Integrales múltiples

Cálculo II (2003) ^{∗}

El objetivo de este capítulo es definir y aprender a calcular integrales de funciones reales de varias variables, que llamamos integrales múltiples. Las motivación más directa de éstas integrales es el cálculo de volúmenes, encontrando además aplicaciones en la geometría y la física.

1 Definición de la integral de Riemann en intervalos de ℝ^{n}

Comenzamos estudiando la integral de una función

f: I → ℝ, acotada ,

donde I es un intervalo en ℝ^{n}, es decir, un conjunto de la forma

I = {(x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℝ^{n}: a_{1} ≤ x_{1} ≤ b_{1}, …, a_{n} ≤ x_{n} ≤ b_{n}},

donde a_{1} < b_{1}, …, a_{n} < b_{n} son n pares de números reales. Alternativamente el intervalo I se puede ver como el producto cartesiano de los intervalos reales [a_{1}, b_{1}], …, [a_{n}, b_{n}], es decir

I = [a_{1}, b_{1}] × ⋯ × [a_{n}, b_{n}].

Estamos interesados en particular en los casos n = 2 y n = 3. Si n = 2 el intervalo I es un rectángulo, y escribimos I = [a, b] × [c, d]. En el caso n = 3 obtenemos un paralelepípedo, con I = [a, b] × [c, d] × [e, f]. Cuando es necesario, decimos que I es un intervalo cerrado en ℝ^{n}, y definimos análogamente los intervalos abiertos en ℝ^{n}, como producto cartesiano de intervalos abiertos en ℝ.

∗Notas para el curso de la Licenciatura en Matemática, Facultad de Ciencias, preparadas por Ernesto Mordecki (no incluyen los teoremas de la integral iterada y del cambio de variable vistos en clase).

Definimos el volumen de un intervalo en ℝ^{n}, abierto o cerrado, que designamos vol(I), mediante la fórmula

vol(I) = (b_{1} − a_{1}) × (b_{2} − a_{2}) × ⋯ × (b_{n} − a_{n}).

En el caso n = 2, decimos área en lugar de volumen y escribimos area(I), resultando area(I) = (b − a) × (d − c).

Consideremos un intervalo I = [a_{1}, b_{1}]×⋯×[a_{n}, b_{n}] en ℝ^{n}, en cada uno de los cuales tenemos una partición P_{1}, …, P_{n}. Definimos partición del intervalo I, que designamos mediante P, al producto cartesiano de las particiones de los intervalos reales, es decir,

P = P_{1} × ⋯ × P_{n}.

Observemos que una partición P de un intervalo I genera una descomposición del intervalo en subintervalos, que llamamos bloques, que se obtienen, cada uno, como el producto cartesiano de los intervalos que determinan las particiones de los intervalos reales. En otros términos, para formar un bloque B ⊂ I, elejimos intervalos I_{i} ⊂ [a_{i}, b_{i}] (i = 1, …, n), donde cada I_{i} es un intervalo cuyos extremos son puntos consecutivos de la partición P_{i}, y tenemos B = I_{1} × ⋯ × I_{n}. Observemos por último que

∑_{B⊂I} vol(B) = vol(I),  (1)

donde la suma se efectúa en todos los bloques B contenidos en el intervalo I.

En el caso n = 2, tenemos particiones P_{1} = {a = x_{0} < ⋯ < x_{n} = b}, y P_{2} = {c = y_{0} < ⋯ < y_{m} = d}, los bloques son rectángulos de la forma B_{ij} = [x_{i−1}, x_{i}] × [y_{j−1}, y_{j}] para i = 1, …, n, j = 1, …, m, y la fórmula (1) se lee

∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{m} area(B_{ij}) = area(I).

Consideremos ahora una función f: I → ℝ, acotada, donde I es un rectángulo en ℝ^{n}, y una partición P. Para cada bloque B de la partición designamos mediante e_{B} y E_{B} los extremos inferior y superior (el ínfimo y el supremo) de la función f en el bloque B, es decir

e_{B} = inf{f(x): x ∈ B}, E_{B} = sup{f(x): x ∈ B}.

Cuando queremos destacar la función f escribimos e_{B}^{f}, E_{B}^{f}.

Designamos mediante s(f, P) y S(f, P) a las sumas inferiores y superiores de la función f con respecto de la partición P, que definimos mediante

s(f, P) = ∑_{B⊂I} e_{B} vol(B), S(f, P) = ∑_{B⊂I} E_{B} vol(B).

