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\begin{center}
{\bf Pr\'actico 3: Diferenciabilidad I}
\end{center}

%%%%%%% ----------- 2.1. Derivadas parciales y direccionales

\begin{ejercicio}
(a) Demostrar que, dada $T\colon\rn\to\R$, son equivalentes: (i) existe $A\in\rn$ tal que $T(x)=\interno Ax$;
(ii) $T(\alpha x+\beta y)=\alpha T(x)+\beta T(y)$ para todo $x,y\in\rn$, $\alpha,\beta\in\R$.
\vskip1mm\noindent
(b) Demostrar que $T(x)=\interno Ax$ es continua y diferenciable, calcular la derivada direccional
con respecto de un vector arbitrario $v\in\rn$, y las derivadas parciales.
\end{ejercicio}\begin{ejercicio}
Llamamos \emph{polinomio de grado $p$ en $n$ variables} a una funci\'on $P\colon\rn\to\R$ dada por 
\[
P(x_1,\dots,x_n)=\sum_{i_1,\dots,i_n=0}^pa_{i_1,\dots,i_n}x_1^{i_1}\cdots x_n^{i_n},
\]
donde $a_{i_1,\dots,i_n}$ son constantes para cada $n$-\'upla $i_1,\dots,i_n$,
desde $(0,\dots,0)$ hasta $(p,\dots,p)$.
\vskip1mm\noindent
(a) Desarrollar la sumatoria que define $P$ en el caso $p=n=2$.
\vskip1mm\noindent
(b) 
Demostrar que $P$ es una funci\'on diferenciable.
\vskip1mm\noindent (c) 
Sea $T\colon\rn\to\rn$ una transformaci\'on lineal, y consideremos $Q(x)=\interno x{T(x)}$. 
Demostrar que $Q$ es diferenciable, y calcular sus derivadas direccionales y parciales.
Estudiar el caso en que $T$ tiene matriz sim\'etrica en la base can\'onica, es decir, $Q(x)$ es una forma cuadr\'atica.

\end{ejercicio}\begin{ejercicio}
?`Es diferenciable en $\R^n$ la funci\'on $f(x)=\norma x$??`Qu\'e ocurre si $n=1$?

\end{ejercicio}\begin{ejercicio}
(a) 
Demostrar que si $N(x)$ es una norma en $\rn$, una funci\'on $f\colon U\to\R$
es diferenciable en $a\in U$, abierto de $\rn$, si y solo si
existe un vector $A=\A$ tal que 
\[
\lim_{v\to 0}{1\over N(v)}\big(f(a+v)-f(a)-\interno Av\big)=0.
\]
\vskip1mm\noindent (b)
Sea $\lambda=(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\colon I\to\rn$ una curva diferenciable en $a\in I$, $I$ intervalo
abierto en $\R$. Demostrar que
\[
\lambda'(a)=\big(\lambda'_1(a),\dots,\lambda'_n(a)\big).
\]
\end{ejercicio}\begin{ejercicio}
Estudiar continuidad y existencia de derivadas parciales en el origen de las siguientes funciones:
\[
f(x,y)=\begin{cases}
{xy\over x^2+y^2},      \text{ si $(x,y)\neq (0,0)$},\\
0,                      \text{ si $(x,y)= (0,0)$},
\end{cases}
\
g(x,y)=
\begin{cases}
(x+y)\sen\Big({1\over x+y}\Big),        \text{ si $x+y\neq 0$},\\
0,                                      \text{ si $x+y= 0$}.
\end{cases}
\]
\end{ejercicio}\begin{ejercicio}
Estudiar la continuidad, existencia de derivadas direccionales y diferenciabilidad en el origen,
de las siguientes funciones,
todas ellas definidas como $0$ en el origen $(0,0)$, y si $(x,y)\neq (0,0)$ definidas mediante
\[
{\rm (a)}\quad  f(x,y)={x^2y\over x^2+y^2},
\qquad
{\rm (b)}\quad  g(x,y)={x^3y\over x^6+y^2},
\qquad
{\rm (c)}\quad  h(x,y)={x^3y\over x^4+y^2}.
\]
\end{ejercicio}\begin{ejercicio}
Para las siguientes funciones determinar el m\'aximo dominio de definici\'on posible,
estudiar continuidad y hallar derivadas parciales en
los dominios determinados:
\begin{itemize}
\item[(a)] $f(x,y)=x^{3}+y^{3}-2x^{2}y-3xy+9x$.
\item[(b)] $f(x,y)=\Arctg(y/x)$
(Calcular adem\'{a}s todas las derivadas de segundo orden.)
\item[(c)] $f(x,y)=x^{y}$, \ \ \ \ \ \ $f(x,y,z)=(xy)^{z}$.
\end{itemize}
\end{ejercicio}
\begin{ejercicio}
Estudiar continuidad y existencia de
derivadas direccionales (en particular, de las
derivadas parciales) en los puntos que se indican:
\begin{itemize}
\item[(a)] En $(0,y_{0})$: \ $f(x,y)=\left\{
\begin{array}{lc} \frac{e^{xy}-1}{x}, & \mbox{si $x\neq 0$}, \\
 y, & \mbox{si $x=0$.}\end{array} \right. $
\item[(c)] En los ejes: \ $f(x,y)=\left\{
\begin{array}{lc} xy\sen (1/x)\cos (1/y) &
\mbox{si $xy\neq 0$} \\
0 & \mbox{si $xy=0$.}
\end{array} \right. $
\item[(d)] En $(x_{0},1)$: \ $f(x,y)=\left\{
\begin{array}{lc} x^{3} & \mbox{si $y\geq 1$} \\
x^{3}y^{2} & \mbox{si $y<1$.}
\end{array} \right. $
\end{itemize}

