Diferenciabilidad de funciones de ℝ^{n} en ℝ^{m}

Cálculo II (2003) ^{∗}

En este capítulo generalizamos la noción de diferenciabilidad para funciones vectoriales de variable vectorial, que también llamamos aplicaciones. Una aplicación es entonces una función f: X → ℝ^{m}, donde X es un subconjunto de ℝ^{n}.

Ejemplo 1 (Transformaciones Lineales). Un ejemplo central de aplicaciones son las transformaciones lineales, es decir, las aplicaciones T: ℝ^{n} → ℝ^{m} que verifican T (αx + βy) = αT (x) + βT (y) para α, β reales, x, y vectores en ℝ^{n}, todos arbitrarios. Recordemos que dada una transformación lineal T como antes existe una única matriz A = ((a_{ij})) de tamaño m × n, que llamamos matriz asociada, tal que se verifica

T (x) = Ax^{t},

asumiendo que x = (x_{1}, …, x_{n}) es un vector fila. Si las funciones coordenadas de T son T_{1}, …, T_{m}, tenemos T_{i}(x) = ⟨A^{i}, x⟩, para cada i = 1, …, m donde A^{i} = (a_{i1}, …, a_{in}) designa la i-ésima fila de A.

Casos importantes de aplicaciones son los cambios de coordenadas, como los que vemos a continuación.

Ejemplo 2 (Coordenadas Polares). El cambio de coordenadas cartesianas (x, y) a coordenadas polares (ρ, θ), viene dado por la aplicación

x = ρ cos θ, y = ρ sen θ,

que definimos del dominio X = [0, ∞) × [0, 2π) en ℝ^{2}.

∗Notas para el curso de la Licenciatura en Matemática, Facultad de Ciencias, preparadas por Ernesto Mordecki.

Ejemplo 3 (Coordenadas cilíndricas). Si en el ejemplo anterior agregamos la “altura” z de un punto (x, y, z) de ℝ^{3}, obtenemos

x = ρ cos θ, y = ρ sen θ, z = z,

aplicación definida de X = [0, ∞) × [0, 2π) × ℝ en ℝ^{3}, que llamamos cambio de coordenadas cilíndricas. Ejemplo 4 (Coordenadas esféricas). Ahora describimos un punto (x, y, z) de ℝ^{3} mediante sus coordenadas esféricas, designadas (ρ, θ, φ), de forma que

x = ρ cos θ sen φ, y = ρ sen θ sen φ, z = ρ cos φ,

aplicación definida de X = [0, ∞) × [0, 2π) × [0, π) en ℝ^{3}.

1 Aplicaciones diferenciables

Definición 1 (Aplicación diferenciable). Sean f: U → ℝ^{m}, U abierto en ℝ^{n}. La aplicación f es diferenciable en un punto a ∈ U, cuando existen una transformación lineal T: ℝ^{n} → ℝ^{m} y una aplicación p: B^{∗}(0, ε) → ℝ^{m}, con ε > 0 suficientemente pequeño, tales que para todo v ∈ ℝ^{n} con a + v ∈ B^{∗}(a, ε), se verifica

f(a + v) − f(a) = T (v) + ∥v∥ p(v), lim_{v→0} p(v) = 0.  (1)

La transformación lineal anterior se llama diferencial de la aplicación f en el punto a, y se designa df_{a}. Decimos además que f es diferenciable en U cuando es diferenciable en todo a ∈ U.

Introduciendo la aplicación r(v) = ∥v∥p(v), que llamamos resto, las fórmulas en (1) pueden escribirse como

f(a + v) − f(a) = T (v) + r(v),  lim_{v→0} \frac{r(v)}{∥v∥} = 0.

Estamos entonces definiendo que una aplicación es diferenciable en un punto a cuando su incremento se puede aproximar por una transformación lineal.

Si ponemos v = 0 en (1) vemos que p se puede definir en v = 0 poniendo p(0) = 0. Consideremos entonces, de aquí en más, p: B(0, ε) → ℝ^{m}.

Como las transformaciones lineales son continuas, es inmediato obtener que si f es diferenciable en un punto a entonces es continua: tenemos f(a + v) → f(a) si v → 0, como se ve tomando límite a la derecha en (1).

Ejemplo 5. Veamos que una transformación lineal T: ℝ^{n} → ℝ^{m} es diferenciable. Tenemos

T (a + v) − T (a) = T (v),

por lo que se verifica la definición (1), con dT_{a} = T, y p(v) = 0 para todo v ∈ ℝ^{n}.

Como una aplicación f: U → ℝ^{m} equivale a sus m funciones coordenadas f_{1}, …, f_{m}, es natural relacionar la diferenciabilidad de una aplicación con la de sus funciones coordenadas. Las coordenadadas son funciones reales de variable vectorial, cuya diferenciabilidad definimos en el capítulo anterior.

Teorema 1. Consideremos f = (f_{1}, …, f_{m}): U → ℝ^{m}, a ∈ U, abierto de ℝ^{n}. Entonces la aplicación f es diferenciable en a si y sólo si sus coordenadas f_{1}, …, f_{m} son diferenciables en a.