En el caso n = 2 escribimos e_{ij} = e_{B_{ij}}, E_{ij} = E_{B_{ij}}, y las sumas inferiores y superiores resultan ser

s(f, P) = ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{m} e_{ij}(x_{i} − x_{i−1})(y_{j} − y_{j−1}),

S(f, P) = ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{m} E_{ij}(x_{i} − x_{i−1})(y_{j} − y_{j−1}).

Dadas dos particiones P = P_{1} × ⋯ × P_{n} y Q = Q_{1} × ⋯ Q_{n} de un mismo intervalo I en ℝ^{n}, decimos que Q es posterior a P, o también que Q es más fina que P cuando P_{1} ⊂ Q_{1}, …, P_{n} ⊂ Q_{n}. Definimos además la suma de las particiones P y Q, que designamos mediante P + Q, según la fórmula

P + Q = (P_{1} ∪ Q_{1}) × ⋯ × (P_{n} ∪ Q_{n}).

Es claro que P + Q es posterior a P y es posterior a Q. Obsérvese que P ∪ Q no necesariamente es una partición.

Teorema 1. Consideremos f: I → ℝ acotada, I intervalo en ℝ^{n}.

(a) Si Q es posterior a P, tenemos

s(f, P) ≤ s(f, Q) ≤ S(f, Q) ≤ S(f, P).

(b) Si P y Q son particiones arbitrarias, tenemos

s(f, P) ≤ S(f, Q).

Demostración. Comencemos por (a), con Q posterior a P. Consideremos un bloque B fijo determinado por P, y todos los bloques C determinados por Q y contenidos en B. Como C ⊂ B tenemos e_{C} ≥ e_{B}, de donde

∑_{C⊂B} e_{C} vol(C) ≥ ∑_{C⊂B} e_{B} vol(C) = e_{B} ∑_{C⊂B} vol(C) = e_{B} vol(B).

Calculamos ahora la suma inferior con respecto de Q sumando en dos etapas: para cada bloque de B de P sumamos en todos los bloques C ⊂ B de Q, y luego en los bloques de P, es decir

s(f, Q) = ∑_{B⊂I} ( ∑_{C⊂B} e_{C} vol(C)) ≥ ∑_{B⊂I} e_{B} vol(B) = s(f, P),

completando la demostración de la primera desigualdad. La segunda es inmediata, porque e_{B} ≤ E_{B}, y la tercera es análoga a la primera.

Para ver entonces (b), como P + Q es más fina que P y que Q, aplicando (a), tenemos

s(f, P) ≤ s(f, P + Q) ≤ S(f, P + Q) ≤ S(f, Q).

Esto concluye la demostración del teorema.

Definición 1 (Integral de Riemann). Consideremos f: I → ℝ, acotada, donde I es un intervalo en ℝ^{n}.

(a) Definimos la integral inferior y la integral superior, que designamos ∫_{−}_{I}f,

∫^{−}_{I}f respectivamente, mediante

∫_{−} _{I}f = sup{s(f, P): P partición de I},

∫^{−} _{I}f = inf{S(f, P): P partición de I}.

(b) Cuando las integrales inferior y superior coinciden, decimos que f es integrable (según Riemann) en I, y definimos la integral (de Riemann) de f en I, que designamos ∫_{I} f, mediante

∫_{I} f = ∫_{−} _{I}f = ∫^{−} _{I}f.

Observación. Siempre se verifica ∫_{−}_{I}f ≤ ∫^{−}_{I}f. De lo contrario, si δ = ∫_{−}_{I}f − ∫^{−}_{I}f ≥ 0, existirían particiones P y Q, tales que

S(f, Q) < ∫^{−} _{I}f + \frac{δ}{2} = ∫_{−} _{I}f − \frac{δ}{2} < s(f, P),

contradiciendo (b) en el teorema 1. Si n = 2 decimos integral doble; si n = 3, integral triple. En estos casos escribimos, respectivamente

∫∫ _{I} f = ∫∫ _{I} f(x, y)dxdy, ∫∫∫ _{I} f = ∫∫∫ _{I} f(x, y, z)dxdydz.

Teorema 2 (Condición necesaria y suficiente de integrabilidad). Una función f: I → ℝ acotada, con I intervalo en ℝ^{n} es integrable si y sólo si

para cada ε > 0 existe una partición P tal que S(f, P) − s(f, P) < ε. (2)

Demostración. Supongamos que f es integrable y consideremos ε > 0. Existen particiones Q y R tales que

∫_{−} _{I}f − \frac{ε}{2} < s(f, Q) ≤ ∫_{−} _{I}f = ∫^{−} _{I}f ≤ S(f, R) < ∫^{−} _{I}f + \frac{ε}{2}.

