\input{preambulo-practicos.tex}

\begin{center}
{\bf Pr\'actico 2: Nociones topol\'ogicas elementales de $\rn$ (\'ultima parte)}
\end{center}


%%%%%%%%%%% ------------ Limite de funciones 

\begin{ejercicio}
Probar que en los siguientes casos no existe el $\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} f(x,y)$:
\[ 
f(x,y)=\frac{x^2 -y^2}{x^2 +y^2}
\qquad
f(x,y)=\frac{2x^{3}y}{(x^{2}+y^{2})^{2}} 
\qquad
f(x,y)=\left\{ 
\begin{array}{ll}
\frac{xy}{x+y}, & si \ x+y\neq 0 \\
0, & si \ x+y=0 
\end{array} 
\right. 
\]
\end{ejercicio}
\begin{ejercicio}
(a) Sean $f,g:U(\subset\rn)\rightarrow\R$, y $a\in U$. 
Probar que si $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=0$ y $g$
es una funci\'on acotada en alguna bola reducida de centro $a$,
entonces $\lim_{x\to a}f(x)g(x)=0$.
\vskip1mm\noindent (b) Calcular los l\'{\i}mites de la siguientes funciones para
$(x,y)\to (0,0)$:
\[ 
x\sen\left( \frac{1}{x^2 +y^2 } \right)
\qquad
\frac{xy^{2}}{x^2 +y^2 }
\qquad
\frac{xy^{3}}{x^2 +y^4 } 
\qquad
\]
\end{ejercicio}
\begin{ejercicio}
Dada $f\colon X\subset \rn\to\R^m$, tenemos 
\[
f(x_1,\dots,x_n)=\big(f_1(x_1,\dots,x_n),\dots,f_m(x_1,\dots,x_n)\big),
\]
y a cada funci\'on $f_k\colon X\subset\rn\to \R\ (k=1,\dots,m)$ la llamamos \emph{funci\'on coordenada}. 
Sea $a$ punto de acumulaci\'on de $X$. Demostrar que $f$ tiene l\ii mite
cuando $x\to a$ si y s\'olo si sus funciones coordenadas tienen l\ii mite cuando $x\to a$.
\end{ejercicio}
\begin{ejercicio} 
(a)
Probar que si $\lim_{(x,y)\rightarrow (a,b)}f(x,y)=L$
y existen los l\'{\i}mites unidimensionales: \\
$\lim_{x\rightarrow a}f(x,y)$ \ y  \ $\lim_{y\rightarrow b}f(x,y)$ \
entonces existen  los l\'\i mites iterados y:

\[ \lim_{x\to a}\ \left( \lim_{y\to
b}f(x,y)\right) = \lim_{y\to b}\left(
\lim_{x\to a}f(x,y) \right)=L  \]