Demostración. Supongamos primero que la aplicación f es diferenciable en a, y escribamos la identidad vectorial (1) como m identidades escalares. Designando T = (T_{1}, …, T_{m}), p = (p_{1}, …, p_{m}), tenemos

f_{i}(a + v) − f_{i}(a) = T_{i}(v) + ∥v∥ p_{i}(v),  lim_{v→0} p_{i}(v) = 0,

para i = 1, …, m, que es la definición de diferenciabilidad de la función f_{i} en a, dado que T_{i}(v) = ⟨A^{i}, v⟩, donde A^{i} es la i-ésima fila de la matriz asociada a T.

Reciprocamente, si f_{1}, …, f_{m} son diferenciables en a, existen funciones p_{1}, …, p_{m} tales que

f_{i}(a + v) − f_{i}(a) = df_{ia}(v) + ∥v∥ p_{i}(v),  lim_{v→0} p_{i}(v) = 0,

para i = 1, …, m. Luego, con

T (v) = (df_{1a}(v), …, df_{ma}(v)),  (2)

y p = (p_{1}, …, p_{m}), la aplicación f verifica la definición (1) en el punto a, concluyendo la demostración.

Ejemplo 6 (Curva diferenciable). Una curva λ = (λ_{1}, …, λ_{n}): I → ℝ^{n} es diferenciable en un punto a del intervalo real I si son diferenciables sus coordenadas. Obtenemos entonces la misma definición de curva diferenciable del capítulo anterior. Además, si λ es diferenciable en a ∈ I, tenemos

\frac{λ(a + h) − λ(a)}{h} = dλ_{a}(1) + \frac{|h|}{h}p(h),

con p(h) → 0 (h → 0), de donde resulta, que

λ′(a) = dλ_{a}(1),  (3)

es decir, la velocidad de la curva en el instante a se obtiene como el valor del diferencial de la curva en a, evaluado en el vector v = 1.

La matriz asociada al diferencial df_{a} de una aplicación f en un punto a se llama matriz jacobiana, o más brevemente jacobiano, y se designa mediante Jf(a). De la fórmula (2) obtenemos, si f = (f_{1}, …, f_{m}) es diferenciable en a, que se verifica

df_{a}(v) = (df_{1a}(v), …, df_{ma}(v)),  (4)

y como df_{ia}(v) = ⟨∇f_{i}(a), v⟩, resulta que la fila i-ésima de Jf(a) es el gradiente ∇f_{i}(a). En otros términos, hemos demostrado que

Jf(a) = [ \begin{matrix}\frac{∂f_{1}}{∂x_{1}} (a) & ⋯ & \frac{∂f_{1}}{∂x_{n}} (a) \\ ⋮ & & ⋮ \\ \frac{∂f_{m}}{∂x_{1}} (a) & ⋯ & \frac{∂f_{m}}{∂x_{n}} (a) \end{matrix} ] .  (5)

De aquí resulta además que el diferencial en un punto de una aplicación diferenciable en ese punto es único.

Definimos la derivada direccional de una aplicación f en un punto a con respecto de un vector v ∈ ℝ^{n}, que designamos (∂f/∂v)(a), como el valor del límite en ℝ^{m} dado por

\frac{∂f}{∂v} (a) = lim_{t→0} \frac{f(a + tv) − f(a)}{t},

cuando existe. A partir de la definición resulta que la derivada direccional de una aplicación existe, si y sólo si existen las derivadas direccionales de sus funciones coordenadas. Ademas, en este caso, se verifica

\frac{∂f}{∂v} (a) = (\frac{∂f_{1}}{∂v} (a), …, \frac{∂f_{m}}{∂v} (a)).  (6)

Pero (∂f_{i}/∂v)(a) = df_{ia}(v), por lo que el vector obtenido en (6), en vista de (4), es la imagen de v por el diferencial de f, es decir

\frac{∂f}{∂v} (a) = df_{a}(v).

La fórmula anterior es una generalización a aplicaciones de la que obtuvimos para funciones reales de varias variables.

Teorema 2 (Regla de la Cadena para aplicaciones). Consideremos las aplicaciones f: U → ℝ^{m} donde U ⊂ ℝ^{n}, g: V → ℝ^{p}, donde V ⊂ f(U) ⊂ ℝ^{m}, con U, V abiertos. Supongamos que f es diferenciable en a ∈ U, y que g es diferenciable en b = f(a). Entonces, la función compuesta h = g ∘ f: U → ℝ^{p} es diferenciable en el punto a. Mas aún, el diferencial de h en a es la composición del diferencial de g en b con el diferencial de f en a, es decir

dh_{a} = dg_{b} ∘ df_{a},  (7)

lo que expresado a través de las matrices jacobianas da la fórmula

Jh(a) = Jg(b) × Jf(a),  (8)

donde × designa el producto de matrices.

Antes de la demostración veamos que este teorema generaliza la regla de la cadena de funciones del capítulo anterior. Supongamos para esto que p = 1. Según vimos, f = (f_{1}, …, f_{m}) es diferenciable si y sólo si f_{1}, …, f_{m} son diferenciables, y las hipótesis de ambos teoremas coinciden si p = 1. En este caso el jacobiano de g es una matriz 1 × m, y viene dado por

Jg(b) = [\frac{∂g}{∂y_{1}} (b) ⋯ \frac{∂g}{∂y_{m}} (b)].  (9)

Por su parte, el jacobiano de h es una matriz 1 × n, dada por

Jh(a) = [\frac{∂h}{∂x_{1}} (a) ⋯ \frac{∂h}{∂x_{n}} (a)].  (10)

Es claro entonces que multiplicando Jg(b) dado en (9) por Jf(a) dado en (5), que es igual a Jh(a) dado en (10), obtenemos las n fórmulas para las derivadas parciales de la función compuesta de la regla de la cadena para funciones.

