindent\vskip1mm
(c) Sea $F$ una soluci\'on hallada en la parte anterior para $n=2$. Calcular 
\[
\iint_{B_{\varepsilon}}F(x,y)dxdy,
\]
siendo $B_{\varepsilon}=\{(x,y)\colon \varepsilon^2<x^2+y^2<1\}$, y 
\[
\iint_{B\big((0,0),1\big)-\{(0,0)\}}F(x,y)dxdy=\lim_{\varepsilon\to 0}\iint_{B_{\varepsilon}}F(x,y)dxdy.
\]
\end{ejercicio}
\begin{ejercicio}(Examen 1o./8/2002)
Se consideral las superficies $S_1$ y $S_2$ en $\R^3$ dadas respectivamente por las ecuaciones
\[
\begin{cases}
2az=x^2+y^2 &\qquad (S_1),\\
x^2+y^2-z^2=a^2 &\qquad (S_2),
\end{cases}
\]
donde $a>0$. Hallar el volumen del s\'olido acotado que limitan $S_1$ y $S_2$.
\end{ejercicio}
\begin{ejercicio}(Examen 02/08/2004)
Se considera un conjunto $A\subset\R^2$ acotado, y la
funci\'on $f_A\colon\R^2\to\R$, definida mediante
\[
f_A(x,y)=\begin{cases}
1&\text{si $(x,y)\in A$}\\
0&\text{en otro caso}
\end{cases}
\]
llamada 
\emph{indicatriz} del conjunto $A$.
\vskip1mm\noindent
(a) Demostrar que si $f_A$ es integrable, y se verifica $\iint f_A(x,y)dxdy=0$,
entonces $A$ es un conjunto con medida de Jordan nula.
\vskip1mm\noindent
(b) Determinar el conjunto de los puntos de discontinuidad de
la funci\'on $f_A$.
\vskip1mm\noindent
(c) Decimos que un conjunto acotado $B$ es \emph{medible} seg\'un Jordan
cuando $f_B$ es una funci\'on integrable, y decimos que 
el conjunto $B$ tiene medida de Jordan $m(B)$, dada por
\[
m(B)=\iint f_B(x,y)dxdy.
\]
Demostrar que si la frontera de  $B$ 
tiene medida de Jordan nula, entonces $B$ es medible seg\'un Jordan.
\end{ejercicio}


\end{document}


\begin{ejercicio} 
Calcular $I=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}dx$, calculando $I^{2}$ 
mediante un cambio de coordenadas a polares.
\end{ejercicio}
\begin{ejercicio}\emph{Integrales impropias}
\begin{itemize}
\item[(a)]
Para cada $n\in N$ definimos $D_{n}=\{(x,y)\in \R^{2}\colon x+y \le n, 0\leq y, 0\leq x\}$. 
Calcular
\[ 
\iint_{D_{n}}\frac{6}{(x+y+1)^{3}}\ dxdy  
\]
\item[(b)] 
Si $D=\{ (x,y)\in \R^{2}\colon  0\leq y , 0\leq x\}$, 
?`existe la integral impropia $\iint_{D}6(x+y+1)^{-3}dxdy$?
\item[(c)]  
Siendo $E_{n}=\{(x,y)\in \R^{2}\colon 0\leq y, 0\leq x, x^{2}+y^{2}\leq n\}$, 
calcular
\[  
\lim_{n\rightarrow +\infty}\iint_{E_{n}}\frac{6}{(x+y+1)^{3}}\ dxdy  
\]
\end{itemize}
\end{ejercicio}
\begin{ejercicio} 
\emph{Integrales impropias}
\begin{itemize}
\item[(a)] Siendo $D_{n}=\{(x,y)\in \R^{2}\colon\frac{1}{n^{2}}\leq x^{2}+y^{2}\leq 4\}$, 
calcular
\[ 
\iint_{D_{n}} \frac{1}{x^{2}+y^{2}}dxdy 
\]
\item[(b)] Si $D=\{(x,y)\in \R^{2}\colon x^{2}+y^{2} \leq 4\}$   
?`existe la integral impropia $\iint_{D}(x^{2}+y^{2})^{-1}dxdy$?
En caso de que exista, calcularla.
\end{itemize}
\end{ejercicio}
\begin{ejercicio} Sea $S$ el s\'{o}lido determinado por las condiciones:
\[    
0\leq z\leq \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leq 4,\quad
    x^{2}+y^{2} \geq z^{2},\quad
    x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 16.
\] 
Pasando a coordenadas cil\'{\i}ndricas calcular la integral $\iiint_{S} z\ dxdydz$.
\end{ejercicio}
%%%%%%%%%%%%%%%
% Falta dibujo 
\begin{ejercicio}(Examen 7/12/2001)
Se considera en $\R^3$ el conjunto $S$ del plano $xOy$ limitado por la curva de ecuaci\'on 
$\rho=2\varphi/\pi$, $0\le\varphi\le\pi/2$ (en coordenadas polares en el plano).

Calcular el volumen de la intersecci\'on de la bola centrada en $(0,0,0)$ y radio 1 con el cilindro
de generatrices paralelas al eje $Oz$ que se proyecta sobre el plano $xOy$.
\end{ejercicio}
\begin{ejercicio}(Examen 4/10/2002)
Calcular el volumen de la regi\'on de $\R^3$ cuyos puntos verifican $(x-1/2)^2+y^2\le 1/4$, y 
$z^2+y^2\le x^2/3$.
\end{ejercicio}