\input{preambulo-practicos.tex}

\begin{center}
{\bf Pr\'actico 1: Resultados}
\end{center}

\vskip2mm\noindent{\bf 2.}
(a) (i) (ii) y (iii) son normas.
(b) $(3,4) \in B((3,4),2)$ para toda norma.
$(4,5) \in B((3,4),2)$ para las 3 normas
anteriores.
$(0,1) \notin B((3,4),2)$ para las 3 normas anteriores.
\vskip2mm\noindent{\bf 7.}
$\lim_{n\to\infty}a_{n}=(0,0)$,
$\nexists\lim_{n\to\infty}b_{n}$,
$\nexists\lim_{n\to\infty}c_{n}$.

\vskip2mm\noindent{\bf 12.}
$A_{1}$ esta acotado,
$\interior{A_{1}}=\{(x,y)\in\R^2\colon  1< x< 2, 1< y< 3\}$,
$\bar{A_{1}}=\{(x,y)\in\R^2\colon  1\leq x\leq 2, 1\leq y\leq 3\}$,
$\delta A_{1}=\{(x,y)\in\R^2\colon  1\leq x\leq 2,
y=1\}\bigcup\{(x,y)\in\R^2\colon  1\leq x\leq 2,
y=3\}\bigcup\{(x,y)\in\R^2\colon  x=1, 1< y< 3\}\bigcup\{(x,y)\in\R^2\colon 
x=2, 1< y< 3\}$,
$A_{1}'=\{(x,y)\in\R^2\colon  1\leq x\leq 2, 1\leq y\leq 3\}$,
$A_{1}$ no es ni abierto ni cerrado 
\vskip2mm\noindent
$A_{2}$ no esta acotado,
$\interior{A_{2}}=\{(x,y)\in\R^2\colon  1< x< 2, y> 0\}$,
$\bar{A_{2}}=\{(x,y)\in\R^2\colon  1\leq x\leq 2, y\geq 0\}$,
$\delta A_{2}=\{(x,y)\in\R^2\colon  1\leq x\leq 2,
y=0\}\bigcup\{(x,y)\in\R^2\colon  x=1, y>0\}\bigcup\{(x,y)\in\R^2\colon  x=2,
y>0\}$,
$A_{2}'=\{(x,y)\in\R^2\colon  1\leq x\leq 2, y\geq 0\}$,
$A_{2}$ no es ni abierto ni cerrado
\vskip2mm\noindent
$A_{3}$ no esta acotado,
$\interior{A_{3}}=\phi$,
$\bar{A_{3}}=\{(x,y)\in\R^2\colon  y=x^2\}$,
$\delta A_{3}=\{(x,y)\in\R^2\colon  y=x^2\}$,
$A_{3}'=\{(x,y)\in\R^2\colon  y=x^2\}$,
$A_{3}$ es cerrado 
\vskip2mm\noindent
$A_{4}$ esta acotado,
$\interior{A_{4}}=\{(x,y)\in\R^2\colon  x^2+y^2< 1,
(x,y)\neq(0,0)\}$,
$\bar{A_{4}}=\{(x,y)\in\R^2\colon  x^2+y^2\leq 1\}$,
$\delta A_{4}=\{(x,y)\in\R^2\colon  x^2+y^2=1\}\bigcup\{(0,0)\}$,
$A_{4}'=\{(x,y)\in\R^2\colon  x^2+y^2\leq 1\}$,
$A_{4}$ es abierto 
\vskip2mm\noindent
$A_{5}$ no esta acotado,
$\interior{A_{5}}=\{(x,y)\in\R^2\colon  2x^2+y^2< 1\}$,
$\bar{A_{5}}=\{(x,y)\in\R^2\colon  2x^2+y^2\leq
1\}\bigcup\{(x,y)\in\R^2\colon  x=y\}$,
$\delta A_{5}=\{(x,y)\in\R^2\colon  2x^2+y^2= 1\}\bigcup\{(x,y)\in\R^2\colon 
x=y\}$,
$A_{5}'=\{(x,y)\in\R^2\colon  2x^2+y^2\leq 1\}\bigcup\{(x,y)\in\R^2\colon 
x=y\}$,
$A_{5}$ no es ni abierto ni cerrado 
\vskip2mm\noindent
$A_{6}$ esta acotado,
$\interior{A_{6}}=\phi$,\newline
$\bar{A_{6}}=\{(x,y)\in\R^2\colon  x=(-1)^n+\frac{1}{n},y=1,n\geq
1\}\bigcup\{(1,1),(-1,1)\}$,
$\delta A_{6}=\{(x,y)\in\R^2\colon  x=(-1)^n+\frac{1}{n},y=1,n\geq
1\}\bigcup\{(1,1),(-1,1)\}$,
$A_{6}'=\{(1,1),(-1,1)\}$,
$A_{6}$ no es ni abierto ni cerrado 
\vskip2mm\noindent
$A_{7}$ esta acotado,
$\interior{A_{7}}=\phi$,
$\bar{A_{7}}=\{(x,y)\in\R^2\colon  1\leq x\leq 2, 1\leq y\leq
3\}\bigcup\{(-1,0),(1,0)\}\newline\bigcup\{(x,y)\in\R^2\colon 
x=(-1)^n+e^n,y=0,n\geq 1\}$,
$\delta A_{7}=\{(x,y)\in\R^2\colon  1\leq x\leq 2, 1\leq y\leq
3\}\bigcup\{(-1,0),(1,0)\}\bigcup\{(x,y)\in\R^2\colon 
x=(-1)^n+e^n,y=0,n\geq 1\}$,
$A_{7}'=\{(x,y)\in\R^2\colon  1\leq x\leq 2, 1\leq y\leq
3\}\bigcup\{-1,0),(1,0)\}$,
$A_{7}$ no es ni abierto ni cerrado 
\vskip2mm\noindent
$A_{8}$ esta acotado,
$\interior{A_{8}}=\{(x,y,z)\in\R^3\colon  x+y+z< 1, x>0, y>0, z>0\}$,
$\bar{A_{8}}=\{(x,y,z)\in\R^3\colon  x+y+z\leq 1,x\geq 0,y\geq 0,z\geq
0\}$,
$\delta A_{8}=\{(x,y,z)\in\R^3\colon  x+y+z= 1,x\geq 0,y\geq 0,z\geq
0\}\bigcup\{(x,y,z)\in\R^3\colon  y+z\leq
1,x=0\}\bigcup\{(x,y,z)\in\R^3\colon  x+z\leq
1,y=0\}\bigcup\{(x,y,z)\in\R^3\colon  x+y\leq 1,z=0\}$,
$A_{8}'=\{(x,y,z)\in\R^3\colon  x+y+z\leq1,x\geq0,y\geq0,z\geq0\}$,
$A_{8}$ es abierto 
\vskip2mm\noindent
$A_{9}$ no esta acotado,
$\interior{A_{9}}=\{(x,y,z)\in\R^3\colon  x^2+y^2+1<z\}$,
$\bar{A_{9}}=\{(x,y,z)\in\R^3\colon  x^2+y^2+1\leq z\}$,
$\delta A_{9}=\{(x,y,z)\in\R^3\colon  x^2+y^2+1=z\}$,
$A_{9}'=\{(x,y,z)\in\R^3\colon  x^2+y^2+1\leq z\}$,
$A_{9}$ es cerrado 

\vskip2mm\noindent{\bf 14.}
$S'=\{\frac{1}{n}\colon n\in\N\}\bigcup\{0\}$
\end{document}