Demostración. La demostración es análoga a la de la regla de la cadena para funciones, pero (paradójicamente) mas sencilla, facilitada por el cálculo matricial.

Como f es diferenciable en a, existe p: B(0, ε) → ℝ^{m} tal que, si a + v ∈ B(0, ε) tenemos

f(a + v) − f(a) = df_{a}(v) + ∥v∥ p(v),  lim_{v→0} p(v) = 0.  (11)

Como g es diferenciable en b = f(a), existe q: B(0, δ) → ℝ^{p} tal que

g(b + w) − g(b) = dg_{b}(w) + ∥w∥ q(w),  lim_{v→0} q(v) = 0.

Sustituyendo w = f(a+v)−f(a) dado en (11) en la fórmula anterior, tenemos

h(a + v) − h(a) = g(b + w) − g(b) = dg_{b}(df_{a}(v) + ∥v∥ p(v)) + ∥w∥ q(w).

Introduciendo la función auxiliar P (v), podemos entonces escribir

h(a + v) − h(a) = (dg_{b} ∘ df_{a})(v) + ∥v∥ P (v),  (12)
P (v) = dg_{b}(p(v)) + \frac{∥w∥}{∥v∥}q(w).  (13)

Si demostramos que P (v) → 0 (v → 0), en vista de (12) resulta que h es diferenciable en a, y que su diferencial verifica (7). En primer lugar

\frac{∥w∥}{∥v∥} ≤ ∥df_{a}(\frac{v}{∥v∥})∥ + ∥p(v)∥ ,

es una función acotada si v → 0, porque p(v) → 0, el diferencial df_{a} es una función continua, y está evaluado en vectores v/ ∥v∥ ∈ S = {x ∈ ℝ^{n}: ∥x∥ = 1}, que es un conjunto compacto. Luego w → 0 cuando v → 0 y el segundo sumando a la derecha en (13) tiende a cero. El primero tiende a cero dado que dg_{b} es continua, y p(v) → 0. Esto concluye la demostración.

Observación. Una demostración alternativa de la regla de la cadena para aplicaciones se basa en la regla de la cadena para funciones. Demostramos que las coordenadas de h son diferenciables, y obtenemos la fórmula (8) a partir de las fórmulas para el cálculo de las derivadas. La regla de la cadena recién demostrada nos permite obtener una interpretación geométrica del diferencial de una aplicación. Sea f: U → ℝ^{m} diferenciable en a ∈ U, abierto de ℝ^{n}. Dado un vector v ∈ ℝ^{n}, considerando la curva λ(t) = a + tv, en el dominio, obtenemos la curva en el recorrido μ(t) = f(λ(t)). La velocidad de esta curva en el punto μ(0) = b = f(a), está dada por

μ′(0) = dμ_{0}(1) = d(f ∘ λ)_{0}(1) = df_{a} ∘ dλ_{0}(1) = df_{a}(v),

donde aplicamos (3). Si suponemos entonces que un punto se encuentra en λ(t) en el instante t, mientras la función f nos da la imagen de su posición, el diferencial df_{a} nos da la velocidad a la que se mueve esta imagen.

2 Teorema de la aplicación inversa

Comencemos con algunas definiciones relativas a la regularidad de aplicaciones y de sus inversas. Decimos que una aplicación es de clase C^{k} cuando sus funciones coordenadas son de clase C^{k} para k = 0, 1, …, ∞.

Definición 2. (a) Una aplicación f: X → Y, donde X ⊂ ℝ^{n}, Y ⊂ ℝ^{m}, es un homeomorfismo cuando es biyectiva, continua en X, y su aplicación inversa f^{−1} : Y → X es continua en Y. Cuando existe un homeomorfismo f: X → Y decimos que X e Y son homeomorfos.

(b) Una aplicación f: U → V, donde U ⊂ ℝ^{n}, V ⊂ ℝ^{m}, ambos abiertos, es un difeomofismo cuando es biyectiva, diferenciable en U, y su aplicación inversa f^{−1} : V → U es diferenciable en V. Cuando existe un difeomorfismo f: U → V decimos que U y V son difeomorfos.

(c) Un C^{k}-difeomorfismo es un difeomorfismo tal que él y su inverso son de clase C^{k}, para k = 1, …, ∞.

Observemos que la composición de homeomorfismos es un homeomorfismo (porque la composición de aplicaciones continuas es continua), y que la composición de difeomorfismos es un difeomorfismo (por la regla de la cadena). Además, un difeomorfismo es siempre un homeomorfismo, y un homeomorfismo es siempre biyectivo, siendo falsos ambos recíprocos. En particular, la función f(x) = x^{3} es un homeomorfismo, es diferenciable, pero no es un difeomorfismo.

Con estas definiciones, nuestro problema es obtener condiciones para que una aplicación de clase C^{1} sea un difeomorfismo.

Recordemos, que dada una función de una variable f: I → ℝ, donde I es un intervalo de ℝ, si f es derivable y f′(x) > 0 en I, obtenemos que existe su función inversa f^{−1} : f(I) → I, que es derivable, y su derivada vale

(f^{−1})′(y) = \frac{1}{f′(f^{−1}(y))},

como resulta del teorema de la función inversa en ℝ.

