Facultad de Ciencias  Centro de Matemática  Cálculo Diferencial e Integral II (2003)

Práctico 6: Integrales múltiples

1. Las integrales iteradas que siguen corresponden a integrales dobles de f sobre ciertos dominios. Croquizar esos dominios y expresarlas como integrales iteradas en el orden inverso de integración.

∫_{0}^{1} dy ∫_{0}^{y} f(x, y)dx  ∫_{1}^{4} dx ∫_{√\overline{x}}^{2} f(x, y)dy  ∫_{0}^{2} dy ∫_{y^{2}}^{2y} f(x, y)dx
∫_{1}^{2} dx ∫_{2−x}^{√\overline{2x−x^{2}}} f(x, y)dy ∫_{1}^{e} dx ∫_{0}^{log(x)} f(x, y)dy

2. Calcular ∫∫_{D} f(x, y)dxdy en cada uno de los siguientes casos:

(a) f(x, y) = 2x − y y D = \{(x, y) ∈ ℝ^{2} : 1 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ \sqrt{x}\}.

(b) f(x, y) = \sqrt{4x^{2} − y^{2}} y D = \{(x, y) ∈ ℝ^{2} : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x\}.

(c) f(x, y) = xy^{2} y D = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : 0 ≤ y ≤ 1, y ≤ x ≤ y + 1}.

(d) f(x, y) = x^{2} − y^{2} y D = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ sen(x)}.

(e) f(x, y) = xy y D_{1} = \{(x, y) ∈ ℝ^{2}/\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} ≤ 1\} ; D = D_{1} ∩ \{y ≥ 0\}.

(f) f(x, y) = (xy)^{2} y D es la región acotada del primer cuadrante comprendida entre

las hipérbolas: xy = 1, xy = 2 y las rectas y = x, y = 4x.

3. Calcular ∫ ∫_{D} f(x, y)dxdy en cada uno de los siguientes casos, haciendo cambios de variable convenientes:

(a) f(x, y) = e^{−(x^{2}+y^{2})} y D = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : x^{2} + y^{2} ≤ r^{2}}.

(b) f(x, y) = x + y y D = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : 0 ≤ x, 0 ≤ y ≤ x, x^{2} + y^{2} ≤ 1}.

(c) f(x, y) = x^{2} + y^{2} y D = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : 0 ≤ y, x^{2} + y^{2} ≥ 1, x^{2} + y^{2} − 2x ≤ 0}.

(d) f(x, y) = x^{2}/(x^{2} + y^{2}) y D es el triángulo de lados y = x, y = −x, x = 1 (se sugiere pasar a polares).

(e) f(x, y) = (x − y)^{2} sen^{2}(x + y) y D es el cuadrado de vértices (0, π), (2π, π), (π, 2π).

(f) f(x, y) = x^{2}/(x^{2} + y^{2}) y D = {(x, y) ∈ ℝ^{2} / 0 ≤ x ≤ 1, x^{2} ≤ y ≤ 2 − x^{2}}. Se

sugiere hacer el cambio de variable x = \sqrt{v − u} , y = v + u.

4. Calcular la integral ∫∫_{D} xdxdy siendo D el paralelogramo de vértices (−2/3, −1/3), (2/3, 1/3), (4/3, −1/3) y (0, −1) de las siguientes formas:

(a) En coordenadas cartesianas.

(b) Haciendo un cambio de variables lineal que transforme D en el cuadrado de vértices: (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1).

5. Sea U = {(u, v) ∈ ℝ^{2} : u > 0} y h: U → h(U) dada por h(u, v) = (u + v, v − u^{2}).

(a) Probar que h es un cambio de coordenadas (se hallará explícitamente h^{−1}).

(b) Hallar J_{h} y det(J_{h}) en un punto genérico. Hallar det(J_{h^{−1}}) en (2, 0), observando que h(1, 1) = (2, 0).

(c) Sea T el triángulo de lados u = 0, v = 0, u + v = 2. Calcular el área de S = h(T).

6. Demostrar la siguiente igualdad:

∫∫ _{D} f(xy) dxdy = log(2) ∫_{1}^{2} f(u) du,

siendo D la región del primer cuadrante limitada por las hipérbolas xy = 1, xy = 2 y las rectas y = x, y = 4x.

7. Calcular I = ∫_{−∞}^{+∞} e^{−x^{2}}dx, calculando I^{2} mediante un cambio de coordenadas a polares.

8. Integrales impropias

(a) Para cada n ∈ N definimos D_{n} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : x + y ≤ n, 0 ≤ y, 0 ≤ x}. Calcular

∫∫ _{D_{n}} \frac{6}{(x + y + 1)^{3}} dxdy

(b) Si D = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : 0 ≤ y, 0 ≤ x}, ¿existe la integral impropia ∫∫_{D} 6(x + y + 1)^{−3}dxdy?

(c) Siendo E_{n} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : 0 ≤ y, 0 ≤ x, x^{2} + y^{2} ≤ n}, calcular

lim_{n→+∞} ∫∫ _{E_{n}} \frac{6}{(x + y + 1)^{3}} dxdy

9. Integrales impropias

(a) Siendo D_{n} = \{(x, y) ∈ ℝ^{2} : \frac{1}{n^{2}} ≤ x^{2} + y^{2} ≤ 4\}, calcular

∫∫ _{D_{n}} \frac{1}{x^{2} + y^{2}} dxdy

(b) Si D = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : x^{2}+y^{2} ≤ 4} ¿existe la integral impropia ∫∫_{D}(x^{2}+y^{2})^{−1}dxdy? En caso de que exista, calcularla.

