Facultad de Ciencias  Centro de Matemática  Cálculo Diferencial e Integral II (2004)

Práctico 4: Diferenciabilidad - Última parte.

1. Hallar el máximo y el mínimo absolutos en todo ℝ^{2} de cada una de las siguientes funciones:

(a) f(x, y) = y^{2} + x^{4} + y^{4}.

(b) f(x, y) = x^{4} + y^{4} − 2x^{2} + 4xy − 2y^{2}.

(c) f(x, y) = (ax^{2} + by^{2}) e^{−(x^{2}+y^{2})}.

(d) f(x, y) = (x^{2} + y^{2} − 2x + 1)/(x^{2} + y^{2} + 2x − 2y + 3).

2. Hallar y clasificar los puntos críticos de las siguientes funciones:

(a) f(x, y) = x^{2} + (y − 1)^{2}.

(b) f(x, y) = 1 + x^{2} − y^{2}.

(c) f(x, y) = (x − y + 1)^{2}.

(d) f(x, y) = x^{3} − 3xy^{2} + y^{3}.

(e) f(x, y) = x^{3} + y^{3} − 3xy.

(f) f(x, y) = sen(x) sen(y) sen(x + y) en [0, π] × [0, π].

3. Estudiar extremos relativos y absolutos de la función f: ℝ^{n} × ℝ^{m} → ℝ definida mediante f(x, y) = ⟨x, x⟩ − ⟨y, y⟩, con x ∈ ℝ^{n}, y ∈ ℝ^{m}.

4. Sea f(x, y) = (3 − x)(3 − y)(x + y − 3). Hallar todos sus puntos críticos y clasificarlos. ¿Tiene f extremos absolutos en todo ℝ^{2}?

5. Determinar los extremos absolutos y relativos y los puntos de silla de la función f(x, y) = xy(1 − x^{2} − y^{2}) en [0, 1] × [0, 1].

6. Verificar que el campo escalar f(x, y, z) = x^{4} + y^{4} + z^{4} − 4xyz tiene un punto estacionario en (1, 1, 1) y determinar la naturaleza de dicho punto.

7. (Regresión lineal) Dados (x_{1}, y_{1}), …, (x_{n}, y_{n}), parejas de números reales, hallar una función f(x) = ax + b que minimice el “error cuadrático”E(a, b), dado por

E(a, b) = ∑_{i=1}^{i=n} (f(x_{i}) − y_{i})^{2} .

8. Sea f una función diferenciable en un conjunto abierto U de ℝ^{n}. Se dice que f es homogénea de grado p en U si f(tx) = t^{p}f(x) ∀t > 0, x ∈ U, tx ∈ U.

(a) Dar una condición para que un polinomio de grado p en n variables sea homogéneo de grado p.

(b) Probar que para una función homogénea de grado p se cumple que ⟨x, ∇f(x)⟩ = pf(x). Sugerencia: considerar g(t) = f(tx).

(c) Probar que si f satisface ⟨x, ∇f(x)⟩ = pf(x) para todo x en un abierto U entonces f es homogénea de grado p en U. Sugerencia: considerar g(t) = f(tx) − t^{p}f(x).

(d) Si f es de clase C^{2} y homogénea de grado p en ℝ^{2} probar que f verifica:

x^{2}f_{xx}(x, y) + 2xyf_{xy}(x, y) + y^{2}f_{yy}(x, y) = p(p − 1)f(x, y)

9. Determinar los conjuntos de nivel y los gradientes de las funciones f, g, h: ℝ^{2} → ℝ definidas mediante f(x, y) = ax + by (a^{2} + b^{2} ≠ 0), g(x, y) = x^{2} + y^{2}, h(x, y) = x^{2} − y^{2}.

10. Hacer un croquis del dominio de f y dibujar los conjuntos de nivel.

f(x, y) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} f(x, y) = log (\frac{1 − x^{2} − y^{2}}{x^{2} + y^{2}} )

11. Probar que la ecuación xy^{2} + 4x^{2}y − 12 = 0 determina y = f(x) alrededor del punto (1, 2). Dar la ecuación de las rectas tangente y normal a f(x) en x = 1.

12. (Ejercicio de examen 10/2/2000) Se considera la ecuación

3x^{3} + 6x^{2}y + 3xy^{2} + 2y^{3} − 16 = 0.

(a) Probar que existe la función implícita y = f(x) definida por la ecuación anterior, y que f puede definirse en toda la recta real.

(b) Hallar los máximos y mínimos relativos de f y estudiar su comportamiento cuando x → ±∞, incluyendo la existencia de asíntotas. Como conclusión, representar gráficamente la función f.

13. Probar que las siguientes ecuaciones determinan y = f(x) alrededor del punto (x_{0}, y_{0}), que se indica en cada caso. Calcular f′(x_{0}), y f′′(x_{0}).

(a) x^{2}y + log(xy) = 1 , (x_{0}, y_{0}) = (1, 1).

(b) x + sh(x) − sen(y) = 0 , (x_{0}, y_{0}) = (0, 0). Hallar f′′′(x_{0}).

(c) x^{2}/a^{2} + y^{2}/b^{2} = 1, en (x_{0}, y_{0}) genérico con x_{0}^{2}/a^{2} + y_{0}^{2}/b^{2} = 1, y_{0} ≠ 0. ¿Que ocurre si y_{0} = 0?