En vista del teorema 1, la partición P = Q + R verifica

S(f, P) − s(f, P) ≤ S(f, R) − s(f, Q) < ε,

concluyendo que se verifica (2).

Supongamos ahora, por absurdo, que f no es integrable. Según nuestra definición de integral superior e inferior, tenemos, para cualquier partición P, que

S(f, P) − s(f, P) ≥ ∫^{−} _{I}f − ∫_{−} _{I}f = δ > 0,

y no se verifica (2) con ε < δ. Concluímos que, de verificarse (2), la función f resulta integrable. Esto termina la demostración.

Veamos ahora que las funciones continuas son integrables.

Teorema 3. Sea f: I → ℝ continua, donde I es un intervalo en ℝ^{n}. Entonces, f es integrable.

Demostración. Consideremos ε > 0 para aplicar la condición necesaria y suficiente de integrabilidad (teorema 2). Como I es un conjunto compacto, f resulta uniformemente continua, y existe δ > 0 tal que

∥x − y∥ < δ ⇒ |f(x) − f(y)| < \frac{ε}{vol(I)}.

Consideremos ahora una partición P = P_{1} × ⋯ × P_{n}, de forma que dos puntos arbitrarios en un mismo bloque B de la partición no disten más que d. Esto se logra si dos puntos consecutivos de cada partición P_{1}, …, P_{n} no disten mas que δ/\sqrt{n}. Como f es continua, para cada bloque B existen dos puntos x_{B} = (x_{1}, …, x_{n}) e y_{B} = (y_{1}, …, y_{n}) tales que E_{B} = f(x_{B}), e_{B} = f(y_{B}). Además, como los puntos x e y están en el mismo bloque, sus i-ésimas coordenadas no difieren más que las de los puntos de la partición P_{i}, por lo que tenemos

∥x_{B} − y_{B}∥^{2} = ∑_{i=1}^{n}(x_{i} − y_{i})^{2} ≤ ∑_{i=1}^{n} \frac{δ^{2}}{n} = δ^{2},

por lo que, para la partición elegida, tenemos

S(f, P) − s(f, P) ≤ ∑_{B⊂I} (E_{B} − e_{B}) vol(B) = ∑_{B⊂I} (f(x_{B}) − f(y_{B})) vol(B)

≤ \frac{ε}{vol(I)} ∑_{B⊂I} vol(B) = ε.

Esto muestra que f es integrable, y concluye la demostración.

2 Integración en dominios generales

Estudiemos ahora como definir la integral de una función f: X → ℝ, acotada, donde X es un subconjunto acotado arbitrario de ℝ^{n}. La estrategia para la definición consiste en considerar un intervalo I que contenga a X, es decir X ⊂ I, y definir una función auxiliar f̄: I → ℝ mediante

f̄ = \begin{cases}f(x), & si x ∈ X, \\ 0, & si x ∈ I \ X. \end{cases}

estudiando condiciones para que f̄ sea integrable en I, para definir, cuando f̄ es integrable

∫_{X} f = ∫_{I} f̄.

Observemos que, aunque f sea continua, en general, f̄ no conserva esta propiedad, por lo que es necesario obtener condiciones mas generales que la continuidad para obtener la integrabilidad de funciones. Es por eso que introducimos la siguiente noción.

Definición 2. Un conjunto D ⊂ ℝ^{n} tiene medida (de Jordan) nula, cuando, para cada ε > 0 existe una cubrimiento numerable I_{1}, I_{2}, … de intervalos en ℝ^{n} tales que

D ⊂ ⋃_{i=1}^{∞} I_{i},  ∑_{i=1}^{∞} vol(I_{i}) < ε.

Observación. Cabe observar que, si bien en la definición se consideran intervalos cerrados en ℝ^{n}, un subconjunto de ℝ^{n} tiene medida nula cuando verifica la misma definción con intervalos abiertos en ℝ^{n}.

Ejemplo 1. Dada g: [a, b] → ℝ continua, el gráfico de g, es decir, el conjunto

G = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : x ∈ [a, b], y = g(x)},

tiene medida de Jordan nula en ℝ^{2}. Para verificarlo, consideremos ε > 0 arbitrario. Como g es continua, y el intervalo [a, b] es compacto, resulta que g es uniformemente continua, por lo que dado ε_{0} < ε/(2(b − a)), existe δ > 0 tal que si |x − y| < δ se verifica |f(x) − f(y)| < ε_{0}. Consideremos entonces una partición {a = x_{0} < x_{1} < ⋯ < x_{n} = b} del intervalo [a, b], que verifica max{x_{i} − x_{i−1} : i = 1, …, n} < δ, y los rectángulos

I_{i} = [x_{i−1}, x_{i}] × [f(x_{i−1}) − ε_{0}, f(x_{i−1}) + ε_{0}], i = 1, …, n.

