Facultad de Ciencias  Centro de Matemática  Cálculo Diferencial e Integral II (2004)

Práctico 1: Nociones topológicas elementales de ℝ^{n} (primera parte)

1. (a) Verificar que (ℝ^{n}, ℝ, +, ×) es un espacio vectorial.

(b) Sean x = (x_{1}, …, x_{n}), y = (y_{1}, …, y_{n}). Demostrar que ⟨x, y⟩ = x_{1}y_{1} + ⋯ + x_{n}y_{n} es un producto interno.

2. (a) Investigar si las siguientes funciones de ℝ^{2} en ℝ son normas

(i) N(x, y) = |x| + |y|,

(ii) N(x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}},

(iii) N(x, y) = máx {|x|, |y|},

(iv) N(x, y) = |x + y|.

(b) Para aquellas que sean normas dibujar la bola de centro en el origen y radio 1, e indicar cuáles de los siguientes puntos pertenecen a la bola de centro (3, 4) y radio 2: (3, 4), (4, 5), (0, 1).

3. (a) Demostrar que ∥x∥_{∞} = máx{|x_{1}|, …, |x_{n}|} y ∥x∥_{1} = |x_{1}| + ⋯ + |x_{n}| son normas en ℝ^{n}.

(b) Demostrar que

∥x∥_{∞} ≤ ∥x∥_{2} ≤ ∥x∥_{1} ≤ n∥x∥_{∞}, para todo vector x en ℝ^{n}.

4. (a) Probar que si N_{1} y N_{2} son normas en ℝ^{n} entonces N = N_{1} + N_{2} también lo es.

(b) Deducir que N(x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}} + máx(|x|, |y|) es una norma en ℝ^{2} y verificar que N(\sqrt{2} − 1, \sqrt{2} − 1) = 1.

(c) Dibujar el conjunto {(x, y) ∈ ℝ^{2} : N(x, y) = 1}.

4. 5. (a) Demostrar que la equivalencia entre normas verifica la propiedad transitiva: si N_{1} y N_{2} son normas equivalentes, y lo mismo ocurre con N_{2} y N_{3}, entonces N_{1} y N_{3} son normas equivalentes.

(b) Probar que si dos normas N_{1} y N_{2} son equivalentes entonces, dada una bola B_{N_{1}} (definida con la primer norma) existen dos bolas B_{N_{2}} y B′_{N_{2}} (definidas con la segunda norma) tal que B_{N_{2}} ⊂ B_{N_{1}} ⊂ B′_{N_{2}}.

5. (a) Probar que si X ⊂ B(a, r) entonces X es un conjunto acotado.

(b) Probar que la intersección de una familia arbitraria de conjuntos convexos es un conjunto convexo.

6. Probar que si N es una norma en ℝ^{n} (es decir, una función de ℝ^{n} en ℝ que verifica los tres axiomas de norma) se cumple:

(a) |N(x) − N(y)| ≤ N(x − y). Interpretar geometricaménte, si N es la norma euclideanda.

(b) Si lím_{k→∞} x_{k} = x entonces lím_{k→∞} N(x_{k}) = N(x). ¿Es cierto el recíproco?

7. Demostrar que el límite de una sucesión en ℝ^{n}, cuando existe, es único.

8. (a) Demostrar que una sucesión en ℝ^{n} es convergente si y sólo si son convergentes sus sucesiones coordenadas.

(b) Demostrar que una sucesión en ℝ^{n} está acotada si y sólo si están acotadas sus sucesiones coordenadas.

(c) Una sucesión (x_{k}) en ℝ^{n} no tiene subsucesiones convergentes si y sólo si ∥x_{k}∥ → ∞ (k → ∞).

(d) Probar que si una sucesión tiene límite, todas sus subsucesiones tienen el mismo límite.

(e) Probar que si una sucesión es tal que toda subsucesión tiene una subsucesión convergente a un mismo límite, la sucesión original tiene ese límite.

9. Estudiar la convergencia de las siguientes sucesiones definidas en ℝ^{2}:

a_{n} = (e^{−n}, \frac{3}{n}), b_{n} = (e^{−n} + 2, [1 + (−1)^{n}]n) , c_{n} = ((−1)^{n}, (−1)^{n} + \frac{1}{n}).

10. Sea C([a, b]) el espacio vectorial de las funciones continuas en [a, b] a valores reales con las operaciones habituales de suma de funciones y producto de una función por un número. En C([a, b]) consideremos las siguientes normas:

∥ f ∥_{∞}= máx{| f(t) |: t ∈ [a, b]} ∥ f ∥_{2}= (∫_{a}^{b} | f(t) |^{2} dt)^{1/2}

(a) Probar que ∥ f ∥_{2}≤ (b − a)^{1/2} ∥ f ∥_{∞}, ∀f ∈ C([a, b]).

(b) Probar que si f_{k} ⟶ f con la norma ∥ ∥_{∞} entonces f_{k} ⟶ f con la norma ∥ ∥_{2}.

(c) Probar que no es cierto el recíproco de la parte (b).

(d) ¿Estas dos normas consideradas son equivalentes?

(e) ¿Es C([a, b]) un espacio vectorial de dimensión finita?

11. Se definen los siguientes conjuntos:

A_{1} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : 1 ≤ x ≤ 2, 1 < y < 3}

A_{2} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : 1 ≤ x ≤ 2, y > 0}

A_{3} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : y = x^{2}}

A_{4} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : x^{2} + y^{2} < 1, (x, y) ≠ (0, 0)}

A_{5} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : 2x^{2} + y^{2} < 1} ∪ {(x, y) ∈ ℝ^{2} : x = y}

A_{6} = \{(x, y) ∈ ℝ^{2} : x = (−1)^{n} + \frac{1}{n}, y = 1, n ≥ 1\}

A_{7} = {(x, 0) ∈ ℝ^{2} : x = (−1)^{n} + e^{−n}, n ≥ 1} ∪ {(−1, 0)} ∪ {A_{1} ∩ Q^{2}}

A_{8} = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x + y + z < 1, x > 0, y > 0, z > 0}

A_{9} = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x^{2} + y^{2} + 1 ≤ z} (a) Representarlos gráficamente e investigar si están acotados.

(b) Hallar el interior, la frontera y la clausura de cada uno de ellos.

(c) Hallar el conjunto de sus puntos de acumulación.

(d) Indicar si son abiertos

(e) Indicar si son cerrados.

12. Probar los siguientes resultados.

(a) Si A es un conjunto abierto y x ∈ A entonces A \ {x} es abierto.

(b) A es abierto sii A ∩ δA = ϕ.

(c) A^{∘} = Ā−δ A es un conjunto abierto, más aún, es la unión de los subconjuntos abiertos contenidos en A (es el “mayor” conjunto abierto incluido en A).

(d) A es cerrado sii δ A ⊂ A sii A′ ⊂ A.

(e) Ā = A∪δ A es un conjunto cerrado, más aún, es la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen a A (es el “menor” cerrado que contiene a A).

(f) A′ es un conjunto cerrado.

13. Hallar todos los puntos de acumulación del conjunto

S = \{\frac{1}{n} + \frac{1}{m}: n y m naturales\}.

14. Demostrar que un punto a es de acumulación de un conjunto X sii existe una sucesión (x_{k}) ⊂ X \ {a} que converge a a.