En aplicaciones los resultados son mas modestos, y, en general, no es posible invertir una función en todo su dominio. Como el rol de la derivada lo juega el diferencial, que es una transformación lineal, comenzamos recordando cuando una transformación lineal es invertible.

Ejemplo 7. Sea T: ℝ^{n} → ℝ^{m} una transformación lineal. Recordemos que si m ≠ n la transformación T no puede ser invertible. Si m = n la transformación lineal T es invertible si y sólo si det(T) ≠ 0. Además, en este caso la aplicación inversa es también una transformación lineal, su matriz asociada es la matriz inversa de la matriz de T, por lo que es diferenciable. Es decir, T: ℝ^{n} → ℝ^{n} con det(T) ≠ 0 es un difeomorfismo.

Será importante en lo que sigue considerar la norma de una transformación lineal T: ℝ^{n} → ℝ^{m}, que designamos ∥T ∥_{T}, y definimos mediante

∥T ∥_{T} = sup{∥T (x)∥ : ∥x∥ ≤ 1}.

En palabras, la norma de T es el máximo de las normas de las imágenes por T de los vectores del conjunto S = {x ∈ ℝ^{n}: ∥x∥ ≤ 1}. Observemos que como este conjunto es compacto, y T es continua, se trata de efectivamente de un máximo.

No es difícil ver, si consideramos el conjunto de todas las transformaciones lineales como un espacio vectorial, que la norma recién definida verifica la definición del capítulo 1. Ademas, si v ∈ ℝ^{n} no es nulo, poniendo x = v/ ∥v∥ tenemos

∥T (v)∥ = ∥v∥ × ∥T (x)∥ ≤ ∥T ∥_{T} × ∥v∥ .  (14)

De aquí resulta que las transformaciones lineales son funciones lipchitzianas, con constante ∥T ∥_{T}. Veamos que, si T = ((t_{ij})), tenemos

∥T ∥_{T} ≤ ∥T (e_{1})∥ + ⋯ + ∥T (e_{n})∥
≤ mn max{|t_{ij}|: i = 1, …, m; j = 1, …, n}.  (15)

En efecto, si x = x_{1}e_{1} +⋯+x_{n}e_{n}, y ∥x∥ = 1, tenemos |x_{i}| ≤ 1 (i = 1, …, n), por lo que

∥T (x)∥ ≤ |x_{1}| ∥T (e_{1})∥ + ⋯ + |x_{n}| ∥T (e_{n})∥ ≤ ∥T (e_{1})∥ + ⋯ + ∥T (e_{n})∥
≤ m(∥T (e_{1})∥_{∞} + ⋯ + ∥T (e_{n})∥_{∞})
≤ mn max{|t_{ij}|: i = 1, …, m; j = 1, …, n}.

Teorema 3 (Desigualdad del valor medio). Sea f: U → ℝ^{m} con U abierto en ℝ^{n}. Consideremos un punto a ∈ U y un vector v de ℝ^{n}, tal que el intervalo [a, a + v] esté contenido en U.

(a) Supongamos que f restringida a [a, a + v] es una función continua, y que existe la derivada direccional (∂f/∂v)(x) para todo x ∈ (a, a + v). Entonces,

∥f(a + v) − f(a)∥ ≤ sup_{0<θ<1} ∥\frac{∂f}{∂v} (a + θv)∥ .  (16)

(b) Cuando f es diferenciable para cada x ∈ [a, a + v], se verifica

∥f(a + v) − f(a)∥ ≤ ( sup_{0<θ<1} ∥df_{a+θv}∥_{T} ) ∥v∥ .  (17)

Demostración. Dado w ∈ ℝ^{m}, la función auxiliar ϕ: [0, 1] → ℝ definida mediante ϕ(t) = ⟨w, f(a + tv)⟩ es continua, por serlo f restringida a [a, a+v]. Tenemos además

\frac{ϕ(θ + h) − ϕ(θ)}{h} = ⟨w, \frac{f(a + θv + hv) − f(a + θv)}{h}⟩ → ⟨w, \frac{∂f}{∂v} (a + θv)⟩ ,

si h → 0, por lo que ϕ es derivable en (0, 1). Aplicando entonces el teorema de Lagrange obtenemos que existe θ ∈ (0, 1) tal que ϕ(1) − ϕ(0) = ϕ′(θ). Como ϕ(1) = ⟨w, f(a + v)⟩, ϕ(0) = ⟨w, f(a)⟩, tomando w = f(a + v) − f(a) y aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz, resulta

∥f(a + v) − f(a)∥^{2} = ⟨w, f(a + v) − f(a)⟩ = ϕ(1) − ϕ(0) = ϕ′(θ)

= ⟨w, \frac{∂f}{∂v} (a + θv)⟩ ≤ ∥w∥ ∥\frac{∂f}{∂v} (a + θv)∥

≤ ∥f(a + v) − f(a)∥ sup_{0<θ<1} ∥\frac{∂f}{∂v} (a + θv)∥ ,

de donde obtenemos (16).

Veamos ahora (b). Como f es diferenciable en los puntos x ∈ [a, a + v] estamos en las hipótesis de la parte (a). Además, como (∂f/∂v)(x) = df_{x}(v), aplicando la desigualdad (14) obtenemos

∥df_{x}(v)∥ ≤ ∥df_{x}∥_{T} ∥v∥ ,

por lo que (17) se obtiene de (16), concluyendo la demostración.