\end{ejercicio}\begin{ejercicio}
(a) Demostrar que si $f$ es diferenciable en un punto $a$ de su dominio, entonces $(\partial f/\partial v)(a)$
es una funci\'on lineal de $v\in\rn$.
\vskip1mm\noindent 
(b) Se sabe que $f_x(0,0)=2$, $f_y(0,0)=-1$, y que $f$ es diferenciable en el origen.
Calcular $(\partial f/\partial v)(0,0)$ para $v=(h,k)$ no nulo.
\vskip1mm\noindent 
(c) Se sabe que $f(x,x)=x$, que $f(0,y)=0$, y que $f$ es diferenciable en el origen.
Calcular $f_x(0,0)$.
\vskip1mm\noindent 
(d) Demostrar que la funci\'on $\efedos$ dada por $f(0,0)=0$, y
\[
f(x,y)={x^2y\over x^2+y^2}\text{ si $(x,y)\neq (0,0)$}
\]
tiene derivadas direccionales en el origen para todo $v\neq 0$, y calcularlas.
?`Es lineal la funci\'on $(\partial f/\partial v)(0,0)$?
?`Es diferenciable $f$ en el origen?

\end{ejercicio}\begin{ejercicio}
Consideremos una funci\'on real de varias variables
$\efeu$, con $U$ abierto en $\rn$, y $a\in U$.
Entre las 6 proposiciones que se indican, existen 30 posibles 
teoremas, que tienen a las proposiciones dadas como hip\'otesis o tesis.
Reconocer los verdaderos (a partir de lo estudiado en te\'orico), 
y dar contraejemplos de los falsos.
\begin{enumerate}
\item
$f$ es continua en $a$;
\item
$f$ es diferenciable en $a$;
\item
Existe $(\partial f/\partial v)(a)$ para todo $v\neq 0$ de $\rn$;
\item
Existen todas las derivadas parciales de $f$ en $B(a,\e)$ y son continuas en $a$;
\item
$\nabla f(a)=0$;
\item
$f(x)=\norma{x-a}$.
\end{enumerate}

\end{ejercicio}\begin{ejercicio}
(a) Hallar la ecuaci\'on del plano tangente, en un punto gen\'erico, al gr\'afico 
de la funci\'on $f(x,y)=h(y/x)$, en donde $h\colon\R\to\R$ es una funci\'on diferenciable.
\vskip1mm\noindent 
(b) Si $(a,b,c)$ es un punto de la superficie $z=xy$, las dos rectas $z=bx$, $y=b$,
y $z=ay$, $x=a$ se cortan en $(a,b,c)$ y est\'an contenidas en la superficie.
Comprobar que el plano tangente a la superficie en el punto $(a,b,c)$ contiene a estas
dos rectas. 

\end{ejercicio}\begin{ejercicio}
(a) Se considera $f\colon\R^2\to\R$ de clase $C^{\infty}$ (todas sus derivadas parciales de cualquier
orden son funciones continuas). 
Considerar 
$g(t)=f(a+tv)$, 
y calcular las derivadas 
$g'(0)$, $g''(0)$, hasta $g^{(p)}(0)$.
\vskip1mm\noindent 
(b) Se consideran $\lambda :(-\epsilon ,\epsilon )\rightarrow U\subset\rn$
y $f\colon U\rightarrow\R$ funciones suficientemente regulares. Calcular
$(f\circ\lambda)''$ en funci\'{o}n de las derivadas parciales de $f$
y de $\lambda$.



