Facultad de Ciencias  Centro de Matemática  Cálculo Diferencial e Integral II (2004)

Práctico 5: Aplicaciones diferenciables

1. (a) Designemos mediante L = L(ℝ^{n}, ℝ^{m}) el espacio vectorial de las transformaciones lineales de ℝ^{n} en ℝ^{m}. Demostrar que la función ||| ||| : L → ℝ definida mediante

|||T ||| = sup{∥T (x)∥: ∥x∥ = 1},

es una norma.

(b) Consideremos dos transformaciones lineales T: ℝ^{n} → ℝ^{m} y U: ℝ^{m} → ℝ^{p}. Demostrar que

|||T ∘ U||| ≤ |||T ||| |||U||| .

2. (a) Demostrar que la composición de dos homeomorfismos es un homeomorfismo.

(b) Demostrar que la composición de dos difeomorfismos es un difeomorfismo.

(c) Consideremos f: U → V con U, V abiertos en ℝ^{n}. Demostrar f difeomorfismo implica f homeomorfismo; y que f homeomorfismo implica f biyectiva.

(d) Encontrar una biyección continua que no sea un homeomorfismo, y un homeomorfismo diferenciable que no sea un difeomorfismo.

3. Hallar una aplicación diferenciable f, y dos puntos a y b = a + v de su dominio tales que no existe θ ∈ (0, 1) tal que se verifique

f(b) − f(a) = \frac{∂f}{∂v} (a + θv).

4. Investigar en cuáles puntos f es localmente invertible y hallar el diferencial de la inversa local en el punto f(x, y).

1. f: ℝ^{2} → ℝ^{2}, dada por f(x, y) = (2xy, x^{2} − y^{2}).

2. f: ℝ^{2} → ℝ^{2}, dada por f(x, y) = (e^{x} cos y, e^{x} sen y).

3. f: ℝ^{2} → ℝ^{2}, dada por f(x, y) = (x cos y, x sen y).

4. f: ℝ → ℝ, dada por f(x) = x^{3}/3 − 2x^{2}/5 + 6x − 2.

5. (Examen 10/2/2000) Hallar las distancias máximas y mínimas del punto (0, 0, 2) a la curva intersección del cono de ecuación z^{2} = x^{2} + y^{2} con el cilindro de ecuación 3(z − 1)^{2} + (y − 1)^{2} − 4 = 0.

6. Hallar las distancias máximas y mínimas del punto (1, 1, 1) a la curva intersección del cono de ecuación x^{2} + z^{2} − y^{2} = 0 con la esfera de ecuación x^{2} + y^{2} + (z − 1)^{2} = 1.

7. Hallar el máximo y el mínimo del volumen de un tetraedro inscrito en la esfera de centro en el origen y radio 1, con dos vértices fijos en (1, 0, 0) y (0, 1, 0).

8. (Examen 4/3/2002) Se considera el subconjunto G de ℝ^{3} de los puntos que verifican

\begin{cases}4x + 3y^{2} − 4z = 0, \\ z^{2} − y = 0. \end{cases}

(a) Probar que G es compacto.

(b) ¿Hay puntos singulares en G (es decir, puntos en los cuales el diferencial de (3y^{2} + 4x^{2} − 4z, z^{2} − y) no tiene rango máximo)?

(c) Se considera la función f: ℝ^{3} → ℝ dada por

f(x, y, z) = 4xy + 4z − 1.

Hallar el máximo y el mínimo absoluto de la función f en la región G.

9. (Examen 7/12/2001) Se considera F: ℝ^{3} → ℝ^{2} dada por

F (x, y, z) = (x^{2} + y^{2} + (z − 1)^{2} − 1, x^{2} − y^{2} + z^{2}).

Sea C = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : F (x, y, z) = (0, 0)}.

(a) Probar que C es un conjunto compacto.

(b) Hallar la distancias máxima y míinima del punto (1, 1, 1) al conjunto C.

10. (Examen 10/12/1999) Hallar los extremos absolutos de la función:

f(x, y, z) = xy + yz + zx,

en la región definida por:

\begin{cases}z − x^{2} − y^{2} + 2 = 0 \\ x + y + z − 1 = 0 \end{cases}

(Demostrar que el dominio de f es un conjunto compacto.)

11. (Examen 1o./8/2002) Se considera en ℝ^{3} el conjunto de C los puntos (x, y, z) que verifican

\begin{cases}x^{2} + y^{2} − z^{2} = 0 \\ x^{2} + z^{2} − 4z + 3 = 0 \end{cases}

(a) Admitiendo que C es cerrado y acotado, hallar las distancias máxima y mínima de C al plano de ecuación

y + 2z = 0.

(b) Probar que C es cerrado y acotado.

12. (Examen 21/5/2003) Sea la función f: ℝ^{3} → ℝ dada por f(x, y, z) = x + y + 2z, y el conjunto S de los puntos de ℝ^{3} que verifican las condiciones

\begin{cases}3x^{2} + y^{2} = 12, \\ x + y + z = 2. \end{cases}

(a) Determinar los puntos críticos de f condicionados a S.

(b) Demostrar que S es un conjunto compacto.

(c) Estudiar extremos absolutos de f en S.