El siguiente ejemplo muestra que no es posible obtener igualdad en el teorema del valor medio para aplicaciones.

Ejemplo 8. Consideremos la curva λ: ℝ → ℝ^{2} dada por λ(t) = (t^{2}, t^{3}), y el intervalo [0, 1] = [a, a + v] con a = 0, v = 1. Si existe θ ∈ (0, 1) tal que

(1, 1) = λ(1) − λ(0) = \frac{∂λ}{∂v}(θ) = λ′(θ) = (2θ, 3θ^{2}),

necesariamente se verifica, simúltaneamente θ = 1/2, y θ = 1/\sqrt{3}, lo que es imposible. Este ejemplo muestra que no es posible obtener un teorema del valor medio con igualdad en el contexto de las aplicaciones.

Estudiemos ahora algunas condiciones necesarias que verifican las aplicaciones cuando son difeomorfismos.

Teorema 4. Consideremos un difeomorfismo f: U → V, con inversa dada por f^{−1} : V → U, donde U ⊂ ℝ^{n}, V ⊂ ℝ^{m} son abiertos. Entonces, se verifica m = n y, para cada a ∈ U con b = f(a), los diferenciales df_{a} y d(f^{−1})_{b} son transformaciones lineales invertibles e inversas, es decir

d(f^{−1})_{b} = (df_{a})^{−1},  (18)

lo que en términos de matrices jacobianas se traduce en

J(f^{−1})(b) = [Jf(a)]^{−1}.

Demostración. Como el diferencial de la identidad Id_{U}: U → U es la transformación lineal identidad Id_{n}: ℝ^{n} → ℝ^{n}, aplicando la regla de la cadena en la igualdad Id_{U} = f^{−1} ∘ f, obtenemos

Id_{n} = d( Id_{U})_{a} = d(f^{−1} ∘ f)_{a} = d(f^{−1})_{b} ∘ df_{a}.

En conclusión, la transformación lineal d(f^{−1})_{b} es invertible, y tiene inversa df_{a}, probando (18). Además, como df_{a} es una transformación lineal, resulta m = n, concluyendo la demostración.

El siguiente teorema muestra que un homeomorfismo f diferenciable en un punto a, con diferencial df_{a} invertible, tiene aplicación inversa diferenciable en b = f(a).

Teorema 5 (Diferenciabilidad del homeomorfismo inverso). Sea f: U → V un homeomorfismo entre los conjuntos abiertos U ⊂ ℝ^{n} y V ⊂ ℝ^{m}. Si f es diferenciable en a ∈ U y el diferencial df_{a} es una transformación lineal invertible, entonces f^{−1} : V → U es diferenciable en b = f(a).

Demostración. Según vimos, si f^{−1} es diferenciable en b, su diferencial es (df_{a})^{−1}. Escribimos entonces la condición de diferenciabilidad para f^{−1} en b, definiendo

q(w) = \frac{f^{−1}(b + w) − f^{−1}(b) − (df_{a})^{−1}(w)}{w}.  (19)

Se trata entonces de verificar que q(w) → 0 (w → 0). Tenemos a = f^{−1}(b). Designando v = f^{−1}(b + w) − f^{−1}(b), tenemos a + v = f^{−1}(b + w), y como f es diferenciable en a, podemos escribir

w = b + w − b = f(a + v) − f(a) = df_{a}(v) + ∥v∥ p(v),  lim_{v→0} p(v) = 0.

Sustituyendo esta última expresión en (19), tenemos

q(w) = \frac{f^{−1}(b + w) − f^{−1}(b) − (df_{a})^{−1}(df_{a}(v) + ∥v∥ p(v))}{∥w∥}  (20)

= −(df_{a})^{−1}(\frac{∥v∥}{∥w∥})p(v).

Como f y f^{−1} son continuas obtenemos que v → 0 si y sólo si w → 0. Entonces, si w → 0 resulta que p(v) → 0, y por ser (df_{a})^{−1} continua, es suficiente ver que el cociente ∥v∥ / ∥w∥ permanece acotado si w → 0.

Ahora observamos que inf{∥df_{a}(x)∥ : ∥x∥ = 1} = l > 0, porque de anularse este ínfimo, aplicando el teorema de Weierstrass (la función df_{a} es continua, y el dominio {∥x∥ = 1} es compacto) resulta que existe x ≠ 0 tal que df_{a}(x) = 0, lo que contradice que df_{a} es invertible. Entonces, como p(v) → 0 si w → 0, obtenemos, en vista de (20), que

\frac{∥w∥}{∥v∥} = ∥df_{a}(\frac{v}{∥v∥}) + p(v)∥ ≥ ∥df_{a}(\frac{v}{∥v∥})∥ − ∥p(v)∥ ≥ \frac{l}{2},

en un entorno adecuado del origen. Tenemos entonces que ∥v∥ / ∥w∥ ≤ l/2, obteniendo que q(w) → 0 si w → 0, concluyendo la demostración.

Para demostrar el teorema de la función inversa precisamos el siguiente resultado, basado en la completitud de ℝ^{n}, que fundamenta el método de las aproximaciones sucesivas. Dados X ⊂ ℝ^{n} y g: X → X definimos la sucesión (g^{(k)}(x)) de los iterados de x ∈ X por g de la siguiente forma:

g^{(0)}(x) = x, g^{(k)}(x) = g^{(k−1)}(x) (k = 1, 2, …).