\end{ejercicio}\begin{ejercicio}
Supongamos que $\eFeu$ con $U\subset\R^2$ abierto, y $f\colon I\to\R$ con $I\subset\R$ intervalo 
abierto son de clase $C^2$ (tienen derivadas primeras y segundas continuas), 
y tales que $\big(x,f(x)\big)\in U$, y que se verifica $F\big(x,f(x)\big)=0$ para todo $x\in I$.
Calcular $f'(x)$ y $f''(x)$ a partir de las derivadas parciales de $F$.

\end{ejercicio}\begin{ejercicio}
Sean $U\subset\rn$ un conjunto abierto y convexo, $\efeu$ una funci\'on diferenciable en $U$,
y $c$ una constante real. Se consideran las siguientes afirmaciones:
\begin{itemize}
\item[\rm (i)]
$\|df_a(v)\|\le c\|v\|$ para todo $a\in U$ y todo $v\in\rn$.
\item[\rm (ii)]
$\|f(x)-f(y)\|\le c\|x-y\|$ para todos $x,y\in U$
\item[\rm (iii)]
$f$ es uniformemente continua en $U$.
\end{itemize}
(a) Probar que (i) implica (ii).
(b) Probar que (ii) implica (i).
(d) Probar que (ii) implica (iii).
(d) Mostrar con un contraejemplo que (iii) no implica (ii).

\end{ejercicio}\begin{ejercicio}
(a) Demostrar que si $u$ es una funci\'{o}n de la forma
      $u(x,y)=f(x)g(y),$ donde $f$ y $g$ son funciones definidas en algun
      intervalo abierto de $\R$, entonces, $u$ satisface la ecuaci\'{o}n
      diferencial 
\[
u\frac{\partial ^2 u}{\partial x \partial y}-\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial y}=0.
\]
\end{ejercicio}\begin{ejercicio}
Si las funciones $f,g\colon U\to\R$ son diferenciables en el punto $a\in U$ abierto en $\rn$,
tambi\'en son diferenciables las funciones  $fg$ y $f/g$, 
esta \'ultima cuando $g(a)\neq 0$, y sus diferenciales
verifican
\begin{itemize}
\item[\rm (a)] $d\big(fg\big)_a=g(a)df_a+f(a)dg_a$,
\item[\rm (b)] $d\big(f/g\big)_a={1\over g(a)}df_a-{f(a)\over g(a)^2}dg_a$.
\end{itemize}

\end{ejercicio}\begin{ejercicio}
Dada $\efeu$ diferenciable en $a\in U$, abierto en $\rn$, 
consideramos el gradiente de $f$ en $a$, dado por
\[
\nabla f(a)=\Big(\derivada f{x_1}(a),\dots,\derivada f{x_n}(a)\Big).
\]
Las ecuaciones $x=e^{u}\cos v$, $y=e^{u}\sen v$ definen $u$ y $v$ como
      funciones de $x$ e $y$, sean estas: $u=U(x,y)$ y $v=V(x,y).$ Hallar
      f\'{o}rmulas expl\'\i citas para $U(x,y)$ y $V(x,y)$ y probar que en todo
      punto distinto del origen los gradientes de ambas funciones son
      perpendiculares.
\end{ejercicio}\begin{ejercicio}
Consideremos $\efedos$ dada por $f(0,0)=0$, y 
\[
f(x,y)={xy(x^2-y^2)\over x^2+y^2}\text{ si $(x,y)\neq (0,0)$}
\]
(a) Estudiar la existencia de las derivadas parciales de $f$ en el origen.
\vskip1mm\noindent
(b) ?`Es $f$ diferenciable en el origen?
\vskip1mm\noindent
(c) Estudiar la existencia de las derivadas segundas de $f$ en todo $\R^2$.
?`Se verifica la igualdad de derivadas cruzadas?

\end{ejercicio}\begin{ejercicio}
Aplicar la regla de Leibnitz para demostrar el siguiente teorema de inversi\'on en el
orden de las integrales iteradas: Para toda funci\'on continua $f\colon [a,b]\times[c,d]\to\R$
se tiene
\[
\int_a^b\Big[\int_c^df(x,y)dy\Big]dx=\int_c^d\Big[\int_a^bf(x,y)dx\Big]dy.
\]
\end{ejercicio}


\end{document}







   


