Facultad de Ciencias  Centro de Matemática  Cálculo Diferencial e Integral II (2003)

Práctico 2: Resultados

1. (a) (1+i)^{2} = 2i, |(1+i)^{2}| = 2; 1/(1+i) = (1−i)/2, |1/(1+i)| = \sqrt{2}; (1+i)/(1−2i) = (−3 + 3i)/5, (1 + i)/(1 − 2i) = 3\sqrt{2}/5; i^{5} + i^{16} = i + 1, |i^{5} + i^{16}| = \sqrt{2}.

(b) |z| < 1: bola abierta de centro (0, 0) y radio 1; z + z̄ = 1: recta x = 1/2; |z − 1| = |z + 1|, eje Oy; |z − i| + |z + i| = 4, elipse de focos i y −i, eje mayor 2, eje menor \sqrt{3}.

2. (b) Un polinomio de grado n puede tener n − 2k raíces, con k = 1, …, [n/2].

4. Todos los límites son cero. 6.

lim_{(x,y)→(1,2)} \frac{x^{2} + xy + 1}{x^{2} − x − y} = 0, lim_{(x,y)→(0,0)} x y log | y |= 0, lim_{(x,y)→(1,1)} \frac{x^{2} + xy − 2y^{2}}{x^{2} − y^{2}} = \frac{3}{2}

lim_{(x,y)→(0,0)} \frac{x^{3} + y^{3}}{x^{2} + y^{2}} = 0; lim_{(x,y)→(0,0)} \frac{e^{x−y} − 1}{x^{2} − y^{2}} no existe lim_{(x,y)→(0,0)} \frac{log(1 + x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2} + x^{3}y} = 1.

7^{∗}. (c) Dan todos cero.

10. La primer función está definida y es continua en todo ℝ^{2}. La segunda y tercera están definidas y son continuas en ℝ^{2} \ {(0, 0)}.

17. El recíproco es falso.