Teorema 6 (de la contracción). Consideremos un subconjunto X cerrado de ℝ^{n}, y una aplicación g: X → X. Supongamos que g es una contracción, es decir, existe λ ∈ (0, 1) tal que

∥g(x) − g(y)∥ ≤ λ ∥x − y∥ , para todos x, y ∈ X.

Entonces, existe un único z ∈ X tal que g(z) = z, que llamamos punto fijo de g. Además

z = lim_{k} g^{(k)}(x),  (21)

para todo x ∈ X.

Demostración. Veamos primero que si existe un punto fijo, este es único. En efecto, si z_{1} = g(z_{1}), z_{2} = g(z_{2}), tenemos

∥z_{1} − z_{2}∥ = ∥g(z_{1}) − g(z_{2})∥ ≤ λ ∥z_{1} − z_{2}∥ ,

de donde ∥z_{1} − z_{2}∥ = 0, y resulta z_{1} = z_{2}.

Para verificar la existencia de un punto fijo, tomemos cualquier x ∈ X. Si x ≠ g(x) veriquemos que la sucesión de los iterados de x es de Cauchy en X. Sea entonces ε > 0. Para dos índices i < j = i + p, tenemos

∥g^{(j)}(x) − g^{(i)}(x)∥ = ∥g^{(i)}(g^{(p)}(x)) − g^{(i)}(x)∥
≤ λ^{i} ∥g^{(p)}(x) − x∥ .

Por otra parte

∥x − g^{(p)}(x)∥ ≤ ∥x − g(x)∥ + ∥g(x) − g^{(2)}(x)∥ + ⋯ + ∥g^{(p−1)}(x) − g^{(p)}(x)∥

≤ (1 + λ + ⋯ + λ^{p−1}) ∥x − g(x)∥ ≤ \frac{1}{1 − λ} ∥x − g(x)∥ .

En conclusión

∥g^{(j)}(x) − g^{(i)}(x)∥ ≤ \frac{λ^{i}}{1 − λ} ∥x − g(x)∥ < ε,

si i ≥ i_{0} con i_{0} suficientemente grande. Obtenemos entonces que la sucesión (g^{(k)}(x)) verifica la condición de Cauchy, por lo que existe z = lim g^{(k)}(x), y z ∈ X por ser X cerrado. Finalmente, basados en la continuidad de g (que es lipchitziana por ser una contracción), tenemos

z = lim_{k} g^{(k)}(x) = lim_{k} g(g^{(k−1)}(x)) = g(z),

verificando que z es el punto fijo que buscábamos.

Estamos ahora en condiciones de demostrar el teorema más importante del capítulo.

Teorema 7 (Teorema de la aplicación inversa). Consideremos f: U → ℝ^{n} de clase C^{1} en U, abierto de ℝ^{n}. Si el diferencial de f en a es una transformación lineal invertible, es decir, si det (Jf(a)) ≠ 0, entonces existe una bola B = B(a, ε) ⊂ U tal que f: B → f(B) es un difeomorfismo.

Demostración. Como f es diferenciable, y sabemos que si f: U → V es un homemorfismo con diferencial invertible, entonces es un difeomorfismo (por el teorema 5), es suficiente demostrar que existe una bola B = B(a, ε) ⊂ U tal que f: B → f(B) es un homeomorfismo.

Comencemos con la demostración en el caso particular en el que

a = 0, f(a) = 0, df_{0} = Id_{n},  (22)

para luego obtener el caso general a partir de éste.

Consideremos entonces la aplicación auxiliar

g(x) = x − f(x),

definida en alguna bola B(0, δ) ⊂ U. Esta aplicación tiene diferencial nulo en el origen, porque dg_{0} = Id_{n} −df_{0} = 0, por lo que la matriz jacobiana es nula, y todas las derivadas parciales de las coordenadas de g son nulas, y por ser continuas, tienden a cero si x → 0. Esto implica, en vista de (15), que ∥dg_{z}∥_{T} → 0 (x → 0), por lo que existe una bola cerrada B[0, ε] ⊂ U tal que

∥dg_{z}∥_{T} ≤ \frac{1}{2} para todo x ∈ B[0, ε].  (23)

Aplicando la desigualdad del valor medio obtenemos, si x ∈ B[0, ε], que se verfica

∥g(x)∥ = ∥g(x) − g(0)∥ ≤ sup_{0<θ<1} ∥dg_{θx}∥_{T} ∥x∥ ≤ \frac{1}{2} ∥x∥ ,

es decir, g: B[0, ε] → B[0, ε/2].

Para definir la función inversa, queremos ver ahora que dado y ∈ B[0, ε/2] existe un único x ∈ B[0, ε] tal que y = f(x). Para esto trasladamos según y la aplicación g, obteniendo

g_{y}(x) = y + g(x) = y + x − f(x).