14. Sea U ⊂ ℝ^{2} y f: U → ℝ, f(x, y) ≠ 0, tal que (x^{2} + y^{4})f(x, y) + (f(x, y))^{3} = 1, ∀(x, y) ∈ U. Probar que f ∈ C^{∞} en U.

15. Demostrar que la ecuación e^{y} + y = e^{−2x} − x determina una única función y = f(x) definida para todo x real. (Se sugiere estudiar las funciones F (y) = e^{y} + y, G(x) = e^{−2x} − x.) Hallar f′(0), f′′(0) y f′′′(0).

16. Sean u = (x, y, z) y r: ℝ^{3} → ℝ, dada por r(x, y, z) = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}.

(a) Mostrar que ∇r es un vector unitario y colineal con u.

(b) Mostrar que ∇r^{n} = nr^{n−2}u (n entero).

(c) Hallar f tal que ∇f = u.

Aplicación: Se sabe que el campo eléctrico creado por una carga puntual Q ubicada en (0, 0, 0), en el punto (x, y, z) es E(x, y, z) = kQu/r^{3} y que el potencial eléctrico es una función V tal que E = −∇V. Deducir que el campo eléctrico es perpendicular a las superficies equipotenciales. Hallar el potencial V.

17. Sea F: ℝ^{3} → ℝ tal que F (x, y, z) = axz + x Arctg(z) + z sen(2x + y) − 1 (a real).

(a) Probar que la ecuación F (x, y, z) = 0 determina a z = f(x, y) alrededor de (0, π/2, 1).

(b) Hallar a para que (0, π/2) sea un punto crítico de f.

(c) Calcular lím_{(x,y)→(0, \frac{π}{2} )} \frac{f(x,y)−1−3x^{2}/2−2x(y−π/2)}{x^{2}+(y−π/2)^{2}}.

18. Sea F: ℝ^{3} → ℝ dada por F (x, y, z) = x^{3} + y^{2} + yz.

(a) Hallar los puntos (a, b, c) ∈ ℝ^{3} tales que es posible aplicar el teorema de la función implícita a la ecuación F (x, y, z) = 0 para despejar z = f(x, y) en un entorno de (a, b).

(b) Calcular el gradiente de f en el punto (1, 1).

19. Se define la distancia d(A, B) entre dos conjuntos A y B de ℝ^{2}, mediante

d(A, B) = inf{∥a − b∥: a ∈ A, b ∈ B},

donde ∥x∥ denota la norma euclideana.

(a) i) Demostrar que si A es compacto, B es cerrado, y son disjuntos (A ∩ B = ∅), entonces d(A, B) > 0. ii) Sea A ⊂ U, A compacto, U abierto. Demostrar que existe r > 0 tal que para todo x ∈ A se verifica B(x, r) ⊂ U.

(b) Sea f: ℝ^{2} → ℝ de clase C^{1}, 0 un valor regular de f, y S = f^{−1}(0) la superficie de nivel 0 de f. Si p ∉ S y existe un q ∈ S tal que d({p}, S) = ∥p − q∥ > 0, demostrar que p − q ⊥ T_{q}S.

(c) Sea además g: ℝ^{2} → ℝ de clase C^{1}, 0 valor regular de g, y V = g^{−1}(0). Supongamos que existen dos puntos p ∈ S y q ∈ V tales que d(S, V) = ∥p − q∥ > 0. Demostrar que T_{p}S = T_{q}V.

20. (a) Determinar los extremos absolutos de la función f(x, y) = ax + by (a^{2} + b^{2} ≠ 0) condicionados a x^{2} + y^{2} = 1

(b) Determinar los extremos absolutos de la función g(x, y, z) = ax+by+cz (a^{2}+b^{2}+c^{2} ≠ 0) condicionados a x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

21. Se considera f: ℝ^{2} → ℝ dada por f(x, y) = (x + 2y)e^{x+y}. Hallar los extremos de f condicionados a x^{2} + y^{2} = 1.

22. Consideremos la función f: ℝ^{n} × ℝ^{n} → ℝ definida mediante f(x, y) = ⟨x, y⟩ (x ∈ ℝ^{n}, y ∈ ℝ^{n}). Hallar los extremos de f condicionados a ∥x∥^{2} + ∥y∥^{2} = 1 y deducir la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

23. (a) Hallar los puntos estacionarios de f(x, y) = x^{2} + y^{2} − xy en ℝ^{2}. (b) Hallar los puntos estacionarios de f condicionados a x^{2} + y^{2} + xy = 1. (c) Hallar los extremos absolutos de f condicionados a x^{2} + y^{2} + xy ≤ 1.

24. Hallar extremos absolutos de f en D:

(a) f(x, y) = xy con D = {(x, y): 5x^{2} − 6xy + 5y^{2} ≤ 4}.

(b) f(x, y) = e^{(x−1)^{2}+y^{2}} con D = {(x, y): 2x^{2} + y^{2} ≤ 1}.

25. Hallar la máxima y mínima distancia desde el origen a la curva 5x^{2} + 6xy + 5y^{2} = 8. Hallar además los puntos en los que esta curva tiene tangentes horizontales y verticales.

26. Hallar los puntos de la superficie z^{2} − xy = 1 más próximos al origen.

27. Hallar la mínima distancia del origen de ℝ^{3} al conjunto de puntos (x, y, z) que verifican la ecuación x^{2}(y + z) + 2x(y^{2} − z^{2}) + 2 = 0.