10. Calcular ∫∫_{D} f dxdydz en los siguientes casos:

(a) f(x, y, z) = (x + y + z + 1)^{−2} y D = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : 0 ≤ y, 0 ≤ x, x+y+z ≤ 1}.

(b) f(x, y, z) = x y D es el dominio acotado limitado por: z = 0 , y = 0, y = x, x + y = 2, x + y + z = 6.

(c) f(x, y, z) = xyz, D = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : 0 ≤ y, 0 ≤ x, 0 ≤ z, x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ 1}.

(d) f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} y D es el dominio acotado comprendido entre: x^{2} + y^{2} = 2x, z = 0, z = 2.

(e) f(x, y, z) = (x^{2} +y^{2} +z^{2})^{−1} y D comprendido entre: z = 0, x = 0, x = 1, y = x^{2}, z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}.

(f) f(x, y, z) = \sqrt{x^{2} + y^{2}} y D comprendido entre: z = 0, z = 1, z^{2} = x^{2} + y^{2}.

(g) f(x, y, z) = z y D = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} / 0 ≤ a ≤ x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ b }.

(h) f(x, y, z) = ((x − a)^{2} + (y − b)^{2} + (z − c)^{2})^{−1/2} y D la clausura de bola de centro en el origen y radio r.

11. Calcular el volumen de D:

(a) D = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x^{2}/a^{2} + y^{2}/b^{2} ≤ z ≤ 1}.

(b) D = \{(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : \sqrt{x^{2} + y^{2}} ≤ z ≤ 1 \}.

(c) D = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ r^{2}, x^{2} + y^{2} − rx ≥ 0, x^{2} + y^{2} + rx ≥ 0 }.

(d) D comprendido entre z = x^{2}, z = 4 − x^{2} − y^{2}.

12. Sea S el sólido determinado por las condiciones:

z ≤ 0, x^{2} + y^{2} ≤ 4, x^{2} + y^{2} ≥ z^{2}, x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ 16.

Pasando a coordenadas cilíndricas calcular la integral ∫∫∫_{S} z dxdydz. 13.(Exámen Marzo 2000) Hallar el volumen de la intersección de la bola x^{2} +y^{2} +z^{2} ≤ 1 con el interior del cilindro 2x^{2} + y^{2} − 2x = 0. 14.(Exámen 7/8/2000) Designemos mediante (ρ, φ) las coordenadas polares en el plano xOy.

(a) Hacer un esquema del conjunto de puntos (x, y) tales que

\begin{cases}0 ≤ φ ≤ π/2, \\ 0 ≤ ρ ≤ 2Rφ/π. \end{cases}

Sea S_{R} ese conjunto.

(b) Calcular el volumen del sólido intersección de la bola

B_{R} = {(x, y, z): x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ R^{2}} y el cilindro de generatrices paralelas a Oz que se proyecta en S_{R} sobre el plano xOy.

15.(Exámen 10/2/2000) (a) Probar que si u: ℝ^{n} → ℝ (n ≥ 2) es una función radial, es decir, existe una función f: ℝ → ℝ tal que u(x) = f(∥x∥), el laplaciano de u es

Δu = ∑_{i=1}^{n} u_{x_{i}x_{i}} = \frac{1}{r^{n−1}} (r^{n−1}u_{r})_{r},

donde r = ∥x∥ = ( ∑_{i=1}^{n} x_{i}^{2})^{1/2}.

(b) Hallar las soluciones radiales de la Ecuación de Laplace Δu = 0, en ℝ^{n} − {(0, 0)}.

(c) Sea F una solución hallada en la parte anterior para n = 2. Calcular

∫∫ _{B_{ε}} F (x, y)dxdy,

siendo B_{ε} = {(x, y): ε^{2} < x^{2} + y^{2} < 1}, y

∫∫ _{B((0,0),1)−{(0,0)}} F (x, y)dxdy = lim_{ε→0} ∫∫ _{B_{ε}} F (x, y)dxdy.

16.(Exámen 7/12/2001) Se considera en ℝ^{3} el conjunto S del plano xOy limitado por la curva de ecuación ρ = 2φ/π, 0 ≤ φ ≤ π/2 (en coordenadas polares en el plano).

Calcular el volumen de la intersección de la bola centrada en (0, 0, 0) y radio 1 con el cilindro de generatrices paralelas al eje Oz que se proyecta sobre el plano xOy.

17.(Exámen 4/10/2002) Calcular el volumen de la región de ℝ^{3} cuyos puntos verifican (x − 1/2)^{2} + y^{2} ≤ 1/4, y z^{2} + y^{2} ≤ x^{2}/3.

18.(Exámen 1o./8/2002) Se consideral las superficies S_{1} y S_{2} en ℝ^{3} dadas respectivamente por las ecuaciones

\begin{cases}2az = x^{2} + y^{2} & (S_{1}), \\ x^{2} + y^{2} − z^{2} = a^{2} & (S_{2}), \end{cases}

donde a > 0. Hallar el volumen del sólido acotado que limitan S_{1} y S_{2}.