La continuidad uniforme nos asegura que G ⊂ ∪_{i=1}^{n}I_{i}. Por otra parte

∑_{i=1}^{n} area(I_{i}) = 2ε_{0} ∑_{i=1}^{n}(x_{i} − x_{i−1}) = 2ε_{0}(b − a) < ε,

probando que G tiene medida nula.

Ejemplo 2. Dada h: X → ℝ continua, con X compacto en ℝ^{2}, el gráfico de h, es decir, el conjunto

G = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : (x, y) ∈ X, z = h(x, y)},

tiene medida de Jordan nula en ℝ^{3}. Para verificarlo, consideremos ε > 0 arbitrario. Como X es compacto en ℝ^{2} existe un rectángulo I tal que X ⊂ I. Como h es continua, y X es compacto, resulta que h es uniformemente continua, por lo que dado ε_{0} < ε/(2 area(I)), existe δ > 0 tal que si ∥x − y∥ < δ se verifica |f(x) − f(y)| < ε_{0}. Consideremos entonces una partición P de I de forma tal que si dos puntos x, y están en el mismo bloque B determinado por I, tenemos ∥x − y∥ < δ. Consideremos ahora un punto x_{B} de cada bloque B ⊂ I, y un intervalo (paralelepípedo) en ℝ^{3}, dado por

J_{B} = B × [f(x_{B}) − ε_{0}, f(x_{B}) + ε_{0}],

La continuidad uniforme nos asegura que G ⊂ ∪_{B⊂I}J_{B}. Por otra parte

∑_{B⊂I}^{n} vol(J_{B}) = 2ε_{0} ∑_{B⊂I}^{n} area(B) = 2ε_{0} area(I) < ε,

probando que G tiene medida nula.

Teorema 4 (Lebesgue). Consideremos f: I → ℝ acotada, con I intervalo en ℝ^{n}. Supongamos que D, el conjunto de los puntos de discontinuidad de f, tiene medida de Jordan nula. Entonces, f es integrable en I.

Demostración. Consideremos ε > 0 para aplicar la condición necesaria y suficiente de integrabilidad (teorema 2), y designemos

K = sup{f(x): x ∈ I} − inf{f(x): x ∈ I}.

La idea es construir una partición cuyos bloques se dividan en dos grupos, el primero donde la función pueda ser discontinua, y el segundo donde la función sea continua.

Como D tiene medida nula existe una sucesión de intervalos I_{1}, I_{2}, …, que podemos tomar abiertos, tales que

D ⊂ ⋃_{i=1}^{∞} I_{i},  ∑_{i=1}^{∞} vol(I_{i}) < \frac{ε}{2K} .

Por otra parte, para cada x ∈ I \ D la función es continua, por lo que existe un intervalo, llamémosle J_{x}, que también elegimos abierto, tal que E_{J_{x}} − e_{J_{x}} < ε/(2 vol(I)).

Si aplicamos el teorema de los cubrimientos finitos, podemos extraer un conjunto finito I_{1}, …, I_{p}, J_{x_{1}}, …, J_{x_{q}} de la familia de todos los intervalos {I_{i}} ∪ {J_{x}} recién considerados, tales que se verifica

I ⊂ [ ⋃_{i=1}^{p} I_{i}] ∪ [ ⋃_{j=1}^{q} J_{x_{j}}].  (3)

Consideremos ahora la partición P formada por todos los puntos que son vértices de alguno de los intervalos que aparecen a la derecha en (3), junto con todos los necesarios para que el conjunto resultante sea una partición, y clasifiquemos los bloques que determina esta partición en dos conjuntos: el primero contiene aquellos bloques B que esten contenidos en algún I_{i} (i = 1, …, p), y el segundo, con bloques que designamos C, que contiene todos los bloques restantes. Tenemos

S(f, P) − s(f, P) = ∑_{B⊂I}(E_{B} − e_{B}) vol(B) + ∑_{C⊂I}(E_{C} − e_{C}) vol(C)

≤ K ∑_{B⊂I} vol(B) + \frac{ε}{2 vol(I)} ∑_{C⊂I} vol(C)

≤ K ∑_{i=1}^{∞} vol(I_{i}) + \frac{ε}{2 vol(I)} < ε,

lo que concluye la demostración del teorema.