Facultad de Ciencias  Centro de Matemática  Cálculo Diferencial e Integral II (2003)

Práctico 1: Resultados

2. (a) (i) (ii) y (iii) son normas. (b) (3, 4) ∈ B((3, 4), 2) para toda norma. (4, 5) ∈ B((3, 4), 2) para las 3 normas anteriores. (0, 1) ∉ B((3, 4), 2) para las 3 normas anteriores.

7. lim_{n→∞} a_{n} = (0, 0), ∄ lim_{n→∞} b_{n}, ∄ lim_{n→∞} c_{n}.

12. A_{1} esta acotado, A_{1}^{∘} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : 1 < x < 2, 1 < y < 3}, Ā_{1} = {(x, y) ∈

ℝ^{2} : 1 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 3}, δA_{1} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : 1 ≤ x ≤ 2, y = 1} ⋃{(x, y) ∈ ℝ^{2} : 1 ≤ x ≤ 2, y = 3} ⋃{(x, y) ∈ ℝ^{2} : x = 1, 1 < y < 3} ⋃{(x, y) ∈ ℝ^{2} : x = 2, 1 < y < 3}, A′_{1} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : 1 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 3}, A_{1} no es ni abierto ni cerrado

A_{2} no esta acotado, A_{2}^{∘} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : 1 < x < 2, y > 0}, Ā_{2} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : 1 ≤

x ≤ 2, y ≥ 0}, δA_{2} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : 1 ≤ x ≤ 2, y = 0} ⋃{(x, y) ∈ ℝ^{2} : x = 1, y > 0} ⋃{(x, y) ∈ ℝ^{2} : x = 2, y > 0}, A′_{2} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : 1 ≤ x ≤ 2, y ≥ 0}, A_{2} no es ni abierto ni cerrado

A_{3} no esta acotado, A_{3}^{∘} = ϕ, Ā_{3} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : y = x^{2}}, δA_{3} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : y = x^{2}},

A′_{3} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : y = x^{2}}, A_{3} es cerrado

A_{4} esta acotado, A_{4}^{∘} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : x^{2}+y^{2} < 1, (x, y) ≠ (0, 0)}, Ā_{4} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : x^{2}+

y^{2} ≤ 1}, δA_{4} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : x^{2} + y^{2} = 1} ⋃{(0, 0)}, A′_{4} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : x^{2} + y^{2} ≤ 1}, A_{4} es abierto

A_{5} no esta acotado, A_{5}^{∘} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : 2x^{2} + y^{2} < 1}, Ā_{5} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : 2x^{2} + y^{2} ≤

1} ⋃{(x, y) ∈ ℝ^{2} : x = y}, δA_{5} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : 2x^{2} + y^{2} = 1} ⋃{(x, y) ∈ ℝ^{2} : x = y}, A′_{5} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : 2x^{2} + y^{2} ≤ 1} ⋃{(x, y) ∈ ℝ^{2} : x = y}, A_{5} no es ni abierto ni cerrado

A_{6} esta acotado, A_{6}^{∘} = ϕ, Ā_{6} = \{(x, y) ∈ ℝ^{2} : x = (−1)^{n} + \frac{1}{n}, y = 1, n ≥ 1\} ⋃\{(1, 1), (−1, 1)\}, δA_{6} = \{(x, y) ∈ ℝ^{2} : x = (−1)^{n} + \frac{1}{n}, y = 1, n ≥ 1\} ⋃\{(1, 1), (−1, 1)\}, A′_{6} = \{(1, 1), (−1, 1)\}, A_{6} no es ni abierto ni cerrado

A_{7} esta acotado, A_{7}^{∘} = ϕ, Ā_{7} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : 1 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 3} ⋃{(−1, 0), (1, 0)}

⋃{(x, y) ∈ ℝ^{2} : x = (−1)^{n} + e^{n}, y = 0, n ≥ 1}, δA_{7} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : 1 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 3} ⋃{(−1, 0), (1, 0)} ⋃{(x, y) ∈ ℝ^{2} : x = (−1)^{n} + e^{n}, y = 0, n ≥ 1}, A′_{7} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : 1 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 3} ⋃{−1, 0), (1, 0)}, A_{7} no es ni abierto ni cerrado

A_{8} esta acotado, A_{8}^{∘} = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x + y + z < 1, x > 0, y > 0, z > 0}, Ā_{8} =

{(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x + y + z ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}, δA_{8} = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x + y + z = 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0} ⋃{(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : y + z ≤ 1, x = 0} ⋃{(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x + z ≤ 1, y = 0} ⋃{(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x + y ≤ 1, z = 0}, A′_{8} = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x + y + z ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}, A_{8} es abierto

A_{9} no esta acotado, A_{9}^{∘} = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x^{2}+y^{2}+1 < z}, Ā_{9} = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x^{2}+y^{2}+

1 ≤ z}, δA_{9} = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x^{2} + y^{2} + 1 = z}, A′_{9} = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x^{2} + y^{2} + 1 ≤ z}, A_{9} es cerrado

14. S′ = \{\frac{1}{n}: n ∈ ℕ\} ⋃\{0\}