\vskip1mm\noindent (b)
Verificar que los l\'{\i}mites iterados de
       $f(x,y)=(x-y)/(x+y)$ existen en $(0,0)$ pero son distintos. Comentar.
\vskip1mm\noindent (c)
Verificar que los l\'\i mites iterados de
       $f(x,y)=(x^{2}y^2)/(x^{2}y^{2}+(x-y)^2)$ existen y son iguales
       en $(0,0)$ pero no existe el $\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}f(x,y)$.
       Comentar.
\vskip1mm\noindent (d)
Se considera $f:\R^2\to\R$ definida por:
\[ 
f(x,y)=\begin{cases}
x\sen(1/y), &\text{si  $y\neq 0$}\\
0, &\text{si $y=0$}.
\end{cases}
\]
Mostrar que el $\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}f(x,y)=0$,
pero un l\'{\i}mite
iterado no existe. ?`Esto contradice la parte (a)?
\end{ejercicio}
\begin{ejercicio} 
Calcular:
\[ 
\lim_{(x,y)\to (1,2)}\frac {x^2 +xy+1}{x^2 -x-y}
\quad
\lim_{(x,y)\to (0,0)}x\:y\:\log\mid y \mid
\quad
\lim_{(x,y)\to (1,1)} \frac{x^2 +xy-2y^2 }{x^2-y^2} 
\]
\[ 
\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^3 +y^3 }{x^2 +y^2};
\quad
\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{e^{x-y}-1 }{x^2 -y^2}
\quad
\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{\log(1+x^2 +y^2)
}{x^2 +y^2 + x^{3}y} 
\]
\end{ejercicio}
\begin{ejercicio} 
Se considera $f:\R^2\rightarrow\R$. Mediante el cambio
de variable $x=r\cos\theta$, $y=r\sen\theta$, con $\theta\in[0,2\pi)$ 
obtenemos $f(x,y)=g(r,\theta)$.
\vskip1mm\noindent (a)
Supongamos que $g(r,\theta)=f_{1}(r)f_{2}(\theta)$.
Probar que si $f_{2}$ est\'{a} acotada en $[0,2\pi)$ y $\lim_{r\to 0}f_{1}(r)=0$
       entonces $\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}f(x,y)=0$.
\vskip1mm\noindent (b)
?`Qu\'e sucede si $f_{2}$ no est\'{a} acotada?
\vskip1mm\noindent (c)
Calcular:
\[ \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x^{2}y}{x^2 +y^2 }
           \ \ \ \   \ \ \
\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{xy}{\sqrt{x^2 +y^2} }
\]
\vskip1mm\noindent (d)
Demostrar o dar un contraejemplo:
\[
\forall\theta\in [0,2\pi) 
\lim_{r\to 0}g(r,\theta)=0,
\Rightarrow
\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}f(x,y)=0.
\]
\end{ejercicio}
\begin{ejercicio}
Sean $\efe$, 
$a$ de acumulaci\'on de $X\subset\rn$, 
$g\colon Y\to\R^p$,
$b$ de acumulaci\'on de $Y$,
$f(X)\subset Y\subset\R^m$.
Supongamos que
\[
\lim_{x\to a}f(x)=b,\quad
\lim_{y\to b}g(y)=c.
\]
Demostrar o dar un contrajemplo:
\[
\lim_{x\to a}g\big(f(x)\big)=c.
\]
\end{ejercicio}