Si ∥y∥ ≤ ε/2 y ∥x∥ ≤ ε obtenemos que ∥g_{y}(x)∥ ≤ ε, y entonces g_{y}: B[0, ε] → B[0, ε]. La desigualdad del valor medio y la acotación (23) nos permite ver que g_{y} es una contracción. En efecto

∥g_{y}(x_{1}) − g_{y}(x_{2})∥ ≤ ∥g(x_{1}) − g(x_{2})∥ ≤ sup_{x∈(x_{1},x_{2})} ∥dg_{x}∥_{T} ∥x_{1} − x_{2}∥ . (24)

En conclusión existe un único x ∈ B[0, ε] tal que g_{y}(x) = x, es decir, un único x ∈ B[0, ε] tal que y = f(x), como queríamos verificar, lo que nos permite definir f^{−1} : B[0, ε/2] → ℝ^{n} mediante x = f^{−1}(y). Como f es continua, nos resta ver que f^{−1} es continua. Si escribimos x = x−f(x)+f(x) = g(x)+f(x), tenemos

∥x_{2} − x_{1}∥ ≤ ∥g(x_{2}) − g(x_{1})∥ + ∥f(x_{2}) − f(x_{1})∥

≤ \frac{1}{2} ∥x_{2} − x_{1}∥ + ∥f(x_{2}) − f(x_{1})∥ ,

obteniendo que

∥x_{2} − x_{1}∥ ≤ 2 ∥f(x_{2}) − f(x_{1})∥ .

En conclusión, dados y_{1} = f(x_{1}), y_{2} = f(x_{2}) ambos en B[0, ε/2], se verifica

∥f^{−1}(y_{2}) − f^{−1}(y_{1})∥ = ∥x_{2} − x_{1}∥ ≤ 2 ∥f(x_{2}) − f(x_{1})∥ = 2 ∥y_{2} − y_{1}∥ ,

y f^{−1} resulta Lipchitziana, por lo tanto continua, probando el teorema bajo las condiciones dadas en (22).

Veamos por último la demostración en el caso general. Dada f en las condiciones del teorema, consideramos

f̃(z) = (df_{a})^{−1}(f(z + a) − f(a)).

La función f̃ verifica las condiciones del teorema, y además verifica (22), por lo que existe una bola B(0, ε) en donde es un difeomorfismo. Entonces, designando x = z + a obtenemos que

f(x) = f(z + a) = (df_{a}) ∘ f̃(z) + f(a)

es un difeomorfismo en B(a, ε), concluyendo la demostración.

3 Teorema de la función implícita y multiplicadores de Lagrange

En esta sección vemos primero como se aplica el teorema de la aplicación inversa para “despejar” variables y = (y_{1}, …, y_{m}) en función de otras x = (x_{1}, …, x_{n}), cuando existe una relación entre ellas dada por un sistema de ecuaciones F_{i}(x_{1}, …, x_{n}, y_{1}, …, y_{n}) = 0 (i = 1, …, m), relación que en notación vectorial escribimos F (x, y) = 0, si F = (F_{1}, …, F_{m}).

Para enunciar en nuestro caso la condición equivalente a F_{y}(x_{0}, y_{0}) ≠ 0 del teorema de la función implícita en dos variable, introducimos la notación

\frac{∂F}{∂y} = \frac{∂(F_{1}, …, F_{m})}{∂(y_{1}, …, y_{m})} = [ \begin{matrix}\frac{∂F_{1}}{∂y_{1}} & ⋯ & \frac{∂F_{1}}{∂y_{m}} \\ ⋮ & & ⋮ \\ \frac{∂F_{m}}{∂y_{1}} & ⋯ & \frac{∂F_{m}}{∂y_{m}} \end{matrix} ] ,

que es el jacobiano de la aplicación de la variable y = (y_{1}, …, y_{n}), que se obtiene cuando x = (x_{1}, …, x_{n}) permanece constante. Designamos además

(x_{0}, y_{0}) = (x_{10}, …, x_{n0}, y_{10}, …, y_{m0}).

Teorema 8 (Teorema de la aplicación implícita). Sean (x_{0}, y_{0}) ∈ U, abierto en ℝ^{n+m}, F = (F_{1}, …, F_{m}): U → ℝ^{m} de clase C^{1}, tales que F (x_{0}, y_{0}) = 0. Supongamos que det (∂F/∂y)(x_{0}, y_{0}) ≠ 0. Entonces:

(a) Existen bolas B_{n} = B(x_{0}, δ) y B_{m} = B(y_{0}, ε) tales que tales que B_{n} × B_{m} ⊂ U, y una función f: B_{n} → B_{m} de clase C^{1} tal que

F (x, y) = 0 ⇔ y = f(x) para todo (x, y) ∈ B_{n} × B_{m}.

(b) Si x ∈ B_{n} el jacobiano de f verifica

Jf(x) = −[\frac{∂F}{∂y} (x, f(x))]^{−1} \frac{∂F}{∂x} (x, f(x)).  (25)

Demostración. Para utilizar el teorema de la aplicación inversa, consideremos φ: U → ℝ^{n+m} definido mediante

φ(x, y) = (x, F (x, y)).  (26)

La aplicación φ es diferenciable en U por serlo sus coordenadas y, derivando, obtenemos que su jacobiano, escrito en bloques, vale

Jφ = [ Id_{n} 0_{\frac{∂F}{∂x} \frac{∂F}{∂y}} ] .