%%%%%%%%%%%%%%% ----------------- Continuidad de funciones

\begin{ejercicio}
Demostrar la equivalencia entre (a) $f(x)$ es continua en $a$ y (b)
Para toda sucesi\'on $(x_k)\subset X$, $x_k\tok a$ se verifica $f(x_k)\tok f(a)$.
\end{ejercicio}
\begin{ejercicio}
Demostrar que la funci\'on $f$ es continua en un punto $a$, si y s\'olo si, son continuas sus funciones coordenadas en $a$.
\end{ejercicio}
\begin{ejercicio}
En cada caso hallar el dominio y estudiar la continuidad de $f$, donde $f$ est\'a definida por las siguientes f\'ormulas:
\[
f(x,y) = x^4 + y^4 - 4x^2y^2
\quad
f(x,y) = \log(x^2 + y^2)
\quad
f(x,y) = \mbox{Arcsen}\big(x/\sqrt{x^2 + y^2}\big)
\]
\end{ejercicio}
\begin{ejercicio}
Investigar la continuidad de $f\colon\R^2\rightarrow\R$ definida mediante
\[
f(x,y)=
\begin{cases}
\sqrt{1-x^2-y^2},       &\text{ si $x^2+y^2<1$}, \\
         0,             &\text{ si $x^2+y^2 \geq 1$}.
\end{cases}
\]
\end{ejercicio}
\begin{ejercicio} 
Sea $f\colon\rn\rightarrow\R$ una funci\'{o}n continua. Probar que:
\begin{itemize}
\item[(a)] Si $f(x)>0$ entonces existe $\delta>0$ tal que $f\big(B(x,\delta)\big)>0$.
(Conservaci\'on del signo.) 
\item[(b)] $\{x\in\R^n\colon f(x)>a \}=f^{-1}(a,+\infty)$ es un conjunto abierto.
\item[(c)] 
$\{x\in\R^n\colon f(x)<a\}=f^{-1}(-\infty ,a)$ es un conjunto abierto.
\end{itemize}
\end{ejercicio}
\begin{ejercicio} 
Sea $f\colon\rn\rightarrow\rrm$ una funci\'{o}n continua. Probar que:
\begin{itemize}
\item[(a)] Si $A$ es abierto $f^{-1}(A)$ es abierto.
\item[(b)] $f^{-1}(a)=\{x\in\R^n \colon  f(x)=a\}$ es un conjunto cerrado.
\end{itemize}
Utilizando (b) demostrar que el conjunto de puntos $(x,y,z)$ de $\R^3$ que verifican
\[
\begin{cases}
x^2+y^2=1\\
y^2+z^2=2\\
\end{cases}
\]
es un conjunto cerrado.
\end{ejercicio}
\begin{ejercicio} 
(a) Demostrar que la composici\'on de funciones uniformemente continuas es uniformemente continua.
\vskip2mm\noindent (b)
Estudiar la continuidad uniforme de $f(x)=1/x$ en el intervalo $(0,1)$.
\vskip2mm\noindent (c)
Estudiar la continuidad uniforme de $f(x)=\cos\big(x^2\big)$ en los intervalos $[0,2\pi]$ y $\R$.
\end{ejercicio}
\begin{ejercicio} Una funci\'on $f\colon D\subset\rn\rightarrow\R$ se
dice \emph{lipschitziana}, cuando existe $k>0$ tal que:
\[ 
|f(x)-f(y)|\leq k\|x-y\|
\quad
\forall x,y \in D.
\]
\vskip1mm\noindent(a)
Probar que una transformaci\'on lineal
$T\colon\rn\rightarrow\R$ es lipschitziana, determinando una constante que verifique la definici\'on.
\vskip1mm\noindent(b)
Probar que una norma $N(x)$ definida en $\rn$ es una funci\'on lipschitziana,
y determinar una constante que verifique la definici\'on.
\vskip1mm\noindent(c)
Probar que toda funci\'on lipschitziana es
uniformemente continua.
\vskip1mm\noindent(d)
Probar que $f\colon [0,+\infty)\rightarrow\R$ tal que $f(x)=\sqrt{x}$ es
uniformemente continua pero no lipschitziana.
\end{ejercicio}

%%%%%%%%%%% ------------- Compacidad

\begin{ejercicio} Demostrar que (a) la uni\'on de una familia finita de conjuntos compactos es
un conjunto compacto; (b) la intersecci\'on de una familia arbitraria de conjuntos compactos es un conjunto compacto;
(c) El producto cartesiano de un conjunto finito de conjuntos compactos es un conjunto compacto.
\end{ejercicio}
\begin{ejercicio} 
Demostrar que si toda cobertura por conjuntos abiertos para un conjunto $X\subset\rn$ admite una subcobertura
finita, entonces el conjunto $X$ es cerrado y acotado, es decir, $X$ es compacto. (Se trata del rec\ii proco del
teorema 18 de las notas.)
\end{ejercicio}

%%%%%%%%%%% -------------- Conexi\'on

\begin{ejercicio} (a) Asumiendo que $\R$ es conexo demostrar que son conexos los conjuntos $[0,1]$,
$[0,1)$, $(0,1]$ y $(0,1)$. (b) Demostrar que los intervalos finitos son conexos. (c) Demostrar que
un intervalo arbitrario es conexo. (d) Demostrar que un conjunto conexo en la recta es un intervalo.
\end{ejercicio}
\begin{ejercicio} 
Demostrar que un conjunto \emph{convexo} es \emph{conexo}. 
?`Es cierto el rec\ii proco?
\end{ejercicio}
\end{document}