Para calcular el determinante de este jacobiano desarrollamos por las primeras n filas, y obtenemos

det(Jφ)(x_{0}, y_{0}) = det (\frac{∂F}{∂y} )(x_{0}, y_{0}) ≠ 0,

según nuestra hipótesis, por lo que del teorema de la aplicación inversa obtenemos que existe una bola B_{n+m} = B((x_{0}, y_{0}), ε) tal que φ restringida a B_{n+m} es un difeomorfismo, con aplicación inversa que designamos ψ(u, v) = (ψ_{1}(u, v), …, ψ_{n}(u, v), …, ψ_{n+m}(u, v)). Observemos que, según la forma que tiene φ en (26), donde sus primeras coordenadas son la identidad, esta propiedad se obtiene también para ψ, que por lo tanto se puede escribir como

ψ(u, v) = (u, h(u, v))

donde h = (ψ_{n+1}, …, ψ_{n+m}). Veamos ahora que f(x) = h(x, 0) verifica (a), para x ∈ B_{n} = B(x_{0}, δ), con δ > 0 suficientemente pequeño, tal que ψ(B((x_{0}, 0), δ)) ⊂ B_{n+m}. En efecto, si x ∈ B(x_{0}, δ) entonces (x, 0) ∈ B((x_{0}, 0), δ), y tenemos

(x, F (x, f(x))) = φ(x, f(x)) = φ(x, h(x, 0))
= φ(ψ(x, 0)) = (x, 0),

obteniendo que

F (x, f(x)) = 0.  (27)

Veamos ahora (b). La aplicación f es diferenciable, por estar formada por coordenadas de una aplicación diferenciable, mientras que F es de clase C^{1}. Designando g(x) = (x, f(x)), tenemos F ∘ g = 0, y podemos aplicar la regla de la cadena en (27), para obtener JF ∘ Jg = 0. Si escribimos los jacobianos en bloques tenemos

JF = \frac{∂(F_{1}, …, F_{m})}{∂(x_{1}, …, x_{n}, y_{1}, …, y_{m})} = [\frac{∂(F_{1}, …, F_{m})}{∂(x_{1}, …, x_{n})} \frac{∂(F_{1}, …, F_{m})}{∂(y_{1}, …, y_{m})}] ,

Jg = \frac{∂(x_{1}, …, x_{n}, f_{1}, …, f_{m})}{∂(x_{1}, …, x_{n})} = [Id_{n} \frac{∂(f_{1}, …, f_{m})}{∂(x_{1}, …, x_{n})}] .

Multiplicando entonces las matrices JF ∘ Jg = 0 obtenemos

\frac{∂(F_{1}, …, F_{m})}{∂(x_{1}, …, x_{n})} × Id_{n} +\frac{∂(F_{1}, …, F_{m})}{∂(y_{1}, …, y_{m})} × \frac{∂(f_{1}, …, f_{m})}{∂(x_{1}, …, x_{n})} = 0,

de donde resulta (b), por ser \frac{∂(F_{1},...,F_{m})}{∂(y_{1},...,y_{m})} una matriz invertible. Finalmente observamos que las derivadas de f se obtienen a partir de las derivadas de F, que son continuas, evaluadas en x y en f(x). Como f es continua, por ser diferenciable, y la composición de aplicaciones continuas es continua, resulta que f es de clase C^{1}. Esto concluye la demostración.

Teorema 9 (Multiplicadores de Lagrange). Consideremos U abierto en ℝ^{n+m}, f: U → ℝ, g = (g_{1}, …, g_{m}): U → ℝ^{m}, ambas funciones de clase C^{1}.

(a) Si p ∈ M = g^{−1}(0) y f presenta extremo relativo condicionado a g en p, entonces el conjunto de vectores

{∇f(p), ∇g_{1}(p), …, ∇g_{m}(p)}  (28)

es linealmente dependiente.

(b) Si además ∇f(p) ≠ 0, entonces existen reales λ_{1}, …, λ_{m}, llamados multiplicadores de Lagrange, tales que

∇f(p) = λ_{1}∇g_{1}(p) + ⋯ + λ_{m}∇g_{m}(p).

Demostración. Comencemos observando que (b) es inmediato a partir de (a). Supongamos entonces, para demostrar (a), por absurdo, que el conjunto de vectores en (28) es linealmente independiente. Obtenemos entonces que la matriz

\frac{∂(f, g_{1}, …, g_{m})}{∂(x_{1}, …, x_{n+m})}

tiene sus columnas linealmente independientes, y por lo tanto, tiene rango m + 1. Tiene entonces también m + 1 filas linealmente independientes, que por simplicidad en la notación, suponemos son las m + 1 primeras.

Designemos p = (p_{1}, …, p_{m}, p_{m+1}, …, p_{n+m}). Fijando entonces las variables p_{m+2}, …, p_{m+n} obtenemos que la aplicación auxiliar y = (y_{0}, …, y_{m}) = φ(x_{1}, …, x_{m+1}) dada por

y_{0} = f(x_{1}, …, x_{m+1}, p_{m+2}, …, p_{m+n})
y_{1} = g_{1}(x_{1}, …, x_{m+1}, p_{m+2}, …, p_{m+n})
⋮
y_{m} = g_{m}(x_{1}, …, x_{m+1}, p_{m+2}, …, p_{m+n})

tiene jacobiano no nulo en el punto a = (p_{1}, …, p_{m+1}), y por lo tanto, existe una bola B(a, ε) en donde φ es un difeomorfismo. Ademas φ(a) = (f(p), g_{1}(p), …, g_{m}(p)) = (f(p), 0, …, 0). Como existe la inversa de φ, para δ > 0 suficientemente pequeño, los puntos (f(p) ± δ, 0, …, 0) tienen preimagen en la bola B(a, ε), y por este motivo, estos puntos pertenecen a g^{−1}(0), y f no presenta extremo relativo condicionado en p, contradiciendo nuestra hipótesis. En conclusión, la matriz no tiene rango m + 1, y los vectores en (28) son linealmente dependientes, como queríamos probar.